Peirces Gesetz - Peirce's law

In der Logik ist das Gesetz von Peirce nach dem Philosophen und Logiker Charles Sanders Peirce benannt . Es wurde als Axiom in seiner ersten Axiomatisierung der Aussagenlogik verwendet . Man kann es sich als das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte vorstellen, das in einer Form geschrieben ist, die nur eine Art von Konnektiv beinhaltet, nämlich Implikation.

In der Aussagenlogik , Peirce Gesetz sagt , dass (( P → Q ) → P ) → P . Ausgeschrieben bedeutet dies, dass P wahr sein muss, wenn es einen Satz Q gibt, so dass die Wahrheit von P aus der Wahrheit von "wenn P, dann Q " folgt . Insbesondere dann , wenn Q eine falsche Formel angenommen wird, sagt das Gesetz , dass , wenn P wahr sein müssen , wenn sie das Falsche bedeutet, dann P wahr ist. Auf diese Weise impliziert das Gesetz von Peirce das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte .

Das Gesetz von Peirce gilt nicht in der intuitionistischen Logik oder in der Zwischenlogik und kann nicht allein aus dem Deduktionssatz abgeleitet werden .

Unter dem Curry-Howard-Isomorphismus ist das Peirce-Gesetz die Art von Fortsetzungsoperatoren , zB call/cc in Scheme .

Geschichte

Hier ist Peirces eigene Gesetzesaussage:

Eine fünfte Ikone ist für das Prinzip der ausgeschlossenen Mitte und andere damit verbundene Sätze erforderlich . Eine der einfachsten Formeln dieser Art ist:

Das ist kaum axiomatisch. Dass es wahr ist, zeigt sich wie folgt. Sie kann nur dann falsch sein, wenn die letzte Folge x falsch ist, während ihr Vorgänger ( x → y ) → x wahr ist. Wenn dies wahr ist, ist entweder ihre Konsequenz x wahr, wenn die ganze Formel wahr wäre, oder ihr Vorgänger x → y ist falsch. Aber im letzten Fall muss der Antezedens von x → y , also x , wahr sein. (Peirce, die gesammelten Papiere 3.384).

Peirce weist weiter auf eine sofortige Anwendung des Gesetzes hin:

Aus der eben gegebenen Formel erhalten wir sofort:

wobei a so verwendet wird, dass ( x → y ) → a bedeutet, dass aus ( x → y ) jeder Satz folgt. Mit diesem Verständnis besagt die Formel das Prinzip der ausgeschlossenen Mitte, dass aus der Falschheit der Verleugnung von x die Wahrheit von x folgt . (Peirce, die gesammelten Papiere 3.384).

Warnung : (( x → y ) → a ) → x ist nicht ein tautology . [ a → x ] → [(( x → y ) → a ) → x ] ist jedoch eine Tautologie.

Andere Beweise

Hier ist ein einfacher Beweis für das Peirce-Gesetz, das eine doppelte Negation annimmt und die Standarddisjunktion aus einer Implikation herleitet : ${\displaystyle (\neg \neg P\iff P)}$${\displaystyle ((P\rightarrow Q)\rightarrow (\neg P\vee Q))}$

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}(p\rightarrow q)\rightarrow p\\\neg (p\rightarrow q)\lor p\\\neg (\neg p\lor q)\lor p\\(p \land \neg q)\lor p\\p\lor p\\p.\\\end{ausgerichtet}}}$

Verwendung des Peirce-Gesetzes mit dem Deduktionssatz

Das Gesetz von Peirce erlaubt es, die Technik der Verwendung des Deduktionssatzes zum Beweis von Sätzen zu verbessern . Angenommen man hat eine Menge von Prämissen Γ und möchte daraus einen Satz Z ableiten . Mit dem Gesetz von Peirce kann man (kostenlos) zusätzliche Prämissen der Form Z → P zu Γ hinzufügen . Angenommen, wir haben P → Z und ( P → Q )→ Z und wollen Z ableiten, sodass wir mit dem Deduktionssatz schließen können, dass ( P → Z )→((( P → Q )→ Z )→ Z ) ist ein Satz. Dann können wir eine weitere Prämisse Z → Q hinzufügen . Daraus und P → Z erhalten wir P → Q . Dann wenden wir modus ponens mit ( P → Q ) → Z als Hauptprämisse an, um Z zu erhalten . Unter Anwendung des Deduktionssatzes erhalten wir, dass ( Z → Q )→ Z aus den ursprünglichen Prämissen folgt. Dann verwenden wir das Peirce-Gesetz in der Form (( Z → Q ) → Z ) → Z und Modus ponens, um Z aus den ursprünglichen Prämissen abzuleiten . Dann können wir den Beweis des Satzes wie ursprünglich beabsichtigt abschließen.

Vollständigkeit des impliziten Aussagenkalküls

Ein Grund für die Bedeutung des Peirceschen Gesetzes besteht darin, dass es das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte in der Logik ersetzen kann, die nur Implikationen verwendet. Die aus den Axiomenschemata ableitbaren Sätze:

• P →( Q → P )
• ( P → ( Q → R )) → (( P → Q ) → ( P → R ))
• (( P → Q ) → P ) → P
• aus P und P → Q auf Q schließen

(wobei P , Q , R nur "→" als Konnektor enthalten) sind alle Tautologien, die nur "→" als Konnektor verwenden.

Siehe auch

• Bibliographie von Charles Sanders Peirce

Anmerkungen

Weiterlesen

• Peirce, CS, "Über die Algebra der Logik: Ein Beitrag zur Philosophie der Notation", American Journal of Mathematics 7, 180-202 (1885). Nachgedruckt, die Collected Papers of Charles Sanders Peirce 3.359–403 und die Schriften von Charles S. Peirce: A Chronological Edition 5, 162–190.
• Peirce, CS, Gesammelte Papiere von Charles Sanders Peirce , Vols. 1–6, Charles Hartshorne und Paul Weiss (Hrsg.), Vols. 7–8, Arthur W. Burks (Hrsg.), Harvard University Press, Cambridge, MA, 1931–1935, 1958.