Axiom - Axiom


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Ein Axiom oder Postulat ist eine Aussage , die zu nehmen ist wahr , als zu dienen Prämisse oder Ausgangspunkt für weitere Überlegungen und Argument. Das Wort stammt aus dem Griechischen axioma ( ἀξίωμα ) ‚das , was würdig gedacht wird , oder fit‘ oder ‚das , was sich als evident lobt.‘

Der Begriff hat feine Unterschiede in der Definition , wenn sie in Zusammenhang mit verschiedenen Bereichen der Studie verwendet. Wie in definierten klassischen Philosophie , ist ein Axiom eine Aussage , die so ist offensichtlich , oder etablierte, dass es unumstritten oder Frage angenommen. Da in moderner verwendet Logik , ist ein Axiom eine Voraussetzung oder Ausgangspunkt für die Argumentation.

Wie in den verwendeten Mathematik , der Begriff Axiom : in zwei verwandte , aber unterscheidbaren Sinne verwendet „logischen Axiome“ und „Nicht-Axiome logischen“ . Logische Axiome sind in der Regel Anweisungen , die sie definieren , im System der Logik als wahr genommen werden (beispielsweise ( A und B ) implizieren , A ), die oft in symbolischer Form gezeigt, während Nicht-logische Axiome (zB a + b = b + a ) tatsächlich inhaltliche Aussagen über die Elemente der Domain eines bestimmten mathematischen Theorie (wie Arithmetik ). Wenn im letzteren Sinne verwendet, „Axiom“, „Postulat“ und „Annahme“ austauschbar verwendet werden. Im Allgemeinen ist ein nicht-logisches Axiom nicht eine selbstverständliche Wahrheit, sondern ein formal logischer Ausdruck in Abzug verwendet , um eine mathematische Theorie zu bauen. Um ein System von Kenntnissen zu axiomatisieren ist , zu zeigen , dass seine Forderungen aus einer kleinen abgeleitet werden können, gut verstanden Menge von Sätzen (Axiome). Es ist in der Regel mehr Möglichkeiten , eine bestimmte mathematische Domäne axiomatisieren.

Jedes Axiom ist eine Aussage , die als Ausgangspunkt dient , von denen andere Aussagen sind logisch abgeleitet. Ob es sinnvoll ist (und wenn ja, was es bedeutet) für ein Axiom „wahr“ zu sein , ist ein Thema der Debatte in der Philosophie der Mathematik .

Etymologie

Das Wort Axiom kommt aus dem griechischen Wort ἀξίωμα ( axioma ), ein Verbalsubstantiv vom Verb ἀξιόειν ( axioein ), was bedeutet , „würdig erachten“, sondern auch „zu verlangen“, was wiederum kommt ἄξιος ( Axios ), was bedeutet " wobei in Balance“und damit "aufweist (die gleichen) Wert (AS)", "wert", "richtige". Unter den alten griechischen Philosophen war ein Axiom eine Behauptung , die gesehen werden konnte jeden Bedarf nach Beweisen um wahr zu sein ohne.

Die Wurzel mit der Bedeutung des Wortes Postulat ist „Nachfrage“ zu; zum Beispiel Euklid verlangt , dass man sich einig , dass einige Dinge getan werden kann, zum Beispiel zwei beliebige Punkte durch eine gerade Linie verbunden werden, usw.

Historisch Geometer beibehalten einig Unterscheidung Axiome und Postulate. Während auf Euklids Bücher zu kommentieren, Proclus bemerkt , dass " Geminus entschieden , dass diese [4.] Postulat sollte nicht als Postulat , sondern als Axiom eingestuft werden, da sie wie die ersten drei Postulate nicht der Fall ist, die Möglichkeit einer Konstruktion behaupten sondern drückt eine wesentliche Eigenschaft.“ Boethius übersetzt ‚Postulat‘ als petitio und rief die Axiome notiones Gemeinden aber in späteren Manuskripten diese Nutzung nicht immer streng gehalten.

