Axiom -Axiom

Ein Axiom , Postulat oder eine Annahme ist eine Aussage , die als wahr angenommen wird, um als Prämisse oder Ausgangspunkt für weitere Überlegungen und Argumente zu dienen. Das Wort kommt vom altgriechischen Wort ἀξίωμα ( axíōma ) und bedeutet „das, was für würdig oder geeignet gehalten wird“ oder „das, was sich als offensichtlich empfiehlt“.

Der Begriff hat subtile Unterschiede in der Definition, wenn er im Kontext verschiedener Studienbereiche verwendet wird. Wie in der klassischen Philosophie definiert , ist ein Axiom eine Aussage, die so offensichtlich oder gut etabliert ist, dass sie ohne Kontroversen oder Fragen akzeptiert wird. Wie in der modernen Logik verwendet , ist ein Axiom eine Prämisse oder ein Ausgangspunkt für eine Argumentation.

Wie in der Mathematik verwendet , wird der Begriff Axiom in zwei verwandten, aber unterscheidbaren Bedeutungen verwendet: „logische Axiome“ und „nicht-logische Axiome“ . Logische Axiome sind normalerweise Aussagen, die innerhalb des von ihnen definierten Logiksystems als wahr angesehen werden und oft in symbolischer Form dargestellt werden (z. B. ( A und B ) impliziert A ), während nicht-logische Axiome (z. B. a + b = b + a ) sind eigentlich substantielle Aussagen über die Elemente der Domäne einer bestimmten mathematischen Theorie (wie Arithmetik ).

Bei Verwendung im letzteren Sinne können „Axiom“, „Postulat“ und „Annahme“ austauschbar verwendet werden. In den meisten Fällen ist ein nicht-logisches Axiom einfach ein formaler logischer Ausdruck, der in der Deduktion verwendet wird, um eine mathematische Theorie aufzubauen, und kann von Natur aus selbstverständlich sein oder auch nicht (z. B. paralleles Postulat in der euklidischen Geometrie ). Ein Wissenssystem zu axiomatisieren bedeutet, zu zeigen, dass seine Behauptungen aus einer kleinen, gut verständlichen Menge von Sätzen (den Axiomen) abgeleitet werden können, und dass es mehrere Möglichkeiten geben kann, einen gegebenen mathematischen Bereich zu axiomatisieren.

Jedes Axiom ist eine Aussage, die als Ausgangspunkt dient, von dem andere Aussagen logisch abgeleitet werden. Ob es sinnvoll ist (und wenn ja, was es bedeutet), dass ein Axiom „wahr“ ist, wird in der Philosophie der Mathematik diskutiert .

Etymologie

Das Wort Axiom stammt von dem griechischen Wort ἀξίωμα ( axíōma ), einem Verbalsubstantiv aus dem Verb ἀξιόειν ( axioein ), was „für würdig erachtet“ bedeutet, aber auch „fordern“, was wiederum von ἄξιος ( áxios ) kommt, was „ im Gleichgewicht sein" und daher "(denselben) Wert haben (wie)", "würdig", "angemessen". Bei den antiken griechischen Philosophen war ein Axiom eine Behauptung, die als selbstverständlich wahr angesehen werden konnte, ohne dass es eines Beweises bedarf.

Die Wurzelbedeutung des Wortes Postulat ist „Fordern“; zum Beispiel verlangt Euklid , dass man zustimmt, dass einige Dinge getan werden können (z. B. zwei beliebige Punkte können durch eine gerade Linie verbunden werden).

Alte Geometer hielten eine gewisse Unterscheidung zwischen Axiomen und Postulaten aufrecht. Während er Euklids Bücher kommentiert, bemerkt Proclus : „ Geminus war der Ansicht , dass dieses [4.] Postulat nicht als Postulat, sondern als Axiom eingestuft werden sollte, da es nicht, wie die ersten drei Postulate, die Möglichkeit irgendeiner Konstruktion behauptet, sondern eine ausdrückt wesentliches Eigentum." Boethius übersetzte „Postulat“ mit petitio und nannte die Axiome notiones communes , aber in späteren Manuskripten wurde diese Verwendung nicht immer strikt eingehalten.

