Natürliche Einheiten - Natural units

In Physik , natürlichen Einheiten sind physikalische Einheiten der Messung basiert nur auf universellen physikalischen Konstanten . Zum Beispiel ist die Elementarladung e eine natürliche Einheit der elektrischen Ladung und die Lichtgeschwindigkeit c eine natürliche Einheit der Geschwindigkeit . Ein rein natürliches Einheitensystem hat in der Regel alle seine Einheiten so definiert, dass die Zahlenwerte der ausgewählten physikalischen Konstanten in Bezug auf diese Einheiten genau 1 sind . Diese Konstanten können dann in mathematischen Ausdrücken physikalischer Gesetze weggelassen werden, und obwohl dies den offensichtlichen Vorteil der Einfachheit hat, kann es aufgrund des Informationsverlusts für die Dimensionsanalyse zu einem Verlust an Klarheit führen . Es schließt die Interpretation eines Ausdrucks in Bezug auf fundamentale physikalische Konstanten wie e und c aus , es sei denn, es ist bekannt, welche Einheiten (in dimensionalen Einheiten) der Ausdruck haben soll. In diesem Fall kann die Wiedereinfügung der korrekten Potenzen von e , c usw. eindeutig bestimmt werden.

Systeme natürlicher Einheiten

Planck-Einheiten

Menge	Ausdruck	Messwert	Name
Länge (L)	${\displaystyle l_{\text{P}}={\sqrt {\hbar G \over c^{3}}}}$	1,616 × 10 −35  m	Planck-Länge
Masse (M)	${\displaystyle m_{\text{P}}={\sqrt {\hbar c \over G}}}$	2,176 × 10 -8  kg	Planck-Masse
Zeit (T)	${\displaystyle t_{\text{P}}={\sqrt {\hbar G \over c^{5}}}}$	5,391 × 10 −44  s	Planck-Zeit
Temperatur (Θ)	${\displaystyle T_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbarc^{5}}{G{k_{\text{B}}}^{2}}}}}$	1,417 × 10 32  K	Planck-Temperatur

Das Planck-Einheitensystem verwendet die folgenden Konstanten, um den numerischen Wert 1 in Bezug auf die resultierenden Einheiten zu haben:

c , ℏ, G , k _B ,

wobei c die Lichtgeschwindigkeit , ℏ die reduzierte Planck-Konstante , G die Gravitationskonstante und k _B die Boltzmann-Konstante ist .

Planck-Einheiten sind ein System natürlicher Einheiten, das nicht in Bezug auf die Eigenschaften eines Prototyps, physikalischen Objekts oder sogar Elementarteilchens definiert ist . Sie beziehen sich nur auf die Grundstruktur der physikalischen Gesetze: c und G sind Teil der Struktur der Raumzeit in der Allgemeinen Relativitätstheorie , und ℏ erfasst die Beziehung zwischen Energie und Frequenz, die der Quantenmechanik zugrunde liegt . Dies macht Planck-Einheiten in Theorien der Quantengravitation , einschließlich der Stringtheorie, besonders nützlich und verbreitet .

Planck-Einheiten können sogar als "natürlicher" angesehen werden als andere unten diskutierte natürliche Einheitensysteme, da Planck-Einheiten nicht auf einem willkürlich gewählten Prototypobjekt oder -teilchen basieren. Einige andere Systeme verwenden beispielsweise die Masse eines Elektrons als zu normierenden Parameter. Aber das Elektron ist nur eines von 16 bekannten massiven Elementarteilchen , alle mit unterschiedlichen Massen, und es gibt keinen zwingenden Grund innerhalb der fundamentalen Physik, die Elektronenmasse gegenüber der Masse eines anderen Elementarteilchens hervorzuheben.

Planck betrachten nur die Einheiten auf der Basis die universellen Konstanten G , h , c und k _B an den natürlichen Einheiten ankommen Länge , Zeit , Masse und Temperatur , aber keine elektromagnetischen Einheiten. Das Planck-Einheitensystem verwendet nun die reduzierte Planck-Konstante anstelle der Planck-Konstante h .

Steinige Einheiten

Menge	Ausdruck	Messwert
Länge (L)	${\displaystyle l_{\text{S}}={\sqrt {\frac {Gk_{\text{e}}e^{2}}{c^{4}}}}}$	1.380 68 × 10 −36  m
Masse (M)	${\displaystyle m_{\text{S}}={\sqrt {\frac {k_{\text{e}}e^{2}}{G}}}}$	1,859 21 × 10 -9  kg
Zeit (T)	${\displaystyle t_{\text{S}}={\sqrt {\frac {Gk_{\text{e}}e^{2}}{c^{6}}}}}$	4,605 44 × 10 −45  s
Elektrische Ladung (Q)	${\displaystyle q_{\text{S}}=e\ }$	1.602 18 × 10 −19  C

Das Stoney-Einheitensystem verwendet die folgenden Konstanten, um den numerischen Wert 1 in Bezug auf die resultierenden Einheiten zu haben:

c , G , k _e , e ,

Dabei ist c die Lichtgeschwindigkeit , G die Gravitationskonstante , k _e die Coulomb-Konstante und e die Elementarladung .