Historische Entwicklung

früh Griechen

Das logisch-deduktiv Verfahren , bei dem Schluss (neue Kenntnisse) folgt aus Betrieben (alt Kenntnisse) durch die Anwendung von guten Argumenten ( Schlüsse , Schlußregeln), wurde von den alten Griechen entwickelt und hat das Kernprinzip der modernen Mathematik worden. Tautologien ausgeschlossen, nichts kann abgeleitet werden , wenn nichts angenommen. Axiome und Postulate sind die grundlegenden Annahmen einen bestimmten Körper der deduktiven Erkenntnis zugrunde liegen. Sie werden ohne Vorführung akzeptiert. Alle anderen Behauptungen ( Theoreme , wenn wir über Mathematik sprechen) müssen mit Hilfe dieser Grundannahmen nachgewiesen werden. Allerdings hat sich die Interpretation des mathematischen Wissens von der Antike bis zur modernen geändert und damit die Begriffe Axiom und Postulat eine etwas andere Bedeutung für den heutigen Tag Mathematiker halten, als sie tat Aristoteles und Euklid .

Die alten Griechen hielten Geometrie als nur eine von mehreren Wissenschaften und hielt die Theoreme der Geometrie auf einer Stufe mit wissenschaftlichen Fakten. Insofern sie entwickelt und verwendet , um die logisch-deduktiven Methode als Mittel Fehler zu vermeiden und für die Strukturierung und Vermittlung von Wissen. Aristoteles ' Analytik ist eine endgültige Auslegung der klassischen Aussicht.

Ein „Axiom“, in der klassischen Terminologie, bezogen auf eine selbstverständliche Voraussetzung, die in vielen Bereichen der Wissenschaft. Ein gutes Beispiel wäre die Behauptung,

Wenn eine gleiche Menge von Gleichen genommen wird, ergibt sich eine gleiche Menge.

Auf der Grundlage der verschiedenen Wissenschaften legen bestimmte zusätzliche Hypothesen , die ohne Nachweis akzeptiert wurde. Eine solche Hypothese wurde ein genannt Postulat . Während die Axiome , die in vielen Wissenschaften waren, waren die Postulate des jeweiligen science anders. Ihre Gültigkeit hatte durch praktische Erfahrungen aufgebaut werden. Tatsächlich warnt Aristoteles , dass der Inhalt einer Wissenschaft kann nicht erfolgreich übertragen werden, wenn der Lernende über die Wahrheit der Postulate in Zweifel.

Der klassische Ansatz ist gut bebildert von Euklids Elementen , in dem eine Liste der Postulate gegeben (Common-sensical geometrische Fakten von unseren Erfahrungen gezogen), gefolgt von einer Liste von „gemeinsamen Vorstellungen“ (sehr einfach, eine Selbstverständlichkeit Assertions).

Postulate
  1. Es ist möglich , ein Unentschieden geraden Linie von einem beliebigen Punkt zu einem anderen Punkt.
  2. Es ist möglich, ein Liniensegment kontinuierlich in beiden Richtungen zu verlängern.
  3. Es ist möglich , eine beschreiben Kreis mit jedem Zentrum und jedem Radius.
  4. Es ist wahr , dass alle rechten Winkel zueinander gleich sind.
  5. ( „ Parallel Postulat “) Es ist wahr , dass, wenn eine gerade Linie auf zwei geraden Linien , die zu machen Interieur Winkel auf der gleichen Seite weniger als zwei rechte Winkel, wobei die beiden geraden Linien, wenn auf unbestimmte Zeit produziert, schneiden sich auf jener Seite , auf dem die Winkel weniger als die beiden rechten Winkel.
gemeinsame Vorstellungen
  1. Dinge, die auf dasselbe gleich sind, auch einander gleich.
  2. Falls Gleichen zu Gleichen hinzugefügt werden, sind die Ganzen gleich.
  3. Wenn equals von equals subtrahiert werden, sind die Reste gleich.
  4. Dinge, die mit einer zusammenfallen einem anderen sind einander gleich.
  5. Das Ganze ist größer als der Teil.

moderne Entwicklung

Eine Lektion von Mathematik in den letzten 150 Jahren gelernt hätte , ist , dass es nützlich ist , aus den mathematischen Behauptungen (Axiome, Postulate, die Bedeutung weg abzustreifen Sätze , Theoreme) und Definitionen. Man muss den Bedarf für zuzugestehen primitive Vorstellungen oder undefinierte Begriffe oder Konzepte in jeder Untersuchung. Eine solche Abstraktion oder Formalisierung macht mathematisches Wissen allgemeiner, kann mehrere verschiedene Bedeutungen, und daher nützlich in mehreren Kontexten. Alessandro Padoa , Mario Pieri und Giuseppe Peano waren in dieser Bewegung Pioniere.

