Abschnitt (Faserbündel) - Section (fiber bundle)

Ein Abschnitt eines Bündels . Ein Abschnitt ermöglicht die Identifizierung des Basisraums mit einem Unterraum von .${\displaystyle s}$${\displaystyle p\colon E\to B}$${\displaystyle s}$${\displaystyle B}$${\displaystyle s(B)}$${\displaystyle E}$

Ein Vektorfeld auf . Ein Abschnitt eines Tangentialvektorbündels ist ein Vektorfeld.${\displaystyle \mathbb{R} ^{2}}$

Ein Vektorbündel über einer Basis mit Schnitt .${\displaystyle E}$${\displaystyle M}$${\displaystyle s}$

Im mathematischen Gebiet der Topologie ist ein Abschnitt (oder Querschnitt ) eines Faserbündels eine kontinuierliche Rechtsinverse der Projektionsfunktion . Mit anderen Worten, wenn ist ein Faserbündel über einem Grundraum , : ${\displaystyle E}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle E}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle \pi \colon E\to B}$

dann ist ein Abschnitt dieses Faserbündels eine kontinuierliche Karte ,

${\displaystyle \sigma \colon B\to E}$

so dass

${\displaystyle \pi (\sigma (x))=x}$für alle .${\displaystyle x\in B}$

Ein Abschnitt ist eine abstrakte Charakterisierung dessen, was es bedeutet, ein Graph zu sein . Der Graph einer Funktion kann mit einer Funktion identifiziert werden, die ihre Werte im kartesischen Produkt von und annimmt : ${\displaystyle g\colon B\to Y}$ ${\displaystyle E=B\times Y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \sigma\colon B\to E,\quad\sigma(x)=(x,g(x))\in E.}$

Sei die Projektion auf den ersten Faktor: . Dann ist ein Graph jede Funktion, für die . ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$${\displaystyle \pi(x,y)=x}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \pi (\sigma (x))=x}$

Die Sprache der Faserbündel erlaubt es, diesen Begriff eines Abschnitts auf den Fall zu verallgemeinern, dass es sich nicht unbedingt um ein kartesisches Produkt handelt. Wenn es sich um ein Faserbündel handelt, ist ein Abschnitt in jeder der Fasern ein wählbarer Punkt . Die Bedingung bedeutet einfach, dass der Abschnitt an einem Punkt über liegen muss . (Siehe Bild.) ${\displaystyle E}$${\displaystyle \pi \colon E\to B}$${\displaystyle \sigma (x)}$${\displaystyle \pi (\sigma (x))=x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

Wenn beispielsweise ein Vektorbündel ist, ist ein Abschnitt von ein Element des Vektorraums, das über jedem Punkt liegt . Insbesondere ist ein Vektorfeld auf einer glatten Mannigfaltigkeit eine Wahl des Tangentenvektors an jedem Punkt von : Dies ist ein Abschnitt des Tangentenbündels von . Ebenso ist eine 1-Form auf einen Schnitt des Kotangentialbündel . ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle x\in B}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

Auch Schnitte, insbesondere von Hauptbündeln und Vektorbündeln, sind sehr wichtige Werkzeuge in der Differentialgeometrie . In dieser Einstellung ist der Basisraum eine glatte Mannigfaltigkeit und es wird angenommen, dass es sich um ein glattes Faserbündel handelt (dh ist eine glatte Mannigfaltigkeit und ist eine glatte Abbildung ). In diesem Fall hält man den Raum der glatten Abschnitte von über einen offenen Satz , bezeichnet . Es ist auch in der geometrischen Analysis sinnvoll , Räume von Schnitten mit mittlerer Regelmäßigkeit zu betrachten (zB Schnitte oder Schnitte mit Regularität im Sinne der Hölder-Bedingungen oder Sobolev-Räume ). ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \pi \colon E\to M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle U}$${\displaystyle C^{\infty}(U,E)}$${\displaystyle C^{k}}$