Das Einheitensystem von George Johnstone Stoney ging dem von Planck voraus. Er stellte die Idee in einem Vortrag mit dem Titel "On the Physical Units of Nature" vor der British Association im Jahr 1874 vor. Stoney-Einheiten berücksichtigten nicht die Planck-Konstante , die erst nach Stoneys Vorschlag entdeckt wurde.

Stoney-Einheiten werden in der modernen Physik selten für Berechnungen verwendet, aber sie sind von historischem Interesse.

Atomare Einheiten

Menge	Ausdruck	Messwert
Länge (L)	${\displaystyle l_{\text{A}}={\frac {(4\pi\epsilon_{0})\hbar^{2}}{m_{\text{e}}e^{2}}} }$	5,292 × 10 -11  m
Masse (M)	${\displaystyle m_{\text{A}}=m_{\text{e}}}$	9,109 × 10 −31  kg
Zeit (T)	${\displaystyle t_{\text{A}}={\frac {(4\pi\epsilon_{0})^{2}\hbar^{3}}{m_{\text{e}}e^{ 4}}}}$	2,419 × 10 -17  s
Elektrische Ladung (Q)	${\displaystyle q_{\text{A}}=e}$	1,602 × 10 -19  C

Das atomare Einheitensystem von Hartree verwendet die folgenden Konstanten, um den numerischen Wert 1 in Bezug auf die resultierenden Einheiten zu haben:

e , m _e , , k _e .

Die Coulomb-Konstante k _e wird allgemein ausgedrückt als1/4 π ε ₀ wenn Sie mit diesem System arbeiten.

Diese Einheiten wurden entwickelt, um die Atom- und Molekularphysik und -chemie, insbesondere das Wasserstoffatom , zu vereinfachen , und werden in diesen Bereichen häufig verwendet. Die Hartree-Einheiten wurden zuerst von Douglas Hartree vorgeschlagen .

Die Einheiten wurden speziell entwickelt, um das Verhalten eines Elektrons im Grundzustand eines Wasserstoffatoms zu charakterisieren. Zum Beispiel hat in Hartree-Atomeinheiten im Bohrschen Modell des Wasserstoffatoms ein Elektron im Grundzustand einen Bahnradius (den Bohrschen Radius ) a ₀  = 1  l _A , Bahngeschwindigkeit = 1  l _A ⋅ t _A ⁻¹ , Winkel Impuls = 1  m _A ⋅ l _A ⋅ t _A ⁻¹ , Ionisierungsenergie =1/2 m _A ⋅ l _A ² ⋅ t _A ⁻² usw.

Die Energieeinheit wird im Hartree-System als Hartree-Energie bezeichnet . Die Lichtgeschwindigkeit ist in Hartree-Atomeinheiten relativ groß ( c  =1/α l _A ⋅ t _A ⁻¹  ≈ 137  l _A ⋅ t _A ⁻¹ ), da ein Elektron in Wasserstoff dazu neigt, sich viel langsamer als die Lichtgeschwindigkeit zu bewegen. Die Gravitationskonstante ist in atomaren Einheiten extrem klein ( G  ≈ 10 ⁻⁴⁵  m _A ⁻¹ ⋅ l _A ³ ⋅ t _A ⁻² ), was darauf zurückzuführen ist, dass die Gravitationskraft zwischen zwei Elektronen viel schwächer ist als die Coulomb-Kraft zwischen ihnen.

Ein weniger häufig verwendetes eng verwandtes System ist das System der Rydberg- Atomeinheiten , in dem e ² /2, 2 m _e , ℏ, k _e als normierte Konstanten verwendet werden, mit resultierenden Einheiten l _R = a ₀ =(4 π ε ₀ ) ℏ ²/m _e e ², t _R =2(4 π ε ₀ ) ² ℏ ³/m _e e ⁴, M _R = 2 m _e , q _R = e / √ 2 .

Natürliche Einheiten (Teilchen- und Atomphysik)

Menge	Ausdruck	Messwert
Länge (L)	${\displaystyle {\frac {\hbar}{m_{\text{e}}c}}}$	3,862 × 10 −13  m
Masse (M)	${\displaystyle m_{\text{e}}\ }$	9,109 × 10 −31  kg
Zeit (T)	${\displaystyle {\frac {\hbar}{m_{\text{e}}c^{2}}}}$	1.288 × 10 −21  s
Elektrische Ladung (Q)	${\displaystyle {\sqrt {\varepsilon_{0}\hbarc}}}$	5.291 × 10 -19  C

Das natürliche Einheitensystem, das nur in der Teilchen- und Atomphysik verwendet wird, verwendet die folgenden Konstanten, um den Zahlenwert 1 in Bezug auf die resultierenden Einheiten zu haben:

c , m _e , , ε ₀ ,

wobei c die ist mit Lichtgeschwindigkeit , m _e ist die Elektronenmasse , ℏ wird die reduzierte Plancksche Konstante und ε ₀ die Vakuum - Dielektrizitätskonstante .