Strukturalistische Mathematik geht weiter und entwickelt Theorien und Axiome (zB Feldtheorie , Gruppentheorie , Topologie , Vektorräume ) , ohne jede spezielle Anwendung im Auge. Die Unterscheidung zwischen einem „Axiom“ und einem „Postulat“ verschwindet. Die Postulate von Euklid sind rentabel motiviert , indem er sagte , dass sie zu einem großen Schatz an geometrischen Fakten führen. Die Wahrheit dieser komplizierten Sachverhalt beruht auf der Annahme der grundlegenden Annahmen. Doch durch das Werfen aus Euklids fünftem Postulat wir kriegen Theorien , die in größeren Zusammenhang Bedeutung haben, hyperbolische Geometrie zum Beispiel. Wir müssen einfach bereit sein , Etiketten wie „Linie“ und „parallel“ mit mehr Flexibilität. Die Entwicklung des hyperbolischen Geometrie unterrichtet Mathematiker , die Postulate sollten als rein formale Aussagen und nicht als Faktum Erfahrungswert angesehen werden.

Als Mathematiker die beschäftigen Feld Axiome sind die Absichten noch abstrakt. Die Sätze der Feldtheorie betreffen nicht irgendeine bestimmte Anwendung; der Mathematiker arbeitet nun in völligen Abstraktion. Es gibt viele Beispiele von Feldern; Feldtheorie gibt korrekt Kenntnisse über sie alle.

Es ist nicht richtig zu sagen, dass die Axiome der Feldtheorie sind „Sätze, die als wahr ohne Beweis angesehen werden.“ Vielmehr sind die Feld Axiome eine Reihe von Beschränkungen. Wenn ein gegebenes System der Addition und Multiplikation dieser Beschränkungen erfüllt, dann ist man in der Lage, sofort viele zusätzliche Informationen über dieses System zu lernen.

Die moderne Mathematik formalisiert seine Fundamente in einem solchen Maße , dass mathematischer Theorien als mathematische Objekte angesehen werden kann, und der Mathematik selbst kann als ein Zweig der betrachtet werden Logik . Frege , Russell , Poincaré , Hilbert , und Gödel sind einige der Schlüsselfiguren in dieser Entwicklung.

Im modernen Verständnis, eine Reihe von Axiomen ist ein beliebige Sammlung von offiziell angegeben Behauptungen , von denen andere offiziell angegeben Behauptungen durch die Anwendung von bestimmten , genau definierten Regeln folgen. In dieser Sicht logisch nur ein weiteres formelles System. Eine Reihe von Axiomen sollte konsistent ; sollte es unmöglich sein , einen Widerspruch aus dem Axiom abzuleiten. Ein Satz von Axiomen sollte auch nicht-redundant sein; eine Behauptung , die von anderen Axiomen abgeleitet werden kann , muß nicht als Axiom betrachtet werden.

Es war der Anfang der Hoffnung der modernen Logiker , die verschiedenen Zweige der Mathematik, vielleicht alle Mathematik, könnte von einer konsistenten Sammlung von grundlegenden Axiome abgeleitet werden. Ein früher Erfolg des formalistischen Programms war Hilberts Formalisierung der euklidischen Geometrie , und der damit verbundene Nachweis der Übereinstimmung dieser Axiome.

In einem größeren Zusammenhang, war ein Versuch unternommen die gesamte Mathematik auf Basis Cantors Mengenlehre . Hier wird die Entstehung von Russells Paradox und ähnliche Antinomien der naiven Mengenlehre erhöht die Möglichkeit , dass ein solches System als unvereinbar herausstellen könnte.

Das formalistische Projekt erlitt einen entscheidenden Rückschlag, wenn im Jahr 1931 Gödel gezeigt , dass es möglich ist, für all ausreichend große Menge von Axiomen ( Peanos Axiomen , zum Beispiel) eine Aussage , deren Wahrheit ist unabhängig von dieser Menge von Axiomen aufzubauen. Als logische Folge bewies Gödel , dass die Konsistenz einer Theorie wie Peano Arithmetik ist eine unbeweisbare Behauptung im Rahmen dieser Theorie.