Lokale und globale Sektionen

Faserbündel haben im Allgemeinen keine solchen globalen Schnitte (man betrachte zum Beispiel das Faserbündel mit Fasern, die man durch Nehmen des Möbius-Bündels und Entfernen des Null-Schnitts erhält ), daher ist es auch sinnvoll, Schnitte nur lokal zu definieren. Ein lokaler Abschnitt eines Faserbündels ist eine kontinuierliche Karte wo ist eine offene Menge in und für alle in . Wenn eine lokale Trivialisierung von ist , wo ein Homöomorphismus von bis ist (wo ist die Faser ), dann existieren immer lokale Abschnitte in bijektiver Korrespondenz mit stetigen Abbildungen von bis . Die (lokalen) Abschnitte bilden eine Garbe, die als Garbe von Abschnitten von bezeichnet wird . ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle F=\mathbb{R}\setminus\{0\}}$${\displaystyle s\colon U\to E}$${\displaystyle U}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \pi(s(x))=x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$${\displaystyle (U,\varphi)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle\varphi}$${\displaystyle \pi^{-1}(U)}$${\displaystyle U\times F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle F}$${\displaystyle B}$${\displaystyle E}$

Der Raum der kontinuierlichen Abschnitte eines Faserbündels über manchmal bezeichnet wird , während der Raum der globalen Abschnitte oft bezeichnet wird oder . ${\displaystyle E}$${\displaystyle U}$${\displaystyle C(U,E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \Gamma (E)}$${\displaystyle \Gamma(B,E)}$

Ausweitung auf globale Abschnitte

Schnitte werden in der Homotopietheorie und algebraischen Topologie untersucht , wobei eines der Hauptziele darin besteht, die Existenz oder Nichtexistenz globaler Schnitte zu erklären . Ein Hindernis bestreitet die Existenz globaler Abschnitte, da der Raum zu "verdreht" ist. Genauer gesagt "versperren" Hindernisse aufgrund der "Verdrehung" des Raums die Möglichkeit, einen lokalen Abschnitt zu einem globalen Abschnitt zu erweitern. Hindernisse werden durch besondere charakteristische Klassen angezeigt , die kohomologische Klassen sind. Ein Prinzipal-Bundle hat beispielsweise genau dann einen globalen Abschnitt, wenn es trivial ist . Andererseits hat ein Vektorbündel immer einen globalen Abschnitt, nämlich den Nullabschnitt . Es lässt jedoch nur dann einen nirgendwo verschwindenden Abschnitt zu, wenn seine Euler-Klasse Null ist.

Verallgemeinerungen

Hindernisse für die Erweiterung lokaler Abschnitte können auf folgende Weise verallgemeinert werden: Nehmen Sie einen topologischen Raum und bilden Sie eine Kategorie, deren Objekte offene Teilmengen sind und Morphismen Einschlüsse sind. Daher verwenden wir eine Kategorie, um einen topologischen Raum zu verallgemeinern. Wir verallgemeinern den Begriff eines "lokalen Abschnitts" unter Verwendung von Garben von abelschen Gruppen , die jedem Objekt eine abelsche Gruppe (analog zu lokalen Abschnitten) zuordnen.

Hier gibt es einen wichtigen Unterschied: Intuitiv sind lokale Schnitte wie "Vektorfelder" auf einer offenen Teilmenge eines topologischen Raums. An jedem Punkt wird also ein Element eines festen Vektorraums zugewiesen. Garben können jedoch den Vektorraum (oder allgemeiner die abelsche Gruppe) "kontinuierlich ändern".

Dieser gesamte Prozess ist eigentlich der globale Abschnittsfunktor , der jedem Garbe seinen globalen Abschnitt zuweist. Dann ermöglicht uns die Garbenkohomologie , ein ähnliches Extensionsproblem zu betrachten, während die abelsche Gruppe "kontinuierlich variiert" wird. Die Theorie der charakteristischen Klassen verallgemeinert die Idee der Hindernisse auf unsere Erweiterungen.

Siehe auch

• Fibration
• Lehrentheorie
• Hauptpaket
• Pullback-Paket
• Vektorpaket

Anmerkungen

Verweise

• Norman Steenrod , The Topology of Fiber Bundles , Princeton University Press (1951). ISBN  0-691-00548-6 .
• David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles , Addison-Wesley Publishing, Reading, Mass (1981). ISBN  0-201-10096-7 .
• Husemöller, Dale (1994), Faserbündel , Springer Verlag, ISBN 0-387-94087-1

Externe Links

• Faserbündel , PlanetMath
• Weisstein, Eric W. "Faserbündel" . MathWorld .