Minkowski Flugzeug - Minkowski plane

In der Mathematik ist eine Minkowski-Ebene (benannt nach Hermann Minkowski ) eine der Benz-Ebenen (die anderen sind Möbius-Ebene und Laguerre-Ebene ).

Klassisches echtes Minkowski-Flugzeug

Wenn wir den pseudo-euklidischen Abstand auf zwei Punkte anwenden (anstelle des euklidischen Abstands), erhalten wir die Geometrie von Hyperbeln , da ein pseudo-euklidischer Kreis eine Hyperbel mit Mittelpunkt ist . ${\ displaystyle d (P_ {1}, P_ {2}) = (x '_ {1} -x' _ {2}) ^ {2} - (y '_ {1} -y' _ {2} ) ^ {2}}$${\ displaystyle P_ {i} = (x '_ {i}, y' _ {i})}$${\ displaystyle \ {P \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ | \ d (P, M) = r \}}$${\ displaystyle M}$

Durch eine Koordinatentransformation kann der pseudo-euklidische Abstand wie folgt umgeschrieben werden . Die Hyperbeln haben dann Asymptoten parallel zu den nicht vorbereiteten Koordinatenachsen. ${\ displaystyle x_ {i} = x '_ {i} + y' _ {i}}$${\ displaystyle y_ {i} = x '_ {i} -y' _ {i}}$${\ displaystyle d (P_ {1}, P_ {2}) = (x_ {1} -x_ {2}) (y_ {1} -y_ {2})}$

Die folgende Vervollständigung (siehe Möbius- und Laguerre-Ebenen) homogenisiert die Geometrie von Hyperbeln:

${\ displaystyle {\ mathcal {P}}: = (\ mathbb {R} \ cup \ {\ infty \}) ^ {2} = \ mathbb {R} ^ {2} \ cup (\ {\ infty \} \ times \ mathbb {R}) \ cup (\ mathbb {R} \ times \ {\ infty \}) \ \ cup \ {(\ infty, \ infty) \} \, \ \ infty \ notin \ mathbb {R. }}$ , die Menge der Punkte ,

${\ displaystyle {\ mathcal {Z}}: = \ {\ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ | \ y = ax + b \} \ cup \ {(\ infty, \ infty) \} \ | \ a, b \ in \ mathbb {R}, a \ neq 0 \}}$

${\ displaystyle \ cup \ {\ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ | y = {\ frac {a} {xb}} + c, x \ neq b \} \ cup \ {(b, \ infty), (\ infty, c) \} \ | \ a, b, c \ in \ mathbb {R}, a \ neq 0 \},}$ die Menge der Zyklen .

Die Inzidenzstruktur wird als klassische reale Minkowski-Ebene bezeichnet . ${\ displaystyle ({\ mathcal {P}}, {\ mathcal {Z}}, \ in)}$

Die Punktmenge besteht aus zwei Kopien und dem Punkt . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle (\ infty, \ infty)}$

Jede Linie wird durch einen Punkt vervollständigt , jede Hyperbel durch die beiden Punkte (siehe Abbildung). ${\ displaystyle y = ax + b, a \ neq 0}$${\ displaystyle (\ infty, \ infty)}$${\ displaystyle y = {\ frac {a} {xb}} + c, a \ neq 0}$${\ displaystyle (b, \ infty), (\ infty, c)}$

Zwei Punkte können nicht genau dann durch einen Zyklus verbunden werden, wenn oder . ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}) \ neq (x_ {2}, y_ {2})}$${\ displaystyle x_ {1} = x_ {2}}$${\ displaystyle y_ {1} = y_ {2}}$

Wir definieren: Zwei Punkte sind (+) - parallel ( ) if und (-) - parallel ( ) if . Diese beiden Beziehungen sind Äquivalenzbeziehungen auf der Menge der Punkte. ${\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}}$${\ displaystyle P_ {1} \ parallel _ {+} P_ {2}}$${\ displaystyle x_ {1} = x_ {2}}$${\ displaystyle P_ {1} \ parallel _ {-} P_ {2}}$${\ displaystyle y_ {1} = y_ {2}}$

Zwei Punkte heißen parallel ( ), wenn oder . ${\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}}$${\ displaystyle P_ {1} \ parallel P_ {2}}$${\ displaystyle P_ {1} \ parallel _ {+} P_ {2}}$${\ displaystyle P_ {1} \ parallel _ {-} P_ {2}}$

Aus der obigen Definition ergibt sich:

Lemma:

