Quaternionischer projektiver Raum - Quaternionic projective space

In der Mathematik ist der quaternionische projektive Raum eine Erweiterung der Ideen des realen projektiven Raums und des komplexen projektiven Raums auf den Fall, dass Koordinaten im Ring der Quaternionen liegen. Der quaternionische projektive Raum der Dimension n wird üblicherweise mit bezeichnet ${\ displaystyle \ mathbb {H}.}$

${\ displaystyle \ mathbb {HP} ^ {n}}$

und ist eine geschlossene Mannigfaltigkeit der (realen) Dimension 4 n . Es ist in mehr als einer Hinsicht ein homogener Raum für eine Lie-Gruppenaktion . Die quaternionische Projektionslinie ist homöomorph zur 4-Kugel. ${\ displaystyle \ mathbb {HP} ^ {1}}$

In Koordinaten

Seine direkte Konstruktion ist als Sonderfall des projektiven Raumes über eine Teilungsalgebra . Die homogenen Koordinaten eines Punktes können geschrieben werden

${\ displaystyle [q_ {0}, q_ {1}, \ ldots, q_ {n}]}$

wo die Quaternionen sind, nicht alle Null. Zwei Koordinatensätze stellen denselben Punkt dar, wenn sie durch eine linke Multiplikation mit einer Quaternion ungleich Null c 'proportional' sind . das heißt, wir identifizieren alle ${\ displaystyle q_ {i}}$

${\ displaystyle [cq_ {0}, cq_ {1} \ ldots, cq_ {n}]}$ .

In der Sprache der Gruppenaktionen , ist die Umlaufbahn Raum von durch die Wirkung , die multiplikative Gruppe von Nicht-Null - Quaternionen. Wenn man zuerst auf die Einheitskugel im Inneren projiziert, kann man auch den Umlaufraum der Gruppe von Einheitsquaternionen als durch die Wirkung von betrachten . Die Kugel wird dann zu einem Haupt-Sp (1) -Bündel über : ${\ displaystyle \ mathbb {HP} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n + 1} \ setminus \ {(0, \ ldots, 0) \}}$${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {\ times}}$${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n + 1}}$${\ displaystyle \ mathbb {HP} ^ {n}}$${\ displaystyle S ^ {4n + 3}}$${\ displaystyle {\ text {Sp}} (1)}$${\ displaystyle S ^ {4n + 3}}$${\ displaystyle \ mathbb {HP} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ mathrm {Sp} (1) \ bis S ^ {4n + 3} \ bis \ mathbb {HP} ^ {n}.}$

Dieses Bündel wird manchmal als (verallgemeinerte) Hopf-Fibration bezeichnet .

Es gibt auch eine Konstruktion mittels zweidimensionaler komplexer Teilräume von , dh innerhalb eines komplexen Grassmannschen . ${\ displaystyle \ mathbb {HP} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {2n}}$${\ displaystyle \ mathbb {HP} ^ {n}}$

Topologie

Homotopietheorie

Der Raum , definiert als die Vereinigung aller eingeschlossenen Endlichen , ist der klassifizierende Raum BS ³ . Die Homotopiegruppen von sind gegeben durch Diese Gruppen sind bekanntermaßen sehr komplex und insbesondere für unendlich viele Werte von ungleich Null . Das haben wir jedoch ${\ displaystyle \ mathbb {HP} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle \ mathbb {HP} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {HP} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle \ pi _ {i} (\ mathbb {HP} ^ {\ infty}) = \ pi _ {i} (BS ^ {3}) \ cong \ pi _ {i-1} (S ^ {3 }).}$${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle \ pi _ {i} (\ mathbb {HP} ^ {\ infty}) \ otimes \ mathbb {Q} \ cong {\ begin {case} \ mathbb {Q} & i = 4 \\ 0 & i \ neq 4 \ end {Fälle}}}$

Daraus folgt, dass rational, dh nach der Lokalisierung eines Raums , ein Eilenberg-Maclane-Raum ist . Das heißt (vgl. Das Beispiel K (Z, 2) ). Siehe rationale Homotopietheorie . ${\ displaystyle \ mathbb {HP} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle K (\ mathbb {Q}, 4)}$${\ displaystyle \ mathbb {HP} _ {\ mathbb {Q}} ^ {\ infty} \ simeq K (\ mathbb {Z}, 4) _ {\ mathbb {Q}}.}$

