Schwarzsche Ableitung - Schwarzian derivative

In der Mathematik ist die Schwarzsche Ableitung , benannt nach dem deutschen Mathematiker Hermann Schwarz , ein bestimmter Operator, der unter allen Möbius-Transformationen invariant ist . So kommt es in der Theorie der komplexen projektiven Linie vor und insbesondere in der Theorie der Modulformen und hypergeometrischen Funktionen . Es spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der einwertigen Funktionen , der konformen Abbildung und der Teichmüller-Räume .

Definition

Die Schwarzsche Ableitung einer holomorphen Funktion f einer komplexen Variablen z ist definiert durch

${\displaystyle (Sf)(z)=\left({\frac {f''(z)}{f'(z)}}\right)'-{\frac {1}{2}}\left( {f''(z) \over f'(z)}\right)^{2}={\frac {f'''(z)}{f'(z)}}-{\frac {3} {2}}\left({f''(z) \over f'(z)}\right)^{2}.}$

Dieselbe Formel definiert auch die Schwarzsche Ableitung einer C ³ -Funktion einer reellen Variablen . Die alternative Notation

${\displaystyle \{f,z\}=(Sf)(z)}$

wird häufig verwendet.

Eigenschaften

Die Schwarzsche Ableitung einer beliebigen Möbius-Transformation

${\displaystyle g(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$

ist null. Umgekehrt sind die Möbius-Transformationen die einzigen Funktionen mit dieser Eigenschaft. Somit misst die Schwarzsche Ableitung genau den Grad, in dem eine Funktion keine Möbius-Transformation ist.

Wenn g eine Möbius-Transformation ist, dann hat die Zusammensetzung g  o  f dieselbe Schwarzsche Ableitung wie f ; und andererseits ist die Schwarzsche Ableitung von f o g durch die Kettenregel gegeben

${\displaystyle (S(f\circ g))(z)=(Sf)(g(z))\cdot g'(z)^{2}.}$

Allgemeiner ausgedrückt gilt für alle hinreichend differenzierbaren Funktionen f und g

${\displaystyle S(f\circ g)=\left(((Sf)\circ g\right)\cdot (g')^{2}+Sg.}$

Wenn f und g glatte reellwertige Funktionen sind, bedeutet dies, dass alle Iterationen einer Funktion mit negativem (oder positivem) Schwarzian negativ (bzw. positiv) bleiben, eine Tatsache, die beim Studium der eindimensionalen Dynamik verwendet wird .

Einführung in die Funktion zweier komplexer Variablen

${\displaystyle F(z,w)=\log\left({\frac {f(z)-f(w)}{zw}}\right),}$

seine zweite gemischte partielle Ableitung ist gegeben durch

${\displaystyle {\frac {\partial^{2}F(z,w)}{\partial z\,\partial w}}={f^{\prime}(z)f^{\prime}(w ) \over (f(z)-f(w))^{2}}-{1 \over (zw)^{2}},}$

und die Schwarzsche Ableitung ist durch die Formel gegeben:

${\displaystyle (Sf)(w)=\left.6\cdot {\partial ^{2}F(z,w) \over \partial z\,\partial w}\right\vert _{z=w} .}$

Die Schwarzsche Ableitung hat eine einfache Inversionsformel, bei der die abhängigen und die unabhängigen Variablen ausgetauscht werden. Hat man

${\displaystyle (Sw)(v)=-\left({\frac {dw}{dv}}\right)^{2}(Sv)(w)}$

was aus dem Umkehrfunktionssatz folgt , nämlich dass${\displaystyle v'(w)=1/w'.}$

Differentialgleichung

Die Schwarzsche Ableitung hat eine fundamentale Beziehung zu einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung in der komplexen Ebene . Seien und seien zwei linear unabhängige holomorphe Lösungen von ${\displaystyle f_{1}(z)}$${\displaystyle f_{2}(z)}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+Q(z)f(z)=0.}$

Dann genügt das Verhältnis${\displaystyle g(z)=f_{1}(z)/f_{2}(z)}$

${\displaystyle (Sg)(z)=2Q(z)}$

über dem Gebiet, auf dem und definiert sind, und Das Umgekehrte gilt auch: wenn ein solches g existiert und es auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet holomorph ist , dann lassen sich zwei Lösungen und finden, und diese sind außerdem bis auf ein gemeinsames eindeutig Skalierungsfaktor. ${\displaystyle f_{1}(z)}$${\displaystyle f_{2}(z)}$${\displaystyle f_{2}(z)\neq 0.}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$

Wenn eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung in die obige Form gebracht werden kann, wird das resultierende Q manchmal als Q-Wert der Gleichung bezeichnet.

Beachten Sie, dass die Gaußsche hypergeometrische Differentialgleichung in die obige Form gebracht werden kann und somit Lösungspaare der hypergeometrischen Gleichung auf diese Weise miteinander verbunden sind.

Bedingungen für Einwertigkeit

Wenn f eine holomorphe Funktion auf der Einheitsscheibe D ist , dann haben W. Kraus (1932) und Nehari (1949) bewiesen, dass eine notwendige Bedingung für die Eindeutigkeit von f ist

${\displaystyle |S(f)|\leq 6(1-|z|^{2})^{-2}.}$

Umgekehrt , wenn f ( z ) ist eine Funktion auf holomorphe D erfüllt

${\displaystyle |S(f)(z)|\leq 2(1-|z|^{2})^{-2},}$

dann bewies Nehari, dass f univalent ist.

