Megagon - Megagon
| Regelmäßiges Megagon | |
|---|---|
 Ein normales Megagon
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| Typ | Regelmäßiges Vieleck |
| Kanten und Scheitelpunkte | 1000000 |
| Schläfli-Symbol | {1000000}, t{500000}, tt{250000}, ttt{125000}, tttt{62500}, ttttt{31250}, tttttt{15625} |
| Coxeter-Diagramm |
    
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| Symmetriegruppe | Dieder (D 1000000 ), 2×1000000 bestellen |
| Innenwinkel ( Grad ) | 179,99964° |
| Doppelpolygon | Selbst |
| Eigenschaften | Konvex , zyklisch , gleichseitig , isogonal , isotoxal |
Ein Megagon oder 1 000 000-Gon ist ein Polygon mit einer Million Seiten ( mega- , aus dem Griechischen μέγας, was "groß" bedeutet und ein Einheitenpräfix ist, das einen Faktor von einer Million bezeichnet).
Regelmäßiges Megagon
Ein reguläres Megagon wird durch das Schläfli-Symbol {1.000.000} dargestellt und kann als abgeschnittenes 500.000-gon, t{500.000}, als zweimal abgeschnittenes 250.000-gon, tt{250.000}, als dreimal abgeschnittenes 125.000-gon, ttt . konstruiert werden {125.000} oder ein vierfach abgeschnittenes 62.500-gon, tttt{62.500}, ein fünffach abgeschnittenes 31.250-gon, ttttt{31.250} oder ein sechsfach abgeschnittenes 15.625-gon, tttttt{15.625} .
Ein reguläres Megagon hat einen Innenwinkel von 179,99964°. Die Fläche eines regelmäßigen Megagons mit Seitenlänge a ist gegeben durch
Der Umfang eines regelmäßigen megagon in der Einheit eingeschrieben Kreis ist:
was sehr nahe an 2π liegt . In der Tat, für einen Kreis von der Größe der Erde ‚s Äquator, mit einem Umfang von 40.075 Kilometern, eine Kante eines megagon in einem solchen Kreis eingeschrieben würde lange etwas mehr als 40 Meter betragen. Der Unterschied zwischen dem Umfang des eingeschriebenen Megagons und dem Umfang dieses Kreises beträgt weniger als 1/16 Millimeter.
Da 1.000.000 = 2 6 × 5 6 , ist die Seitenzahl kein Produkt verschiedener Fermat-Primzahlen und einer Zweierpotenz. Somit ist das reguläre Megagon kein konstruierbares Polygon . Tatsächlich ist es nicht einmal mit Neusis oder einem Winkeltrisektor konstruierbar, da die Anzahl der Seiten weder ein Produkt verschiedener Pierpont-Primzahlen noch ein Produkt von Zweier- und Dreierpotenzen ist .
Philosophische Anwendung
Wie René Descartes ' Beispiel des Chiliagons wurde das millionenseitige Polygon als Illustration eines wohldefinierten Konzepts verwendet, das nicht visualisiert werden kann.
Das Megagon wird auch zur Veranschaulichung der Konvergenz regelmäßiger Vielecke zu einem Kreis verwendet.
Symmetrie
Das regelmäßige megagon hat Dih 1000000 Dieder Symmetrie , um 2.000.000, 1.000.000 durch Linien der Reflexion dargestellt. Dih 1.000.000 hat 48 Dieder Untergruppen: (dih 500.000 , dih 250.000 , dih 125.000 , dih 62.500 , dih 31.250 , dih 15.625 ), (dih 200.000 , dih 100.000 , dih 50.000 , dih 25.000 , dih 12.500 , dih 6250 , dih 3125 ), (Dih 40.000 , Dih 20.000 , Dih 10.000 , Dih 5.000 , Dih 2.500 , Dih 1.250 , Dih 625 ) (Dih 8.000 , Dih 4.000 , Dih 2.000 , Dih 1.000 , Dih 500 , Dih 250 , Dih 125 , Dih 1.600 , Dih 800 , Dih 400 , Dih 200 , Dih 100 , Dih 50 , Dih 25 ), (Dih 320 , Dih 160 , Dih 80 , Dih 40 , Dih 20 , Dih 10 , Dih 5 ) und (Dih 64 , Dih 32 , Dih 16 , Dih 8 , Dih 4 , Dih 2 , Dih 1 ). Es hat auch 49 weitere zyklische Symmetrien als Untergruppen: (Z 1.000.000 , Z 500.000 , Z 250.000 , Z 125.000 , Z 62.500 , Z 31.250 , Z 15.625 ), (Z 200.000 , Z 100.000 , Z 50.000 , Z 25.000 , Z 12.500 , Z 6.250 , Z 3.125 ), (Z 40.000 , Z 20.000 , Z 10.000 , Z 5.000 , Z 2.500 , Z 1.250 , Z 625 ), (Z 8.000 , Z 4.000 , Z 2.000 , Z 1.000 , Z 500 , Z 250 , Z 125 ), (Z 1600 , Z 800 , Z 400 , Z 200 , Z 100 , Z 50 , Z 25 ), (Z 320 , Z 160 , Z 80 , Z 40 , Z 20 , Z 10 , Z 5 ) und ( Z 64 , Z 32 , Z 16 , Z 8 , Z 4 , Z 2 , Z 1 ), wobei Z n eine / n- Radiant-Rotationssymmetrie darstellt.
John Conway bezeichnete diese unteren Symmetrien mit einem Buchstaben und die Reihenfolge der Symmetrie folgt dem Buchstaben. r2000000 steht für volle Symmetrie und a1 bezeichnet keine Symmetrie. Er gibt d (diagonal) mit Spiegellinien durch Ecken, p mit Spiegellinien durch Kanten (senkrecht), i mit Spiegellinien durch beide Ecken und Kanten und g für Rotationssymmetrie.
Diese niedrigeren Symmetrien ermöglichen Freiheitsgrade beim Definieren unregelmäßiger Megagone. Nur die Untergruppe g1000000 hat keine Freiheitsgrade, sondern kann als gerichtete Kanten angesehen werden .
Megagramm
Ein Megagramm ist ein millionenseitiges Sternpolygon . Es gibt 199.999 reguläre Formen, die durch Schläfli-Symbole der Form {1000000/ n } gegeben sind, wobei n eine ganze Zahl zwischen 2 und 500.000 ist, die zu 1.000.000 teilerfremd ist . Darüber hinaus gibt es 300.000 regelmäßige Sterne Zahlen in den übrigen Fällen.