Es ist vernünftig , in der Konsistenz von Peano Arithmetik zu glauben , weil es durch das System der erfüllt ist natürlicher Zahlen , ein unendlichen aber intuitiv zugänglich formalen Systems. Doch derzeit gibt es keinen bekannten Weg , um die Konsistenz der modernen demonstrieren Zermelo-Fraenkel Axiome für Mengenlehre. Darüber hinaus mit Hilfe von Techniken der Zwingen ( Cohen zeigen , man kann) , daß die Kontinuumshypothese (Cantor) der Zermelos Fraenkel-Axiome unabhängig ist. Auf diese Weise, auch dieser sehr allgemeine Satz von Axiomen nicht als die endgültige Grundlage für Mathematik betrachtet werden.

andere Wissenschaften

Axiome spielen eine zentrale Rolle nicht nur in Mathematik, sondern auch in anderen Wissenschaften, vor allem in der theoretischen Physik . Insbesondere das monumental Werk Isaac Newton beruht im wesentlichen auf Euclid ‚s Axiomen, durch ein Postulat , auf dem nicht-Verhältnis von Augmented Raum - Zeit und der Physik Platz darin in jedem Moment nehmen.

Im Jahr 1905 wurden Newtons Axiome von denen ersetzt Albert Einstein ‚s den speziellen Relativitätstheorie und später durch die von den allgemeinen Relativitätstheorie .

Eine weitere Arbeit von Albert Einstein und Mitarbeitern (siehe EPR Paradox ), fast unverzüglich wieder von Niels Bohr , die Auslegung der betreffende Quantenmechanik . Das war im Jahr 1935. Laut Bohr, diese neue Theorie soll probabilistische , wogegen nach Einstein sollte es sein , deterministisch . Bemerkenswert ist , indem es die zugrundeliegende quantenmechanische Theorie, dh die Menge von „Sätzen“ abgeleitet, schienen identisch zu sein. Einstein angenommen sogar , dass es ausreichen würde , um die Quantenmechanik „verborgene Variablen“ Determinismus erzwingen hinzuzufügen. Doch 30 Jahre später, 1964, John Bell fand einen Satz, komplizierte optische Korrelationen (siehe Einbeziehung Glocke Ungleichheiten ), die messbar unterschiedliche Ergebnisse unter Verwendung von Einsteins Axiome ergab im Vergleich zu Bohrs Axiome verwendet wird . Und es dauerte etwa weitere 20 Jahre , bis ein Experiment von Alain Aspect Ergebnisse bekam für Bohr Axiome, nicht Einstein. (Bohrs Axiome sind einfach: Die Theorie sollte im Sinne der probabilistischen seine Kopenhagener Deutung .)

Infolgedessen ist es nicht erforderlich, explizit Axiome Einstein zu zitieren, um so mehr, da sie feine Punkte auf der „Realität“ und „Ort“ der Experimente betreffen.

Unabhängig davon, ist die Rolle der Axiome in der Mathematik und in den oben genannten Wissenschaften anders. In der Mathematik man weder „erweist sich“ noch „widerlegt“ ein Axiom für einen Satz von Theoremen; der Punkt ist einfach , dass durch die Axiome identifizierte im konzeptionellen Bereich, die Sätze logisch folgen. Im Gegensatz dazu wird ein Vergleich mit Experimenten in der Physik ist immer sinnvoll, da eine gefälschte physikalische Theorie Abwandlung braucht.

mathematische Logik

Auf dem Gebiet der mathematischen Logik , eine klare Unterscheidung zwischen zwei Begriffen Axiome gemacht: logischer und nicht-logischer (ähnlich dem alten Unterscheidung zwischen „Axiome“ und „Postulate“ bezeichnet).

logische Axiome

Dies sind einige Formeln in einer formalen Sprache , die universell gültig , das heißt, Formeln , die sind zufrieden mit jeder Zuweisung von Werten. Normalerweise nimmt man als logische Axiome wenigstens eine minimale Menge von tautologies , die für den Nachweis ausreichend ist , all tautologies in der Sprache; im Fall der Prädikatenlogik logische Axiome als die benötigt werden , um zu beweisen , logische Wahrheiten , die nicht Tautologien im strengen Sinne sind.

