Beweglicher zellularer Automat - Movable cellular automaton

Bewegliche zellulare Automatenmethode

Animation eines beweglichen zellulären Automaten, der verwendet wird, um Reibung an der Grenzfläche zwischen zwei Oberflächen zu simulieren
Methodentyp
Kontinuierlich/Diskret	Diskret
Analytisch/Computational	Computer
Eigenschaften
Beeinflusst von	Zellularer Automat , diskretes Element
Methode in	rechnerische Festkörpermechanik

Die Methode der beweglichen zellulären Automaten (MCA) ist eine Methode der rechnerischen Festkörpermechanik, die auf dem diskreten Konzept basiert. Es bietet Vorteile sowohl von klassischen zellulären Automaten als auch von diskreten Elementmethoden . Ein wichtiger Vorteil des MCA-Verfahrens besteht darin, dass es eine direkte Simulation des Materialbruchs einschließlich Schadenserzeugung, Rissausbreitung, Fragmentierung und Massenvermischung ermöglicht. Es ist schwierig, diese Prozesse mit kontinuumsmechanischen Methoden (zB: Finite-Elemente-Methode , Finite-Differenzen-Methode usw.) zu simulieren , daher sind einige neue Konzepte wie die Peridynamik erforderlich. Die Diskrete-Elemente-Methode ist sehr effektiv, um körnige Materialien zu simulieren, aber die gegenseitigen Kräfte zwischen beweglichen zellulären Automaten ermöglichen die Simulation des Feststoffverhaltens. Wenn sich die Zellengröße des Automaten Null nähert, nähert sich das MCA-Verhalten den klassischen Methoden der Kontinuumsmechanik . Die MCA-Methode wurde in der Gruppe von SG Psakhie . entwickelt

Keystone der Methode des beweglichen zellularen Automaten

Objekt (links) wird als Menge von interagierenden Automaten (in der Mitte) beschrieben. Rechts ist das Geschwindigkeitsfeld von Automaten dargestellt.

Im Rahmen des MCA- Ansatzes wird ein zu modellierendes Objekt als eine Menge interagierender Elemente/Automaten betrachtet. Die Dynamik der Menge von Automaten wird durch ihre gegenseitigen Kräfte und Regeln für ihre Beziehungen definiert. Dieses System existiert und funktioniert in Zeit und Raum. Seine Entwicklung in Zeit und Raum wird durch die Bewegungsgleichungen bestimmt. Die gegenseitigen Kräfte und Regeln für die Beziehungen zwischen den Elementen werden durch die Funktion der Automatenantwort definiert. Diese Funktion muss für jeden Automaten angegeben werden. Aufgrund der Mobilität von Automaten müssen folgende neue Parameter von zellularen Automaten berücksichtigt werden: R ⁱ – Radiusvektor des Automaten; V ⁱ – Geschwindigkeit des Automaten; ω ⁱ – Rotationsgeschwindigkeit des Automaten; θ ⁱ – Rotationsvektor des Automaten; m ⁱ – Masse des Automaten; J ⁱ – Trägheitsmoment des Automaten.

Neues Konzept: Nachbarn

Jeder Automat hat einige Nachbarn

Das neue Konzept der MCA-Methode basiert auf der Einführung des Zustands des Automatenpaares (Beziehung interagierender Automatenpaare) zusätzlich zum herkömmlichen – dem Zustand eines separaten Automaten. Beachten Sie, dass die Einführung dieser Definition es erlaubt, vom statischen Netzkonzept zum Konzept der Nachbarn überzugehen . Dadurch haben die Automaten die Möglichkeit, ihre Nachbarn durch Umschalten der Zustände (Beziehungen) der Paare zu ändern.

Definition des Parameters des Paarzustands

Die Einführung neuer Arten von Zuständen führt zu neuen Parametern, um diese als Kriterium für Schaltbeziehungen zu verwenden . Es ist als ein Automat definiert, der die Parameter h ^ij überlappt  . Die Beziehung der zellulären Automaten ist also durch den Wert ihrer Überlappung gekennzeichnet .

