Robbins Fünfeck - Robbins pentagon

Ungelöstes Problem in der Mathematik :

Kann ein Robbins-Pentagon irrationale Diagonalen haben?

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Ein Robbins-Pentagon mit einer Fläche von 13.104
Ein Robbins-Pentagon mit einer Fläche von 7392

In der Geometrie ist ein Robbins - Fünfeck ein zyklisches Fünfeck , dessen Seitenlängen und Flächen alle rationalen Zahlen sind .

Geschichte

Robbins Fünfecke wurden von Buchholz & MacDougall (2008) nach David P. Robbins benannt , der zuvor eine Formel für die Fläche eines zyklischen Fünfecks als Funktion seiner Kantenlänge angegeben hatte. Buchholz und MacDougall wählten diesen Namen in Analogie zur Benennung von Heron-Dreiecken nach Hero von Alexandria , dem Entdecker der Heronschen Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks als Funktion seiner Kantenlängen.

Fläche und Umfang

Jedes Robbins-Pentagon kann so skaliert werden, dass seine Seiten und Flächen ganze Zahlen sind. Noch stärker zeigten Buchholz und MacDougall, dass, wenn die Seitenlängen alle ganze Zahlen sind und die Fläche rational ist, dann die Fläche notwendigerweise auch eine ganze Zahl ist und der Umfang notwendigerweise eine gerade Zahl ist .

Diagonalen

Buchholz und MacDougall zeigten auch, dass in jedem Robbins-Pentagon entweder alle fünf inneren Diagonalen rationale Zahlen sind oder keine davon. Wenn die fünf Diagonalen rational sind (der von Sastry (2005) als Brahmagupta-Pentagon bezeichnete Fall ), dann muss der Radius seines umschriebenen Kreises ebenfalls rational sein, und das Pentagon kann in drei Reiher-Dreiecke unterteilt werden, indem man es entlang zweier beliebiger Nicht- kreuzende Diagonalen oder in fünf Reiherdreiecke, indem es entlang der fünf Radien vom Kreismittelpunkt bis zu seinen Scheitelpunkten geschnitten wird.

Buchholz und MacDougall führten rechnerische Suchen nach Robbins-Pentagons mit irrationalen Diagonalen durch, konnten aber keine finden. Aufgrund dieses negativen Ergebnisses schlugen sie vor, dass Robbins Fünfecke mit irrationalen Diagonalen möglicherweise nicht existieren.

Verweise

  • Buchholz, Ralph H.; MacDougall, James A. (2008), "Cyclic polygons with rational side and area" , Journal of Number Theory , 128 (1): 17–48, doi : 10.1016/j.jnt.2007.05.005 , MR  2382768.
  • Robbins, David P. (1994), "Areas of polygons inscribed in a circle", Discrete and Computational Geometry , 12 (2): 223–236, doi : 10.1007/BF02574377 , MR  1283889
  • Robbins, David P. (1995), "Areas of polygons inscribed in a circle", The American Mathematical Monthly , 102 (6): 523–530, doi : 10.2307/2974766 , JSTOR  2974766 , MR  1336638.
  • Sastry, KRS (2005), "Construction of Brahmagupta n-gons" (PDF) , Forum Geometricorum , 5 : 119–126, MR  2195739.