Historische Entwicklung

Frühe Griechen

Die logisch-deduktive Methode, bei der Schlussfolgerungen (neues Wissen) aus Prämissen (altem Wissen) durch die Anwendung solider Argumente ( Syllogismen , Schlussregeln ) folgen, wurde von den alten Griechen entwickelt und ist zum Kernprinzip der modernen Mathematik geworden. Tautologien ausgeschlossen, nichts kann gefolgert werden, wenn nichts angenommen wird. Axiome und Postulate sind somit die Grundannahmen, die einem gegebenen deduktiven Wissensbestand zugrunde liegen. Sie werden ohne Demonstration akzeptiert. Alle anderen Behauptungen ( Theoreme im Fall der Mathematik) müssen mit Hilfe dieser Grundannahmen bewiesen werden. Die Interpretation mathematischen Wissens hat sich jedoch von der Antike zur Moderne verändert, und folglich haben die Begriffe Axiom und Postulat für den heutigen Mathematiker eine etwas andere Bedeutung als für Aristoteles und Euklid .

Die alten Griechen betrachteten die Geometrie nur als eine von mehreren Wissenschaften und hielten die Theoreme der Geometrie auf Augenhöhe mit wissenschaftlichen Fakten. Als solche entwickelten und nutzten sie die logisch-deduktive Methode als Mittel zur Fehlervermeidung und zur Strukturierung und Vermittlung von Wissen. Aristoteles' Posterior Analytics ist eine endgültige Darstellung der klassischen Sichtweise.

Ein "Axiom" bezog sich in der klassischen Terminologie auf eine selbstverständliche Annahme, die vielen Wissenschaftszweigen gemeinsam ist. Ein gutes Beispiel wäre die Behauptung that

Wenn ein gleicher Betrag von einem gleichen genommen wird, ergibt sich ein gleicher Betrag.

Den verschiedenen Wissenschaften lagen gewisse zusätzliche Hypothesen zugrunde , die ohne Beweis akzeptiert wurden. Eine solche Hypothese wurde als Postulat bezeichnet . Während die Axiome vielen Wissenschaften gemeinsam waren, waren die Postulate jeder einzelnen Wissenschaft unterschiedlich. Ihre Gültigkeit musste anhand praktischer Erfahrungen nachgewiesen werden. Aristoteles warnt davor, dass der Inhalt einer Wissenschaft nicht erfolgreich vermittelt werden kann, wenn der Lernende an der Wahrheit der Postulate zweifelt.

Der klassische Ansatz wird durch Euklids Elemente gut veranschaulicht , wo eine Liste von Postulaten gegeben wird (allgemeine geometrische Tatsachen, die aus unserer Erfahrung stammen), gefolgt von einer Liste von „allgemeinen Begriffen“ (sehr grundlegende, selbstverständliche Behauptungen).

Postulate
  1. Es ist möglich, von jedem Punkt zu jedem anderen Punkt eine gerade Linie zu ziehen.
  2. Es ist möglich, ein Liniensegment kontinuierlich in beide Richtungen zu verlängern.
  3. Es ist möglich, einen Kreis mit beliebigem Mittelpunkt und beliebigem Radius zu beschreiben.
  4. Es ist wahr, dass alle rechten Winkel einander gleich sind.
  5. („ Parallelpostulat “) Es ist wahr, dass, wenn eine auf zwei Geraden fallende Gerade die Innenwinkel auf derselben Seite kleiner als zwei rechte Winkel macht, die beiden Geraden, wenn sie auf unbestimmte Zeit erzeugt werden, sich auf der Seite schneiden, auf der sie liegen die Winkel kleiner als die beiden rechten Winkel.
Gemeinsame Vorstellungen
  1. Dinge, die demselben Ding gleich sind, sind auch einander gleich.
  2. Wenn Gleiches zu Gleichem addiert wird, sind die Ganzen gleich.
  3. Wenn Gleiches von Gleichem subtrahiert wird, sind die Reste gleich.
  4. Dinge, die miteinander übereinstimmen, sind einander gleich.
  5. Das Ganze ist größer als der Teil.