Die anfängliche Struktur wird durch das Einrichten bestimmter Beziehungen zwischen jedem Paar benachbarter Elemente gebildet.

Kriterium der Umschaltung des Zustands von Paarbeziehungen

Am linken Automatenpaar ist ij verknüpft. Am rechten Automatenpaar ist ij nicht verknüpft.

Im Gegensatz zum klassischen zellulären Automatenverfahren kann beim MCA-Verfahren nicht nur ein einzelner Automat, sondern auch eine Beziehung von Automatenpaaren geschaltet werden . Nach dem bistabilen Automatenkonzept gibt es zwei Arten von Paarzuständen (Beziehungen):

Die Änderung des Zustands von Paarbeziehungen wird also durch Relativbewegungen der Automaten gesteuert, und die durch solche Paare gebildeten Medien können als bistabile Medien angesehen werden.

Gleichungen der MCA-Bewegung

Die Entwicklung von MCA-Medien wird durch die folgenden Bewegungsgleichungen für die Translation beschrieben :

${\displaystyle {d^{2}h^{ij} \over dt^{2}}=\left({1 \over m^{i}}+{1 \over m^{j}}\right) p^{ij}+\sum_{k\neq j}C(ij,ik)\psi (\alpha_{ij,ik}){1 \over m^{i}}p^{ik}+\ Summe _{l\neq i}C(ij,jl)\psi (\alpha_{ij,jl}){1 \over m^{j}}p^{jl}}$

Kräfte zwischen Automaten ij, die von ihren Nachbarn kommen.

Hier ist die Masse des Automaten , ist die zentrale Kraft , die zwischen Automaten und wirkt , ist ein bestimmter Koeffizient , der mit der Übertragung des h - Parameters von Paar ij auf Paar ik verbunden ist , ist der Winkel zwischen den Richtungen ij und ik . ${\displaystyle m^{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle p^{ij}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle C(ij,ik)}$${\displaystyle \psi (\alpha_{ij,ik})}$

Aufgrund der endlichen Größe beweglicher Automaten müssen die Rotationseffekte berücksichtigt werden. Die Bewegungsgleichungen für die Rotation können wie folgt geschrieben werden:

${\displaystyle {d^{2}\theta^{ij} \over dt^{2}}=\left({q^{ij} \over J^{i}}+{q^{ji} \over J^{j}}\right)\tau^{ij}+\sum_{k\neq j}S(ij,ik){q^{ik} \over J^{i}}\tau^{ik }+\sum _{l\neq j}S(ij,jl){q^{jl} \over J^{j}}\tau ^{jl}}$

Hier ist Θ ^ij der relative Drehwinkel (es ist ein Schaltparameter wie h ^ij für Translation), q ^ij ist der Abstand vom Mittelpunkt des Automaten i zum Kontaktpunkt des Automaten j (Momentarm), τ ^ij ist die Paartangentialwechselwirkung , ist ein bestimmter Koeffizient, der mit der Übertragung des Θ-Parameters von einem Paar auf ein anderes verbunden ist (es ist ähnlich wie aus der Gleichung für die Übersetzung). ${\displaystyle S(ij,ik)}$${\displaystyle C(ij,ik)}$

Diese Gleichungen sind den Bewegungsgleichungen für den Vielteilchenansatz völlig ähnlich.