• Für jedes Paar nicht paralleler Punkte gibt es genau einen Punkt mit . ${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle A \ parallel _ {+} C \ parallel _ {-} B}$
• Für jeden Punkt und jeden Zyklus gibt es genau zwei Punkte mit . ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle A, B \ in z}$${\ displaystyle A \ parallel _ {+} P \ parallel _ {-} B}$
• Für alle drei Punkte , , , paarweise nicht parallel, genau ein Zyklus ist , die enthält . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle A, B, C}$
• Für jeden Zyklus , jeden Punkt und jeden Punkt und es gibt genau einen Zyklus, so dass , dh an Punkt P berührt . ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle P \ in z}$${\ displaystyle Q, P \ not \ parallel Q}$${\ displaystyle Q \ notin z}$${\ displaystyle z '}$${\ displaystyle z \ cap z '= \ {P \}}$${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle z '}$

Wie die klassischen Möbius- und Laguerre-Ebenen können Minkowski-Ebenen als Geometrie von Ebenenabschnitten eines geeigneten Quadrats beschrieben werden. In diesem Fall lebt die Quadrik jedoch im projektiven 3-Raum: Die klassische reale Minkowski-Ebene ist isomorph zur Geometrie von Ebenenabschnitten eines Hyperboloids eines Blattes (nicht entartete Quadrate von Index 2).

Die Axiome einer Minkowski-Ebene

Sei eine Inzidenzstruktur mit der Menge von Punkten, der Menge von Zyklen und zwei Äquivalenzrelationen ((+) - parallel) und ((-) - parallel) auf Menge . Denn wir definieren: und . Eine Äquivalenzklasse oder heißt (+) - Generator bzw. (-) - Generator . (Für das Raummodell der klassischen Minkowski-Ebene ist ein Generator eine Linie auf dem Hyperboloid.) Zwei Punkte heißen parallel ( ), wenn oder . ${\ displaystyle \ left ({\ mathcal {P}}, {\ mathcal {Z}}; \ parallel _ {+}, \ parallel _ {-}, \ in \ right)}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {Z}}}$${\ displaystyle \ parallel _ {+}}$${\ displaystyle \ parallel _ {-}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle P \ in {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle {\ overline {P}} _ {+}: = \ left \ {\ left.Q \ in {\ mathcal {P}} \ \ right | \ Q \ parallel _ {+} P \ right \} }}$${\ displaystyle {\ overline {P}} _ {-}: = \ left \ {\ left.Q \ in {\ mathcal {P}} \ \ right | \ Q \ parallel _ {-} P \ right \} }}$${\ displaystyle {\ overline {P}} _ {+}}$${\ displaystyle {\ overline {P}} _ {-}}$
${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle A \ parallel B}$${\ displaystyle A \ parallel _ {+} B}$${\ displaystyle A \ parallel _ {-} B}$

Eine Inzidenzstruktur wird als Minkowski-Ebene bezeichnet, wenn die folgenden Axiome gelten: ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}}: = ({\ mathcal {P}}, {\ mathcal {Z}}; \ parallel _ {+}, \ parallel _ {-}, \ in)}$

• C1 : Für jedes Paar nicht paralleler Punkte gibt es genau einen Punkt mit . ${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle A \ parallel _ {+} C \ parallel _ {-} B}$
• C2 : Für jeden Punkt und jeden Zyklus gibt es genau zwei Punkte mit . ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle A, B \ in z}$${\ displaystyle A \ parallel _ {+} P \ parallel _ {-} B}$
• C3 : Für drei beliebige Punkte , paarweise nicht parallel, gibt es genau einen Zyklus, der enthält . ${\ displaystyle A, B, C}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle A, B, C}$
• C4 : Für jeden Zyklus , jeder Punkt und jeden Punkt und gibt es genau einen Zyklus , so dass , dh Berührungen am Punkt . ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle P \ in z}$${\ displaystyle Q, P \ not \ parallel Q}$${\ displaystyle Q \ notin z}$${\ displaystyle z '}$${\ displaystyle z \ cap z '= \ {P \}}$${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle z '}$${\ displaystyle P}$
• C5 : Jeder Zyklus enthält mindestens 3 Punkte. Es gibt mindestens einen Zyklus und einen Punkt, der nicht vorhanden ist . ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle z}$

Für Untersuchungen sind die folgenden Aussagen zu parallelen Klassen (äquivalent zu C1 bzw. C2) vorteilhaft.