Moderne Entwicklung

Eine Lektion, die die Mathematik in den letzten 150 Jahren gelernt hat, ist, dass es nützlich ist, mathematischen Aussagen (Axiome, Postulate, Sätze , Theoreme) und Definitionen die Bedeutung zu entziehen. Man muss die Notwendigkeit primitiver Begriffe oder undefinierter Begriffe oder Konzepte in jeder Studie zugeben. Eine solche Abstraktion oder Formalisierung macht mathematisches Wissen allgemeiner, zu mehreren unterschiedlichen Bedeutungen fähig und daher in mehreren Kontexten nützlich. Alessandro Padoa , Mario Pieri und Giuseppe Peano waren Pioniere dieser Bewegung.

Die strukturalistische Mathematik geht weiter und entwickelt Theorien und Axiome (zB Feldtheorie , Gruppentheorie , Topologie , Vektorräume ) ohne eine bestimmte Anwendung im Sinn zu haben. Die Unterscheidung zwischen einem „Axiom“ und einem „Postulat“ verschwindet. Die Postulate von Euklid sind gewinnbringend damit begründet, dass sie zu einer großen Fülle geometrischer Tatsachen führen. Die Wahrheit dieser komplizierten Tatsachen beruht auf der Annahme der Grundhypothesen. Indem man jedoch Euklids fünftes Postulat verwirft, kann man Theorien erhalten, die in breiteren Kontexten Bedeutung haben (z. B. hyperbolische Geometrie ). Als solches muss man einfach darauf vorbereitet sein, Bezeichnungen wie „Linie“ und „parallel“ flexibler zu verwenden. Die Entwicklung der hyperbolischen Geometrie hat die Mathematiker gelehrt, dass es sinnvoll ist, Postulate als rein formale Aussagen zu betrachten und nicht als Tatsachen, die auf Erfahrung beruhen.

Wenn Mathematiker die Feldaxiome verwenden , sind die Absichten noch abstrakter. Die Sätze der Feldtheorie betreffen keine bestimmte Anwendung; der Mathematiker arbeitet jetzt in völliger Abstraktion. Es gibt viele Beispiele für Felder; Feldtheorie vermittelt korrektes Wissen über sie alle.

Es ist nicht richtig zu sagen, dass die Axiome der Feldtheorie „Sätze sind, die ohne Beweis als wahr angesehen werden“. Vielmehr sind die Feldaxiome eine Reihe von Beschränkungen. Wenn irgendein gegebenes Additions- und Multiplikationssystem diese Beschränkungen erfüllt, dann ist man in der Lage, sofort eine Menge zusätzlicher Informationen über dieses System zu erfahren.

Die moderne Mathematik formalisiert ihre Grundlagen so weit, dass mathematische Theorien als mathematische Objekte und die Mathematik selbst als Zweig der Logik betrachtet werden kann . Frege , Russell , Poincaré , Hilbert und Gödel sind einige der Schlüsselfiguren dieser Entwicklung.

Eine weitere Lektion, die in der modernen Mathematik gelernt wurde, besteht darin, angebliche Beweise sorgfältig auf versteckte Annahmen zu untersuchen.

Im modernen Verständnis ist ein Satz von Axiomen jede Sammlung formal formulierter Behauptungen, aus denen andere formal formulierte Behauptungen folgen – durch die Anwendung bestimmter wohldefinierter Regeln. Aus dieser Sicht wird die Logik zu einem weiteren formalen System. Eine Reihe von Axiomen sollte konsistent sein ; es sollte unmöglich sein, aus den Axiomen einen Widerspruch abzuleiten. Ein Satz von Axiomen sollte auch nicht redundant sein; eine Aussage, die aus anderen Axiomen abgeleitet werden kann, muss nicht als Axiom angesehen werden.

Es war die frühe Hoffnung moderner Logiker, dass verschiedene Zweige der Mathematik, vielleicht sogar die gesamte Mathematik, aus einer konsistenten Sammlung grundlegender Axiome abgeleitet werden könnten. Ein früher Erfolg des formalistischen Programms war Hilberts Formalisierung der euklidischen Geometrie und die damit verbundene Demonstration der Konsistenz dieser Axiome.