Beispiele

Aussagelogik

In Propositionslogik ist es üblich , als logische Axiome alle Formeln der folgenden Formen zu nehmen, wo , und alle Formeln der Sprache sein kann und wo die inbegriffen primitiven Konnektoren sind nur „ “ für Negation der unmittelbar folgenden Proposition und „ “ für Implikation von vorgängigen zu daraus folgenden Sätzen:

Jede dieser Strukturen ist ein Axiom - Schema , eine Vorschrift für eine unendliche Anzahl von Axiomen zu erzeugen. Wenn zum Beispiel , und sind Propositionsvariablen , dann und sind beide Instanzen von Axiom Schema 1 und sind daher Axiome. Es kann mit nur diese drei Axiom Schemata und gezeigt werden , dass modus ponens kann man alle Tautologien der Aussagenlogik beweisen. Es kann auch gezeigt werden , dass kein Paar dieser Schemata für den Nachweis aller Tautologien mit ausreicht modus ponens .

Andere Axiom-Schemata die gleichen oder verschiedene Arten von primitiven Konnektive Beteiligung können alternativ konstruiert werden.

Die Axiom - Schemata werden auch in dem verwendeten Prädikat Kalkül , sondern zusätzliche logische Axiome benötigt , um eine quantifier im Kalkül einzubeziehen.

Logik erster Stufe

Axiom der Gleichheit. Lassen Sie sich eine seine erste Ordnung Sprache . Für jede Variable , die Formel

ist allgemeingültig.

Dies bedeutet , dass für jedes Variable Symbol der Formel kann als Axiom betrachtet werden. Auch in diesem Beispiel dazu nicht in Unbestimmtheit fallen und eine unendliche Reihe von „primitiver Vorstellungen“, entweder eine genaue Vorstellung von dem, was wir meinen , durch (oder, was das betrifft, „gleich sein“) muss sein erster oder eine rein formale und syntaktische Nutzung des Zeichens gut etabliert hat durchgesetzt werden, nur als String hinsichtlich und nur eine Reihe von Symbolen und mathematische Logik in die Tat das tun.

Ein weiteres, interessantes beispiel Axiom Schema , ist das , was uns mit liefert , was wie bekannt ist Universal - Instanziierung :

Axiom Schema für Universal Instanziierung. Bei einer Formel in einer ersten Ordnung Sprache , eine Variable und einen Begriff , der ist substituierbar für in der Formel

ist allgemeingültig.

Wo das Zeichen steht für die Formel mit dem Begriff substituiert . (Siehe Substitution von Variablen .) In informellen Bedingungen dieses Beispiel uns daran, dass zu sagen gestattet , wenn wir wissen , dass eine bestimmte Eigenschaft für jeden hält und steht für ein bestimmtes Objekt in unseren Strukturen, dann sollten wir in der Lage seinen Anspruch . Wieder behaupten wir , dass die Formel gültig ist , das heißt, müssen wir einen „Beweis“ dieser Tatsache Rechnung tragen können, oder besser gesagt, eine metaproof . Eigentlich sind diese Beispiele Metatheoreme unsere Theorie der mathematischen Logik , da wir mit dem Konzept der handelt Beweis selber. Abgesehen davon können wir auch haben existentielle Generalisierung :

Axiom Schema für Existentielle Generalisierung. Angesichts eine Formel in einer ersten Ordnung Sprache , eine Variable und eine Laufzeit , die für die substituierbar ist in der Formel

ist allgemeingültig.

Nicht logische Axiome

Nicht logische Axiome sind Formeln, die die Rolle der Theorie spezifische Annahmen spielen. Reasoning über zwei verschiedene Strukturen, beispielsweise die natürlichen Zahlen und die Zahlen , die gleichen logischen Axiome beteiligen; die nicht-logischen Axiome Ziel über eine bestimmte Struktur zu erfassen , was besonders ist (oder von Strukturen, wie beispielsweise Set - Gruppen ). Daher nicht-logische Axiome, im Gegensatz logische Axiome sind nicht Tautologien . Ein anderer Name für ein nicht-logisches Axiom ist Postulat .