C1 ′ : Für zwei beliebige Punkte haben wir . ${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle \ left | {\ overline {A}} _ {+} \ cap {\ overline {B}} _ {-} \ right | = 1}$

C2 ′ : Für jeden Punkt und jeden Zyklus haben wir : . ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle \ left | {\ overline {P}} _ {+} \ cap z \ right | = 1 = \ left | {\ overline {P}} _ {-} \ cap z \ right |}$

Erste Konsequenzen der Axiome sind

Lemma: Für ein Minkowski-Flugzeug gilt Folgendes ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}}}$

a) Jeder Punkt ist in mindestens einem Zyklus enthalten.

b) Jeder Generator enthält mindestens 3 Punkte.

c) Zwei Punkte können genau dann durch einen Zyklus verbunden werden, wenn sie nicht parallel sind.

Analog zu Möbius- und Laguerre-Ebenen erhalten wir über die Reste die Verbindung zur linearen Geometrie.

Für eine Minkowski - Ebene und definieren wir die lokale Struktur ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} = ({\ mathcal {P}}, {\ mathcal {Z}}; \ parallel _ {+}, \ parallel _ {-}, \ in)}$${\ displaystyle P \ in {\ mathcal {P}}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {P}: = ({\ mathcal {P}} \ setminus {\ overline {P}}, \ {z \ setminus \ {{\ overline {P}} \} \ | \ P \ in z \ in {\ mathcal {Z}} \} \ cup \ {E \ setminus {\ overline {P}} \ | \ E \ in {\ mathcal {E}} \ setminus \ {{ \ overline {P}} _ {+}, {\ overline {P}} _ {-} \} \}, \ in)}$

und nennen sie die Rückstände am Punkt P .

Für die klassische Minkowski-Ebene ist die reale affine Ebene . ${\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {(\ infty, \ infty)}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Eine unmittelbare Folge der Axiome C1 bis C4 und C1 ', C2' sind die folgenden beiden Sätze.

Satz : Für eine Minkowski-Ebene ist jeder Rest eine affine Ebene. ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} = ({\ mathcal {P}}, {\ mathcal {Z}}; \ parallel _ {+}, \ parallel, \ in)}$

Satz : Sei eine Inzidenzstruktur mit zwei Äquivalenzrelationen und auf der Menge von Punkten (siehe oben). ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} = ({\ mathcal {P}}, {\ mathcal {Z}}; \ parallel _ {+}, \ parallel _ {-}, \ in)}$${\ displaystyle \ parallel _ {+}}$${\ displaystyle \ parallel _ {-}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {M}}}$ ist genau dann eine Minkowski-Ebene, wenn der Rest für irgendeinen Punkt eine affine Ebene ist. ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {P}}$

Minimales Modell

Das Minimalmodell einer Minkowski-Ebene kann über die Menge von drei Elementen erstellt werden: ${\ displaystyle {\ overline {K}}: = \ {0,1, \ infty \}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {P}}: = {\ overline {K}} ^ {2} \ qquad}$

${\ displaystyle {\ mathcal {Z}}: = \ {\ {(a_ {1}, b_ {1}), (a_ {2}, b_ {2}), (a_ {3}, b_ {3} ) \} |}$

${\ displaystyle | \ {a_ {1}, a_ {2}, a_ {3} \} = \ {b_ {1}, b_ {2}, b_ {3} \} = {\ overline {K}} \ } =}$

${\ displaystyle \ {\ {(0,0), (1,1), (\ infty, \ infty) \},}$ ${\ displaystyle \ {(0,0), (1, \ infty), (\ infty, 1) \},}$ ${\ displaystyle \ {(0,1), (1,0), (\ infty, \ infty) \},}$ ${\ displaystyle \ {(0,1), (1, \ infty), (\ infty, 0) \},}$ ${\ displaystyle \ {(0, \ infty), (1,1), (\ infty, 0) \},}$ ${\ displaystyle \ {(0, \ infty), (1,0), (\ infty, 1) \} \}}$

Parallele Punkte:

${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}) \ parallel _ {+} (x_ {2}, y_ {2})}$ dann und nur dann, wenn ${\ displaystyle x_ {1} = x_ {2}}$

${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}) \ parallel _ {-} (x_ {2}, y_ {2})}$ genau dann, wenn . ${\ displaystyle y_ {1} = y_ {2}}$

Daher: und . ${\ displaystyle \ left | {\ mathcal {P}} \ right | = 9}$${\ displaystyle \ left | {\ mathcal {Z}} \ right | = 6}$

Endliche Minkowski-Flugzeuge

Für endliche Minkowski-Ebenen erhalten wir von C1 ', C2':