In einem breiteren Kontext gab es einen Versuch, die gesamte Mathematik auf Cantors Mengenlehre zu stützen . Hier hat das Auftauchen von Russells Paradoxon und ähnlichen Antinomien der naiven Mengenlehre die Möglichkeit aufgeworfen, dass sich ein solches System als widersprüchlich erweisen könnte.

Das formalistische Projekt erlitt einen entscheidenden Rückschlag, als Gödel 1931 zeigte, dass es möglich ist, für jede ausreichend große Menge von Axiomen ( z. B. Peanos Axiome ) eine Aussage zu konstruieren, deren Wahrheit von dieser Menge von Axiomen unabhängig ist. Als Folge davon bewies Gödel, dass die Konsistenz einer Theorie wie der Peano-Arithmetik eine unbeweisbare Behauptung im Rahmen dieser Theorie ist.

Es ist vernünftig, an die Konsistenz der Peano-Arithmetik zu glauben, weil sie durch das System der natürlichen Zahlen , ein unendliches , aber intuitiv zugängliches formales System, erfüllt wird. Derzeit ist jedoch keine Möglichkeit bekannt, die Konsistenz der modernen Zermelo-Fraenkel-Axiome für die Mengenlehre zu demonstrieren. Außerdem kann man mit Forcing -Techniken ( Cohen ) zeigen, dass die Kontinuumshypothese (Cantor) unabhängig von den Zermelo-Fraenkel-Axiomen ist. Daher kann selbst dieser sehr allgemeine Satz von Axiomen nicht als endgültige Grundlage für die Mathematik angesehen werden.

Andere Wissenschaften

Experimentelle Wissenschaften – im Gegensatz zu Mathematik und Logik – haben auch allgemeine Gründungsbehauptungen, aus denen eine deduktive Argumentation aufgebaut werden kann, um Aussagen auszudrücken, die Eigenschaften vorhersagen – entweder noch allgemeiner oder viel spezialisierter auf einen bestimmten experimentellen Kontext. Zum Beispiel die Newtonschen Gesetze in der klassischen Mechanik, die Maxwellschen Gleichungen im klassischen Elektromagnetismus, die Einsteinsche Gleichung in der allgemeinen Relativitätstheorie, die Mendelschen Genetikgesetze, das Darwinsche Gesetz der natürlichen Auslese usw. Diese grundlegenden Behauptungen werden gewöhnlich als Prinzipien oder Postulate bezeichnet , um sie von mathematischen Axiomen zu unterscheiden .

Tatsächlich ist die Rolle der Axiome in der Mathematik und der Postulate in den experimentellen Wissenschaften unterschiedlich. In der Mathematik wird ein Axiom weder „bewiesen“ noch „widerlegt“. Ein Satz mathematischer Axiome ergibt einen Satz von Regeln, die einen Begriffsbereich festlegen, in dem die Theoreme logisch folgen. Im Gegensatz dazu soll in den experimentellen Wissenschaften eine Reihe von Postulaten es ermöglichen, Ergebnisse abzuleiten, die mit experimentellen Ergebnissen übereinstimmen oder nicht übereinstimmen. Wenn aus Postulaten keine experimentellen Vorhersagen abgeleitet werden können, setzen sie keinen wissenschaftlichen konzeptionellen Rahmen und müssen ergänzt oder präzisiert werden. Wenn die Postulate die Ableitung von Vorhersagen experimenteller Ergebnisse erlauben, erlaubt der Vergleich mit Experimenten eine Verfälschung ( falsifiziert ) der Theorie, die die Postulate aufstellen. Eine Theorie gilt als gültig, solange sie nicht falsifiziert wurde.

