Minkowskis zweiter Satz - Minkowski's second theorem

In der Mathematik ist Minkowskis zweiter Satz ein Ergebnis der Geometrie von Zahlen über die Werte, die eine Norm auf einem Gitter annimmt, und das Volumen ihrer Grundzelle.

Rahmen

Sei K ein geschlossener konvexer zentral symmetrischer Körper mit positivem endlichen Volumen im n- dimensionalen euklidischen Raum ℝ ⁿ . Das an K angebrachte Messgerät oder der Abstand Minkowski-Funktion g ist definiert durch

${\ displaystyle g (x) = \ inf \ left \ {\ lambda \ in \ mathbb {R}: x \ in \ lambda K \ right \}.}$

Umgekehrt definieren wir bei gegebener Norm g auf ℝ ⁿ K als

${\ textstyle K = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}: g (x) \ leq 1 \ right \}.}$

Sei Γ ein Gitter in ℝ ⁿ . Die aufeinanderfolgenden Minima von K oder g auf Γ sind definiert durch die Einstellung k - ten aufeinanderfolgenden Minimal λ _k die sein Infimum der Zahlen & lambda; so dass & lambda; k enthält k linear unabhängige Vektoren von Γ . Wir haben 0 < λ ₁ ≤ λ ₂ ≤ ... ≤ λ _n <∞ .

Erklärung

Die aufeinanderfolgenden Minima erfüllen

${\ displaystyle {\ frac {2 ^ {n}} {n!}} \ operatorname {vol} \ left (\ mathbb {R} ^ {n} / \ Gamma \ right) \ leq \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} \ cdots \ lambda _ {n} \ operatorname {vol} (K) \ leq 2 ^ {n} \ operatorname {vol} \ left (\ mathbb {R} ^ {n} / \ Gamma \ right ).}$

Beweis

Eine Basis linear unabhängiger Gittervektoren b ₁ , b ₂ , ... b _n kann durch g (b _j ) = λ _{j definiert werden} .

Die Untergrenze wird durch Betrachtung des konvexen Polytops 2n mit Eckpunkten bei ± b _j / λ _j bewiesen , das ein von K eingeschlossenes Inneres und ein Volumen aufweist, das 2 ⁿ / n ist! Λ ₁ λ ₂ ... λ _n mal eine ganze Zahl Mehrfaches einer primitiven Zelle des Gitters (wie durch Skalieren des Polytops gesehen von & lambda; _j längs jeder Basisvektor zu erhalten , 2 ⁿ n -simplices mit Gitterpunktvektoren).

Um die Obergrenze zu beweisen, betrachten Sie Funktionen f _j (x) , die Punkte x in den Schwerpunkt der Teilmenge von Punkten senden , die wie für einige reelle Zahlen geschrieben werden können . Dann hat die Koordinatentransformation eine Jacobi-Determinante . Wenn und sind im Inneren von und (mit ) dann mit , wo die Einbeziehung in (speziell das Innere von ) auf Konvexität und Symmetrie zurückzuführen ist. Aber Gitterpunkte im Inneren von sind per Definition immer als lineare Kombination von ausdrückbar , so dass zwei verschiedene Punkte von nicht durch einen Gittervektor getrennt werden können. Daher muss in einer primitiven Zelle des Gitters (das Volumen hat ) und folglich eingeschlossen werden . ${\ textstyle K}$${\ textstyle K}$${\ textstyle x + \ sum _ {i = 1} ^ {j-1} a_ {i} b_ {i}}$${\ textstyle a_ {i}}$${\ textstyle x '= h (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (\ lambda _ {i} - \ lambda _ {i-1}) f_ {i} (x) / 2}$${\ textstyle J = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} \ ldots \ lambda _ {n} / 2 ^ {n}}$${\ textstyle p}$${\ textstyle q}$${\ textstyle K}$${\ textstyle pq = \ sum _ {i = 1} ^ {k} a_ {i} b_ {i}}$${\ textstyle a_ {k} \ neq 0}$${\ textstyle (h (p) -h (q)) = \ sum _ {i = 0} ^ {k} c_ {i} b_ {i} \ in \ lambda _ {k} K}$${\ textstyle c_ {k} = \ lambda _ {k} a_ {k} / 2}$${\ textstyle \ lambda _ {k} K}$${\ textstyle \ lambda _ {k} K}$${\ textstyle \ lambda _ {k} K}$${\ textstyle \ lambda _ {k}}$${\ textstyle b_ {1}, b_ {2}, \ ldots b_ {k-1}}$${\ textstyle K '= h (K) = \ lbrace x' | h (x) = x '\ rbrace}$${\ textstyle K '}$${\ textstyle {\ text {vol}} (\ mathbb {R} ^ {n} / \ Gamma)}$${\ textstyle {\ text {vol}} (K) / J = {\ text {vol}} (K ') \ leq {\ text {vol}} (\ mathbb {R} ^ {n} / \ Gamma) }}$

Verweise

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