Lemma : Sei eine endliche Minkowski-Ebene, dh . Für jedes Zykluspaar und jedes Generatorpaar haben wir : . ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} = ({\ mathcal {P}}, {\ mathcal {Z}}; \ parallel _ {+}, \ parallel _ {-}, \ in)}$${\ displaystyle \ left | {\ mathcal {P}} \ right | <\ infty}$${\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}}$${\ displaystyle e_ {1}, e_ {2}}$${\ displaystyle \ left | z_ {1} \ right | = \ left | z_ {2} \ right | = \ left | e_ {1} \ right | = \ left | e_ {2} \ right |}$

Daraus ergibt sich die Definition :
Für eine endliche Minkowski-Ebene und einen Zyklus von nennen wir die ganze Zahl die Ordnung von . ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}}}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle {\ mathfrak {M}}}$${\ displaystyle n = \ left | z \ right | -1}$${\ displaystyle {\ mathfrak {M}}}$

Einfache kombinatorische Überlegungen ergeben

Lemma : Für eine endliche Minkowski-Ebene gilt Folgendes: ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} = ({\ mathcal {P}}, {\ mathcal {Z}}; \ parallel _ {+}, \ parallel _ {-}, \ in)}$

a) Jeder Rückstand (affine Ebene) hat Ordnung . ${\ displaystyle n}$

b) , ${\ displaystyle \ left | {\ mathcal {P}} \ right | = (n + 1) ^ {2}}$

c) . ${\ displaystyle \ left | {\ mathcal {Z}} \ right | = (n + 1) n (n-1)}$

Miquelian Minkowski Flugzeuge

Wir erhalten die wichtigsten Beispiele für Minkowski-Flugzeuge, indem wir das klassische reale Modell verallgemeinern: Ersetzen Sie es einfach durch ein beliebiges Feld, dann erhalten wir auf jeden Fall ein Minkowski-Flugzeug . ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} (K) = ({\ mathcal {P}}, {\ mathcal {Z}}; \ parallel _ {+}, \ parallel _ {-}, \ in)}$

Analog zu Möbius- und Laguerre-Ebenen ist der Satz von Miquel eine charakteristische Eigenschaft einer Minkowski-Ebene . ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} (K)}$

Satz (Miquel): Für die Minkowski-Ebene gilt: ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} (K)}$

Wenn für 8 paarweise nicht parallele Punkte, die den Eckpunkten eines Würfels so zugeordnet werden können, dass die Punkte in 5 Flächen konzyklischen Vierfachen entsprechen, das sechste Vierfache von Punkten ebenfalls konzyklisch ist. ${\ displaystyle P_ {1}, ..., P_ {8}}$

(Zur besseren Übersicht in der Abbildung sind anstelle von Hyperbeln Kreise gezeichnet.)

Satz (Chen): Nur eine Minkowski-Ebene erfüllt den Satz von Miquel. ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} (K)}$

Wegen des letzten Satzes wird eine miquelianische Minkowski-Ebene genannt . ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} (K)}$

Bemerkung: Das Minimalmodell eines Minkowski-Flugzeugs ist miquelianisch.

Es ist isomorph zur Minkowski-Ebene mit (Feld ). ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} (K)}$${\ displaystyle K = \ operatorname {GF} (2)}$${\ displaystyle \ {0,1 \}}$

Ein erstaunliches Ergebnis ist

Satz (Heise): Jede Minkowski Ebene selbst ist , um miquelian.

Anmerkung: Eine geeignete stereografische Projektion zeigt: ist isomorph zur Geometrie der ebenen Abschnitte auf einem Hyperboloid eines Blattes ( Quadrik von Index 2) im projektiven 3-Raum über dem Feld . ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} (K)}$${\ displaystyle K}$

Bemerkung: Es gibt viele Minkowski-Flugzeuge, die nicht miquelianisch sind (s. Weblink unten). Im Gegensatz zu Möbius- und Laguerre-Flugzeugen gibt es jedoch keine "ovoidalen Minkowski" -Flugzeuge. Weil jede quadratische Menge von Index 2 im projektiven 3-Raum eine Quadrate ist (siehe quadratische Menge ).

Siehe auch

• Konforme Geometrie

Verweise

• W. Benz, Vorlesungen über Geomerie der Algebren , Springer (1973)
• F. Buekenhout (Hrsg.), Handbook of Incidence Geometry , Elsevier (1995) ISBN   0-444-88355-X

Externe Links

• Benz Flugzeug in der Encyclopedia of Mathematics
• Lecture Note Planar Circle Geometries , eine Einführung in Möbius-, Laguerre- und Minkowski-Ebenen