Nun ist der Übergang zwischen mathematischen Axiomen und wissenschaftlichen Postulaten immer etwas fließend, besonders in der Physik. Dies ist auf den starken Einsatz mathematischer Werkzeuge zur Unterstützung der physikalischen Theorien zurückzuführen. Zum Beispiel stellt die Einführung der Newtonschen Gesetze selten eine Voraussetzung dar, weder die euklidische Geometrie noch die Differentialrechnung, die sie implizieren. Es wurde deutlicher, als Albert Einstein erstmals die spezielle Relativitätstheorie einführte, bei der die invariante Größe nicht mehr die euklidische Länge (definiert als ) > ist, sondern das Minkowski-Raumzeitintervall (definiert als ), und dann die allgemeine Relativitätstheorie , bei der die flache Minkowski-Geometrie durch die Pseudo-Riemannsche ersetzt wird Geometrie auf gekrümmten Mannigfaltigkeiten .

In der Quantenphysik existieren seit einiger Zeit zwei Sätze von Postulaten nebeneinander, die ein sehr schönes Beispiel für Falsifikation liefern. Die „ Kopenhagener Schule “ ( Niels Bohr , Werner Heisenberg , Max Born ) entwickelte einen operationellen Ansatz mit einem vollständigen mathematischen Formalismus, der die Beschreibung des Quantensystems durch Vektoren („Zustände“) in einem separierbaren Hilbert-Raum und physikalische Größen als lineare Operatoren umfasst die in diesem Hilbertraum agieren. Dieser Ansatz ist vollständig falsifizierbar und hat bisher die genauesten Vorhersagen in der Physik hervorgebracht. Aber es hat den unbefriedigenden Aspekt, keine Antworten auf Fragen zuzulassen, die man natürlich stellen würde. Aus diesem Grund wurde seit einiger Zeit von Albert Einstein, Erwin Schrödinger , David Bohm ein weiterer Ansatz der „ verborgenen Variablen “ entwickelt . Es wurde geschaffen, um zu versuchen, Phänomene wie Verschränkung deterministisch zu erklären . Dieser Ansatz ging davon aus, dass die Kopenhagener Schulbeschreibung nicht vollständig war, und postulierte, dass der Theorie eine noch unbekannte Variable hinzugefügt werden sollte, um die Beantwortung einiger der Fragen zu ermöglichen, die sie nicht beantwortet (deren Gründungselemente als EPR diskutiert wurden Paradoxon im Jahr 1935). John Bell nahm diese Ideen ernst und leitete 1964 eine Vorhersage ab, die zu unterschiedlichen experimentellen Ergebnissen ( Bellsche Ungleichungen ) im Fall von Kopenhagen und im Fall der verborgenen Variablen führen würde. Das Experiment wurde zuerst von Alain Aspect in den frühen 1980er Jahren durchgeführt, und das Ergebnis schloss den Ansatz mit einfachen versteckten Variablen aus (ausgeklügelte versteckte Variablen könnten immer noch existieren, aber ihre Eigenschaften wären immer noch störender als die Probleme, die sie zu lösen versuchen). Dies bedeutet jedoch nicht, dass das konzeptionelle Gerüst der Quantenphysik jetzt als vollständig betrachtet werden kann, da noch einige offene Fragen bestehen (die Grenze zwischen dem Quanten- und dem klassischen Bereich, was passiert bei einer Quantenmessung, was passiert in einem vollständig geschlossenen Quantensystem wie z wie das Universum selbst usw.).

Mathematische Logik

Auf dem Gebiet der mathematischen Logik wird eine klare Unterscheidung zwischen zwei Begriffen von Axiomen getroffen: logisch und nicht-logisch (etwas ähnlich der alten Unterscheidung zwischen „Axiomen“ bzw. „Postulaten“).

Logische Axiome

Das sind bestimmte allgemeingültige Formeln in einer formalen Sprache , also Formeln, denen jede Wertzuweisung genügt . Normalerweise nimmt man als logische Axiome zumindest einen minimalen Satz von Tautologien, der ausreicht, um alle Tautologien in der Sprache zu beweisen; bei der Prädikatenlogik werden mehr logische Axiome benötigt, um logische Wahrheiten zu beweisen , die keine Tautologien im eigentlichen Sinne sind.