Der Vakuum - Dielektrizitätskonstante ε ₀ wird implizit normalisiert, wie aus dem Physiker Ausdruck für die evident ist Feinstruktur - Konstante , geschrieben α = e ² / (4 π ) , der mit dem gleichen Ausdruck in SI verglichen werden: α = e ² / (4 πε ₀ ℏ c ) .

Quantenchromodynamik-Einheiten

Menge	Ausdruck	Messwert
Länge (L)	${\displaystyle l_{\mathrm {QCD}}={\frac {\hbar}{m_{\text{p}}c}}}$	2,103 × 10 -16  m
Masse (M)	${\displaystyle m_{\mathrm {QCD}}=m_{\text{p}}\ }$	1,673 × 10 −27  kg
Zeit (T)	${\displaystyle t_{\text{QCD}}={\frac {\hbar}{m_{\text{p}}c^{2}}}}$	7,015 × 10 -25  s
Elektrische Ladung (Q)	${\displaystyle q_{\mathrm {QCD} }=e}$ (Original)	1,602 × 10 -19  C
	${\displaystyle q_{\mathrm {QCD}}={\frac {e}{\sqrt {4\pi\alpha}}}}$ (Ratte.)	5.291 × 10 -19  C
	${\displaystyle q_{\mathrm {QCD}}={\frac {e}{\sqrt {\alpha}}}}$ (Nicht-Ratte.)	1,876 × 10 -18  C

c = m _p = ℏ = 1 ; wenn rationalisiert, dannist 1, wenn nicht,ist 1 (in den ursprünglichen QCD-Einheiten ist e stattdessen 1.)${\displaystyle \epsilon _{0}}$${\displaystyle 4\pi \epsilon _{0}}$

Die Ruhemasse des Elektrons wird durch die des Protons ersetzt . Starke Einheiten , auch Quantenchromodynamik (QCD)-Einheiten genannt, sind "bequem für die Arbeit in der QCD und der Kernphysik, wo Quantenmechanik und Relativität allgegenwärtig sind und das Proton ein Objekt von zentralem Interesse ist".

Geometrisierte Einheiten

c = G = 1

Das geometrisierte Einheitensystem, das in der Allgemeinen Relativitätstheorie verwendet wird , ist ein unvollständig definiertes System. In diesem System werden die physikalischen Basiseinheiten so gewählt, dass die Lichtgeschwindigkeit und die Gravitationskonstante gleich Eins sind. Andere Einheiten können nach Belieben behandelt werden. Planck-Einheiten und Stoney-Einheiten sind Beispiele für geometrisierte Einheitensysteme.

Übersichtstabelle

Menge / Symbol	Planck	Stoney	Hartree	Rydberg
Konstanten definieren	${\displaystyle c}$, , ,${\displaystyle G}$${\displaystyle \hbar}$${\displaystyle k_{\text{B}}}$	${\displaystyle c}$, , ,${\displaystyle G}$${\displaystyle e}$${\displaystyle k_{\text{e}}}$	${\displaystyle e}$, , ,${\displaystyle m_{\text{e}}}$${\displaystyle \hbar}$${\displaystyle k_{\text{e}}}$	${\displaystyle e^{2}/2}$, , ,${\displaystyle 2m_{\text{e}}}$${\displaystyle \hbar}$${\displaystyle k_{\text{e}}}$
Lichtgeschwindigkeit ${\displaystyle c}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\alpha }}}$
Reduzierte Planck-Konstante ${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
Grundgebühr ${\displaystyle e}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
Gravitationskonstante ${\displaystyle G}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle G}$	${\displaystyle G}$
Boltzmann-Konstante ${\displaystyle k_{\text{B}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle -}$
Elektronenruhemasse ${\displaystyle m_{\text{e}}}$	${\displaystyle m_{\text{e}}}$	${\displaystyle m_{\text{e}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

wo:

• α ist die Feinstrukturkonstante , α =e ²/4 πε ₀ ħc 0,007297,
• Ein Strich (–) zeigt an, wo das System nicht ausreicht, um die Menge auszudrücken.

Siehe auch

Hinweise und Referenzen

Externe Links

• Die NIST-Website ( National Institute of Standards and Technology ) ist eine bequeme Quelle für Daten zu den allgemein anerkannten Konstanten.
• KA Tomilin: NATÜRLICHE SYSTEME VON EINHEITEN; Zum hundertjährigen Jubiläum des Planck-Systems Ein vergleichender Überblick/Tutorial verschiedener Systeme natürlicher Einheiten mit historischer Verwendung.
• Pädagogische Hilfsmittel zur Quantenfeldtheorie Klicken Sie auf den Link für Kap. 2, um eine ausführliche, vereinfachte Einführung in natürliche Einheiten zu finden.