Definition der Verformung im Automatenpaar pair

Drehung des Körpers als Ganzes verursacht keine Verformung im Automatenpaar

Translation der Automatenpaare Der dimensionslose Deformationsparameter für die Translation des ij- Automatenpaares kann wie folgt dargestellt werden:

${\displaystyle \varepsilon^{ij}={h^{ij} \over r_{0}^{ij}}={\left(q^{ij}+q^{ji}\right)-\left( d^{i}+d^{j}\right){\big /}2 \over \left(d^{i}+d^{j}\right){\big /}2}}$

In diesem Fall:

${\displaystyle \left(\Updelta {\varepsilon^{i(j)}}+\Updelta {\varepsilon^{j(i)}}\right){\left(d^{i}+d^{j .) }\rechts) \over 2}=V_{n}^{ij}\Delta {t}}$

wobei Δt Zeitschritt, V _n ^ij – Relativgeschwindigkeit.

Die Drehung der Paarautomaten kann analog zu den letzten Übersetzungsbeziehungen berechnet werden.

Modellierung irreversibler Verformungen in der MCA-Methode

Die Verformung wird durch den Abstandswert vom Zentrum des Automaten bestimmt

Es gibt zwei Arten der Antwortfunktion von Automaten

Der Parameter ε ^ij wird als Maß für die Deformation des Automaten i unter seiner Wechselwirkung mit dem Automaten j verwendet . Wobei q ^ij – eine Entfernung vom Zentrum des Automaten i zu seinem Kontaktpunkt mit dem Automaten j ist ; R ⁱ = d ⁱ /2 ( d ⁱ – ist die Größe des Automaten i ).

Als Beispiel wird die Titanprobe unter zyklischer Belastung (Zug – Druck) betrachtet. Das Belastungsdiagramm ist in der nächsten Abbildung dargestellt:

Beladungsschema	Belastungsdiagramm
	( Rote Markierungen sind die experimentellen Daten)

Vorteile der MCA-Methode

Aufgrund der Mobilität jedes Automaten ermöglicht die MCA-Methode die direkte Berücksichtigung solcher Aktionen wie:

• Massenmischen
• Penetrationseffekte
• chemische Reaktionen
• intensive Verformung
• Phasenumwandlungen
• Anhäufung von Schäden
• Fragmentierung und Bruch
• Rissbildung und -entwicklung

Unter Verwendung von Randbedingungen unterschiedlicher Art (fest, elastisch, viskos-elastisch usw.) ist es möglich, unterschiedliche Eigenschaften des umgebenden Mediums, das das simulierte System enthält, zu imitieren. Es ist möglich, verschiedene mechanische Belastungsarten (Zug, Druck, Schubdehnung usw.) zu modellieren, indem zusätzliche Bedingungen an den Rändern eingestellt werden.

Siehe auch

• Kontinuumsmechanik  – Teilgebiet der Physik, das das Verhalten von Materialien untersucht, die als kontinuierliche Massen modelliert werden
• Festkörpermechanik  – Teilgebiet der Mechanik, das sich mit festen Materialien und ihrem Verhalten befasst
• Bruchmechanik  – Fachgebiet der Mechanik, das sich mit der Untersuchung der Rissausbreitung in Materialien befasst
• Peridynamik
• Computersimulation  – Verfahren der mathematischen Modellierung, durchgeführt auf einem Computer
• Diskrete-Elemente-Methode  – Numerische Methoden zur Berechnung der Bewegung und Wirkung einer großen Anzahl kleiner Partikel
• Zellulärer Automat  – Diskretes Modell in der Informatik studiert
• Finite-Elemente-Methode  – Numerische Methode zur Lösung physikalischer oder technischer Probleme
• Finite-Differenzen-Methode

Verweise

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Software

• MCA-Softwarepaket
• Software zur Simulation von Materialien im diskret-kontinuierlichen Ansatz «FEM+MCA»: Nummer der staatlichen Registrierung in der Applied Research Foundation of Algorithms and Software (AFAS): 50208802297 / Smolin AY, Zelepugin SA, Dobrynin SA; Bewerber- und Entwicklungszentrum ist die Staatliche Universität Tomsk. – Registrierungsdatum 28.11.2008; Zertifikat AFAS N 11826 Datum 01.12.2008.