Beispiele

Aussagelogik

In der Aussagenlogik ist es üblich, alle Formeln der folgenden Formen als logische Axiome zu nehmen, wobei , , und beliebige Formeln der Sprache sein können und die enthaltenen primitiven Konnektoren nur „ “ für die Negation des unmittelbar folgenden Satzes und „ “ für sind Implikation von Vordersatz zu Folgesatz:

Jedes dieser Muster ist ein Axiomenschema , eine Regel zur Generierung unendlich vieler Axiome. Wenn zum Beispiel , , und Satzvariablen sind , dann sind und beide Instanzen des Axiomschemas 1 und somit Axiome. Es kann gezeigt werden, dass man mit nur diesen drei Axiomenschemata und Modus Ponens alle Tautologien des Aussagenkalküls beweisen kann. Es kann auch gezeigt werden, dass kein Paar dieser Schemata ausreicht, um alle Tautologien mit modus ponens zu beweisen .

Andere Axiomenschemata, die dieselben oder andere Sätze primitiver Konnektoren beinhalten, können alternativ konstruiert werden.

Diese Axiomenschemata werden auch im Prädikatenkalkül verwendet , aber es werden zusätzliche logische Axiome benötigt, um einen Quantor in den Kalkül aufzunehmen.

Logik erster Ordnung

Axiom der Gleichheit. Sei eine Sprache erster Ordnung . Für jede Variable die Formel

ist allgemeingültig.

Das bedeutet, dass für jedes Variablensymbol die Formel als Axiom angesehen werden kann. Damit dies in diesem Beispiel nicht in Unbestimmtheit und eine endlose Reihe von "primitiven Begriffen" verfällt, muss es entweder ein präziser Begriff dessen sein, was wir mit (oder übrigens "gleich sein") meinen gut etabliert, oder es muss eine rein formale und syntaktische Verwendung des Symbols durchgesetzt werden, die es nur als eine Zeichenfolge und nur als eine Zeichenfolge von Symbolen betrachtet, und die mathematische Logik tut dies tatsächlich.

Ein weiteres, interessanteres Beispiel für ein Axiomenschema ist das, das uns mit dem versorgt, was als universelle Instanziierung bekannt ist :

Axiomenschema für universelle Instanziierung. Gegeben sei eine Formel in einer Sprache erster Ordnung , eine Variable und ein Term , der in ersetzt werden kann, die Formel

ist allgemeingültig.

Wobei das Symbol für die Formel mit dem Term steht, der für ersetzt wird . (Siehe Substitution von Variablen .) Informell erlaubt uns dieses Beispiel zu sagen, dass wir, wenn wir wissen, dass eine bestimmte Eigenschaft für alle gilt und die für ein bestimmtes Objekt in unserer Struktur stehen, in der Lage sein sollten, zu behaupten . Wieder behaupten wir, dass die Formel gültig ist , das heißt, wir müssen in der Lage sein, einen "Beweis" für diese Tatsache zu liefern, oder genauer gesagt, einen Metabeweis . Diese Beispiele sind Metatheoreme unserer Theorie der mathematischen Logik, da wir uns mit dem Konzept des Beweises selbst befassen. Abgesehen davon können wir auch existentielle Verallgemeinerung haben :

Axiomenschema für existenzielle Verallgemeinerung. Gegeben sei eine Formel in einer Sprache erster Ordnung , eine Variable und ein Term , der in ersetzt werden kann, die Formel

ist allgemeingültig.

Nicht-logische Axiome

Nicht-logische Axiome sind Formeln, die die Rolle theoriespezifischer Annahmen spielen. Überlegungen zu zwei unterschiedlichen Strukturen, zum Beispiel den natürlichen Zahlen und den ganzen Zahlen , können dieselben logischen Axiome umfassen; Die nicht-logischen Axiome zielen darauf ab, das Besondere an einer bestimmten Struktur (oder einem Satz von Strukturen, wie z. B. Gruppen ) zu erfassen. Nicht-logische Axiome sind also im Gegensatz zu logischen Axiomen keine Tautologien . Ein anderer Name für ein nicht-logisches Axiom ist Postulat .