Im Allgemeinen hat eine Zellstruktur mit einer Zelle in jeder Dimension, die ein Vielfaches von 4 ist, bis zu . Dementsprechend ist sein Kohomologiering , wo sich ein 4-dimensionaler Generator befindet. Dies ist analog zu einem komplexen projektiven Raum. Es folgt auch aus der rationalen Homotopietheorie, die nur in den Dimensionen 4 und 4 unendliche Homotopiegruppen aufweist . ${\ displaystyle \ mathbb {HP} ^ {n}}$${\ displaystyle 4n}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} [v] / v ^ {n + 1}}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle \ mathbb {HP} ^ {n}}$${\ displaystyle 4n + 3}$

Differentialgeometrie

${\ displaystyle \ mathbb {HP} ^ {n}}$ trägt einen natürlichen Riemannian metric analog die Fubini-Study - Metrik auf , in Bezug auf das es ein kompakter Quaternion-Kähler symmetrischer Raum mit positiver Krümmung. ${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {n}}$

Der quaternionische projektive Raum kann als Coset-Raum dargestellt werden

${\ displaystyle \ mathbb {HP} ^ {n} = \ operatorname {Sp} (n + 1) / \ operatorname {Sp} (n) \ times \ operatorname {Sp} (1)}$

wo ist die kompakte Symplektische Gruppe . ${\ displaystyle \ operatorname {Sp} (n)}$

Charakteristische Klassen

Da ist sein Tangentenbündel stabil trivial. Die Tangentenbündel der übrigen haben nichttriviale Stiefel-Whitney- und Pontryagin-Klassen . Die Gesamtklassen werden durch die folgenden Formeln angegeben: ${\ displaystyle \ mathbb {HP} ^ {1} = S ^ {4}}$

${\ displaystyle w (\ mathbb {HP} ^ {n}) = (1 + u) ^ {n + 1}}$

${\ displaystyle p (\ mathbb {HP} ^ {n}) = (1 + v) ^ {2n + 2} (1 + 4v) ^ {- 1}}$

wo ist der Generator von und ist seine Reduktion mod 2. ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle H ^ {4} (\ mathbb {HP} ^ {n}; \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle u}$

Sonderfälle

Quaternionische Projektionslinie

Der eindimensionale projektive Raum wird bei der Verallgemeinerung der komplexen projektiven Linie als "projektive Linie" bezeichnet . Zum Beispiel wurde es 1947 (implizit) von PG Gormley verwendet, um die Möbius-Gruppe mit linearen fraktionellen Transformationen auf den Quaternionskontext auszudehnen . Für die linearen fraktionellen Transformationen eines assoziativen Rings mit 1 siehe Projektionslinie über einem Ring und die Homographiegruppe GL (2, A ). ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$

Aus topologischer Sicht ist die quaternionische Projektionslinie die 4-Kugel, und tatsächlich handelt es sich um diffeomorphe Mannigfaltigkeiten. Die zuvor erwähnte Fibration stammt aus der 7-Sphäre und ist ein Beispiel für eine Hopf-Fibration .

Explizite Ausdrücke für Koordinaten für die 4-Sphäre finden Sie im Artikel über die Fubini-Study-Metrik .

Quaternionische Projektionsebene

Das 8-dimensionale hat eine Kreiswirkung durch die Gruppe komplexer Skalare des Absolutwerts 1, die auf der anderen Seite wirken (also rechts, da die Konvention für die Wirkung von c oben links ist). Daher der Quotientenverteiler${\ displaystyle \ mathbb {HP} ^ {2}}$

${\ displaystyle \ mathbb {HP} ^ {2} / \ mathrm {U} (1)}$

kann genommen werden, indem U (1) für die Kreisgruppe geschrieben wird . Es wurde gezeigt, dass dieser Quotient die 7- Sphäre ist , ein Ergebnis von Vladimir Arnold aus dem Jahr 1996, das später von Edward Witten und Michael Atiyah wiederentdeckt wurde .

Verweise

Weiterführende Literatur

• Arnol'd, VI (1999). "Verwandte des Quotienten der komplexen Projektionsebene durch die komplexe Konjugation" . Tr. Matte. Inst. Steklova . 224 : 56–6. CiteSeerX   10.1.1.50.6421 . Behandelt das Analogon des für den quaternionischen Projektionsraum und die 13-Sphäre erwähnten Ergebnisses.
• Gormley, PG (1947), "Stereographische Projektion und die lineare fraktionierte Gruppe von Transformationen von Quaternionen", Proceedings of the Royal Irish Academy, Abschnitt A , 51 : 67–85, JSTOR   20488472