Fast jede moderne mathematische Theorie geht von einem bestimmten Satz von nicht-logischen Axiomen, und es wurde angenommen , dass im Prinzip könnte jede Theorie auf diese Weise und formalisierte bis auf die blanke Sprache der logischen Formeln axiomatisiert werden.

Nicht logische Axiome werden oft einfach als bezeichnet Axiome in mathematischen Diskurs . Das heißt aber nicht , dass es wird behauptet , dass sie in einigen absoluten Sinne wahr sind. Zum Beispiel, in einigen Gruppen ist die Gruppe Operation kommutativ , und dies kann mit der Einführung eines zusätzlichen Axiom geltend gemacht werden, aber ohne dieses Axiom können wir ganz gut tun Entwicklung (die allgemeinere) Gruppentheorie, und wir können sogar ihr Negation als Axiom für die Untersuchung von nicht-kommutativen Gruppen.

Somit ist ein Axiom ist eine elementare Grundlage für ein formales Logik - System , das zusammen mit den Schlußregeln ein definieren deduktives System .

Beispiele

Dieser Abschnitt enthält Beispiele für die mathematischen Theorien, die vollständig aus einer Menge von nicht-logischen Axiomen (Axiome, von nun an) entwickelt werden. Eine rigorose Behandlung von einem dieser Themen beginnt mit einer Angabe dieser Axiome.

Grundlegende Theorien, wie Arithmetik , wirkliche Analyse und komplexe Analysen sind oft nicht-axiomatisch eingeführt, aber implizit oder explizit gibt es im Allgemeinen eine Annahme , daß die Axiome Axiome verwendet werden Zermelo-Fraenkel Mengenlehre mit Wahlmöglichkeit, abgekürzt ZFC, oder einig sehr ähnliches System der axiomatischen Mengenlehre wie Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre , eine konservative Erweiterung von ZFC. Manchmal etwas stärkeren Theorien wie Morse-Kelley settheorie oder settheorie mit einem stark unzugänglichen Kardinal ermöglicht die Verwendung eines Grothendieck Weltall verwendet werden, aber in der Tat der meisten Mathematiker können eigentlich alles , was sie in Systemen schwächer als ZFC müssen beweisen, wie zweit- um die Arithmetik .

Das Studium der in der Mathematik Topologie erstreckt ganzen durch Punktmenge Topologie , algebraische Topologie , Differentialtopologie und all damit verbundene Utensilien, wie Homologie Theorie , Homotopietheorie . Die Entwicklung der abstrakten Algebra brachte mit sich selbst Gruppentheorie , Ringe , Felder und Galoistheorie .

Diese Liste ließe sich erweitert werden die meisten Gebiete der Mathematik umfassen, einschließlich Maßtheorie , Ergodentheorie , Wahrscheinlichkeit , Darstellungstheorie und Differentialgeometrie .

Arithmetik

Die Peano Axiome sind die am weitesten verbreitete axiomatization von erster Ordnung Arithmetik . Sie sind eine Reihe von Axiomen stark genug , um viele wichtige Fakten über zu beweisen , Zahlentheorie und sie erlaubte Gödel seine berühmte aufzubauen zweite Unvollständigkeitssatzes .

Wir haben eine Sprache , wo ein konstantes Symbol und ist eine einstellige Funktion und die folgenden Axiome:

  1. für jede Formel mit einer freien Variablen.

Die Standard - Struktur ist , wo die Menge der natürlichen Zahlen ist, ist die Nachfolge - Funktion und ist natürlich wie die Zahl 0 interpretiert.

euklidische Geometrie

Wahrscheinlich ist das älteste und berühmteste, Verzeichnis der Axiome sind die 4 + 1 Euklids Postulate der Geometrie der Ebene . Die Axiome werden bezeichnet als „4 + 1“ , weil fast zwei Jahrtausende der fünften (parallel) postulieren ( „durch einen Punkt außerhalb einer Linie genau ein parallel“ bezeichnet ) wurde im Verdacht steht, ableitbar aus den ersten vier zu sein. Letztlich wurde das fünfte Postulat zu sein , unabhängig von den ersten vier gefunden. Tatsächlich kann man die genau eine parallel durch einen Punkt annehmen außerhalb einer Linie vorhanden ist , oder , dass unendlich viele vorhanden sind . Diese Wahl gibt uns zwei alternative Formen der Geometrie , in der die Innenwinkel eines Dreiecks auf genau 180 Grad aufaddieren oder weniger sind, und werden als euklidische und bekannten hyperbolischen Geometrien. Wenn man entfernt auch die zweite Forderung ( „a Linie auf unbestimmte Zeit verlängert werden kann“) , dann elliptische Geometrie entsteht, wo es keine parallel durch einen Punkt außerhalb einer Linie liegt, und in dem der Innenwinkel eines Dreiecks addiert sich zu mehr als 180 Grad .