Fast jede moderne mathematische Theorie geht von einem gegebenen Satz nichtlogischer Axiome aus, und man dachte, dass im Prinzip jede Theorie auf diese Weise axiomatisiert und bis auf die bloße Sprache logischer Formeln formalisiert werden könnte.

Nicht-logische Axiome werden im mathematischen Diskurs oft einfach als Axiome bezeichnet . Dies bedeutet nicht, dass behauptet wird, dass sie in einem gewissen absoluten Sinne wahr sind. Zum Beispiel ist die Gruppenoperation in einigen Gruppen kommutativ , und dies kann durch die Einführung eines zusätzlichen Axioms behauptet werden, aber ohne dieses Axiom können wir ganz gut die (allgemeinere) Gruppentheorie entwickeln, und wir können sogar nehmen seine Negation als Axiom für das Studium nichtkommutativer Gruppen.

Somit ist ein Axiom eine elementare Grundlage für ein formales logisches System , das zusammen mit den Schlußregeln ein deduktives System definiert .

Beispiele

Dieser Abschnitt gibt Beispiele für mathematische Theorien, die vollständig aus einer Reihe nichtlogischer Axiome (im Folgenden Axiome) entwickelt werden. Eine gründliche Behandlung eines dieser Themen beginnt mit einer Spezifikation dieser Axiome.

Grundlegende Theorien wie Arithmetik , reelle Analysis und komplexe Analysis werden oft nicht axiomatisch eingeführt, aber implizit oder explizit wird im Allgemeinen angenommen, dass die verwendeten Axiome die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie mit Auswahl, abgekürzt ZFC, oder einige sind sehr ähnliches System der axiomatischen Mengenlehre wie die Von Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre , eine konservative Erweiterung der ZFC. Manchmal werden etwas stärkere Theorien wie die Morse-Kelley-Mengentheorie oder die Mengentheorie mit einem stark unzugänglichen Kardinal verwendet , die die Verwendung eines Grothendieck-Universums ermöglichen , aber tatsächlich können die meisten Mathematiker in Systemen, die schwächer als ZFC sind, wie z -Ordnungsarithmetik .

Das Studium der Topologie in der Mathematik erstreckt sich über Punktmengentopologie , algebraische Topologie , Differentialtopologie und alle damit verbundenen Utensilien wie Homologietheorie , Homotopietheorie . Die Entwicklung der abstrakten Algebra brachte die Gruppentheorie , Ringe , Körper und die Galois-Theorie mit sich .

Diese Liste könnte um die meisten Bereiche der Mathematik erweitert werden, darunter Maßtheorie , Ergodentheorie , Wahrscheinlichkeitstheorie , Darstellungstheorie und Differentialgeometrie .

Arithmetik

Die Peano-Axiome sind die am weitesten verbreitete Axiomatisierung der Arithmetik erster Ordnung . Sie sind eine Reihe von Axiomen, die stark genug sind, um viele wichtige Fakten über die Zahlentheorie zu beweisen, und sie haben es Gödel ermöglicht, seinen berühmten zweiten Unvollständigkeitssatz aufzustellen .

Wir haben eine Sprache, in der ein konstantes Symbol und eine unäre Funktion ist, und die folgenden Axiome:

  1. für jede Formel mit einer freien Variablen.

Die Standardstruktur ist, wo die Menge der natürlichen Zahlen ist, die Nachfolgefunktion ist und natürlich als Zahl 0 interpretiert wird.

Euklidische Geometrie

Die wahrscheinlich älteste und berühmteste Liste von Axiomen sind die 4 + 1 Euklidischen Postulate der ebenen Geometrie . Die Axiome werden als „4 + 1“ bezeichnet, weil fast zwei Jahrtausende lang vermutet wurde, dass das fünfte (parallele) Postulat („durch einen Punkt außerhalb einer Linie gibt es genau eine Parallele“) von den ersten vier ableitbar ist. Letztendlich stellte sich heraus, dass das fünfte Postulat von den ersten vier unabhängig war. Man kann annehmen, dass es genau eine Parallele durch einen Punkt außerhalb einer Geraden gibt, oder dass es unendlich viele gibt. Diese Wahl gibt uns zwei alternative Formen der Geometrie, bei denen die Innenwinkel eines Dreiecks jeweils genau 180 Grad oder weniger ergeben und als euklidische und hyperbolische Geometrie bekannt sind. Entfernt man auch das zweite Postulat („eine Linie lässt sich unendlich verlängern“), so entsteht eine elliptische Geometrie , bei der es keine Parallele durch einen Punkt außerhalb einer Linie gibt und bei der sich die Innenwinkel eines Dreiecks zu mehr als 180 Grad addieren .

Echte Analyse

Die Ziele der Studie liegen im Bereich der reellen Zahlen . Die reellen Zahlen werden (bis auf den Isomorphismus ) durch die Eigenschaften eines vollständig geordneten Dedekind-Feldes eindeutig ausgewählt , was bedeutet, dass jede nicht leere Menge reeller Zahlen mit einer Obergrenze eine kleinste Obergrenze hat. Um diese Eigenschaften jedoch als Axiome auszudrücken, ist die Verwendung von Logik zweiter Ordnung erforderlich . Die Löwenheim-Skolem-Theoreme sagen uns, dass, wenn wir uns auf die Logik erster Ordnung beschränken , jedes Axiomensystem für die Realzahlen andere Modelle zulässt, einschließlich sowohl Modelle, die kleiner als die Realzahlen sind, als auch Modelle, die größer sind. Einige der letzteren werden in der Nicht-Standard-Analyse untersucht .

Rolle in der mathematischen Logik

Deduktive Systeme und Vollständigkeit

Ein deduktives System besteht aus einem Satz logischer Axiome, einem Satz nichtlogischer Axiome und einem Satz Schlußregeln . Eine wünschenswerte Eigenschaft eines deduktiven Systems ist, dass es vollständig ist . Ein System heißt vollständig, wenn für alle Formeln

das heißt, für jede Aussage, die eine logische Konsequenz von ist, existiert tatsächlich eine Ableitung der Aussage von . Dies wird manchmal ausgedrückt als „alles, was wahr ist, ist beweisbar“, aber es muss verstanden werden, dass „wahr“ hier „wahr gemacht durch die Reihe von Axiomen“ bedeutet und nicht zum Beispiel „wahr in der beabsichtigten Interpretation“. Der Vollständigkeitssatz von Gödel stellt die Vollständigkeit eines bestimmten häufig verwendeten Typs von deduktivem System her.

Beachten Sie, dass "Vollständigkeit" hier eine andere Bedeutung hat als im Zusammenhang mit Gödels erstem Unvollständigkeitssatz , der besagt, dass kein rekursiver , konsistenter Satz nicht-logischer Axiome der Arithmetik vollständig ist , in dem Sinne, dass es immer etwas geben wird Es gibt eine arithmetische Aussage , so dass weder noch aus der gegebenen Menge von Axiomen bewiesen werden kann.

Es gibt also einerseits den Begriff der Vollständigkeit eines deduktiven Systems und andererseits den der Vollständigkeit eines Satzes nichtlogischer Axiome . Der Vollständigkeitssatz und der Unvollständigkeitssatz widersprechen sich trotz ihrer Namen nicht.

Weitere Diskussion

Frühe Mathematiker betrachteten die axiomatische Geometrie als ein Modell des physikalischen Raums , und offensichtlich konnte es nur ein solches Modell geben. Die Vorstellung, dass alternative mathematische Systeme existieren könnten, war für Mathematiker des 19. Jahrhunderts sehr beunruhigend, und die Entwickler von Systemen wie der Booleschen Algebra unternahmen große Anstrengungen, um sie aus der traditionellen Arithmetik abzuleiten. Galois zeigte kurz vor seinem frühen Tod, dass diese Bemühungen weitgehend vergeblich waren. Letztendlich wurden die abstrakten Parallelen zwischen algebraischen Systemen als wichtiger angesehen als die Details, und die moderne Algebra war geboren. Aus heutiger Sicht können Axiome jede Menge von Formeln sein, solange sie nicht als widersprüchlich bekannt sind.

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Weiterlesen

Externe Links