wirkliche Analyse

Die Ziele der Studie sind in dem Bereich der reellen Zahlen . Die reellen Zahlen sind individuell herausgesucht (bis zu Isomorphismus ) durch die Eigenschaften eines Dede geordneten Feld ausfüllen , was bedeutet , dass jede nicht leere Menge reeller Zahlen mit einer oberen Grenze eine obere Grenze hat. Jedoch erfordert die Verwendung dieser Eigenschaften als Axiome zum Ausdruck zweiter Ordnung Logik . Die Löwenheim-Skolem Theoreme sagen uns , dass , wenn wir uns zu beschränken Logik erster Ordnung , jeder Axiom - System für die reellen Zahlen andere Modelle gibt, einschließlich der beiden Modelle , die kleiner sind als die reellen Zahlen und Modelle sind , die größer sind. Einige der letzteren sind in studierte Nicht-Standard - Analyse .

Rolle in der mathematischen Logik

Deduktive Systeme und Vollständigkeit

Eine deduktive System besteht aus einem Satz von logischen Axiome, einen Satz von nicht-logischen Axiome und einen Satz von Deduktionsregeln . Eine wünschenswerte Eigenschaft eines deduktiven Systems ist , dass es komplett . Ein System wird vollständig sein , wenn für alle Formeln ,

das heißt, für jede Anweisung , die eine ist logische Konsequenz der besteht eigentlich einen Abzug der Erklärung . Dies wird manchmal als „alles, was wahr ist , ist beweisbar“ zum Ausdruck gebracht, aber es muss klar sein , dass „true“ bedeutet hier, „wahr gemacht durch die Menge der Axiome“, und nicht zum Beispiel „true in der beabsichtigten Auslegung“. Gödelsche Vollständigkeitssatz stellt die Vollständigkeit einer bestimmten häufigsten verwendete Art des deduktiven Systems.

Beachten Sie, dass „Vollständigkeit“ eine andere Bedeutung hat hier , als es im Rahmen der tut ersten Unvollständigkeitssatzes Gödels , die besagt , dass keine rekursiven , konsistenten Satz von nicht-logischen Axiome der Theorie der Arithmetik ist vollständig in dem Sinne , dass es immer eine arithmetische Aussage bestehen , so dass weder noch aus der gegebenen Menge von Axiomen bewiesen werden.

Somit gibt es, auf der einen Seite, die Idee der Vollständigkeit eines deduktiven Systems und auf der anderen Seite , dass die Vollständigkeit eines Satzes von nicht-logischen Axiomen . Der Vollständigkeitssatz und die Unvollständigkeitssatzes trotz ihrer Namen, nicht widersprechen einander.

Weitere Diskussion

Frühes Mathematiker betrachten axiomatische Geometrie als Modell des physischen Raumes , und offensichtlich konnte es nur ein solches Modell sein. Die Idee , dass alternative mathematische Systeme könnten sehr beunruhigende vorhanden waren Mathematiker des 19. Jahrhunderts und die Entwickler von Systemen wie Boolesche Algebra hergestellt aufwendige Bemühungen , sie von den traditionellen Arithmetik abzuleiten. Galois zeigte kurz vor seinem frühen Tod , die diese Bemühungen zum größten Teil verloren wurden. Letztlich wurden die abstrakten Parallele zwischen algebraischen Systemen sehen wichtiger zu sein als die Details und moderner Algebra geboren wurden. In den modernen Ausblick Axiome kann eine beliebige Menge von Formeln, solange sie nicht im Widerspruch zu sein , sind bekannt.

Siehe auch

Verweise

Weiterführende Literatur

Externe Links