Eine hinreichende Bedingung für die Einwertigkeit ist insbesondere

${\displaystyle |S(f)|\leq 2.}$

Konforme Abbildung von Kreisbogenpolygonen

Die Schwarzsche Ableitung und die zugehörige gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung können verwendet werden, um die Riemann-Abbildung zwischen der oberen Halbebene oder dem Einheitskreis und einem beliebigen beschränkten Polygon in der komplexen Ebene zu bestimmen , dessen Kanten Kreisbögen oder Geraden sind. Für Polygone mit geraden Kanten reduziert sich dies auf die Schwarz-Christoffel-Abbildung , die direkt ohne Verwendung der Schwarzschen Ableitung abgeleitet werden kann. Die Zubehör - Parameter , die als Integrationskonstanten ergeben , werden an den zugehörigen Eigenwerte der zweiten Ordnung Differentialgleichung. Bereits 1890 hatte Felix Klein den Fall der Vierecke anhand der Lamé-Differentialgleichung untersucht .

Sei Δ ein Kreisbogenpolygon mit Winkeln π α ₁ , ..., π α _n im Uhrzeigersinn. Sei f  : H → Δ eine holomorphe Abbildung, die sich kontinuierlich zu einer Abbildung zwischen den Grenzen erstreckt. Die Scheitelpunkte entsprechen den Punkten a ₁ , ..., a _n auf der reellen Achse. Dann ist p ( x ) = S ( f ) ( x ) reellwertig für x reell und nicht einer der Punkte. Nach dem Schwarz-Reflexionsprinzip erstreckt sich p ( x ) zu einer rationalen Funktion auf der komplexen Ebene mit einem Doppelpol bei a _i :

${\displaystyle p(z)=\sum_{i=1}^{n}{\frac {(1-\alpha_{i}^{2})}{2(z-a_{i})^ {2}}}+{\frac {\beta_{i}}{z-a_{i}}}.}$

Die reellen Zahlen β _i heißen akzessorische Parameter . Sie unterliegen drei linearen Beschränkungen:

${\displaystyle \sum\beta_{i}=0}$

${\displaystyle \sum 2a_{i}\beta_{i}+\left(1-\alpha_{i}^{2}\right)=0}$

${\displaystyle \sum a_{i}^{2}\beta_{i}+a_{i}\left(1-\alpha_{i}^{2}\right)=0}$

die dem Verschwinden der Koeffizienten von und in der Entwicklung von p ( z ) um z = ∞ entsprechen. Die Abbildung f ( z ) kann dann geschrieben werden als ${\displaystyle z^{-1},z^{-2}}$${\displaystyle z^{-3}}$

${\displaystyle f(z)={u_{1}(z) \over u_{2}(z)},}$

wobei und linear unabhängige holomorphe Lösungen der linearen gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung sind ${\displaystyle u_{1}(z)}$${\displaystyle u_{2}(z)}$

${\displaystyle u^{\prime \prime}(z)+{\tfrac {1}{2}}p(z)u(z)=0.}$

Es gibt n –3 linear unabhängige akzessorische Parameter, die in der Praxis schwer zu bestimmen sein können.

Für ein Dreieck gibt es bei n = 3 keine Zusatzparameter. Die gewöhnliche Differentialgleichung entspricht der hypergeometrischen Differentialgleichung und f ( z ) ist die Schwarz-Dreiecksfunktion , die in hypergeometrischen Funktionen geschrieben werden kann .

Für ein Viereck hängen die Zubehörparameter von einer unabhängigen Variablen  λ ab . Wenn man U ( z ) = q ( z ) u ( z ) für eine geeignete Wahl von q ( z ) schreibt , hat die gewöhnliche Differentialgleichung die Form

${\displaystyle a(z)U^{\prime \prime}(z)+b(z)U^{\prime}(z)+(c(z)+\lambda)U(z)=0.}$

Somit sind Eigenfunktionen einer Sturm-Liouville-Gleichung auf dem Intervall . Nach dem Sturm-Trennungssatz ist das Nichtverschwinden von Kräften λ der kleinste Eigenwert. ${\displaystyle q(z)u_{i}(z)}$${\displaystyle [a_{i},a_{i+1}]}$${\displaystyle u_{2}(z)}$

Komplexe Struktur auf Teichmüller-Raum

Der universelle Teichmüller-Raum ist definiert als der Raum der reellen analytischen quasikonformen Abbildungen der Einheitsscheibe D , oder äquivalent der oberen Halbebene H , auf sich selbst, wobei zwei Abbildungen als äquivalent angesehen werden, wenn am Rand die eine aus der anderen erhalten wird durch Komposition mit Möbius-Transformation . Wenn man D mit der unteren Hemisphäre der Riemannschen Kugel identifiziert , entspricht jede quasikonforme Selbstabbildung f der unteren Hemisphäre natürlich einer konformen Abbildung der oberen Hemisphäre auf sich selbst. Tatsächlich wird als Beschränkung auf die obere Halbkugel die Lösung der Beltrami-Differentialgleichung bestimmt${\displaystyle {\tilde{f}}}$${\displaystyle {\tilde{f}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial {\bar{z}}}}=\mu(z){\frac {\partial F}{\partial z}},}$

wobei μ die beschränkte messbare Funktion ist, definiert durch

${\displaystyle \mu(z)={\frac {\partial f}{\partial {\bar{z}}}}{\bigg /}{\frac {\partial f}{\partial z}}}$

auf der unteren Halbkugel, auf der oberen Halbkugel auf 0 erweitert.

Lipman Bers identifizierte die obere Hemisphäre mit D und benutzte die Schwarzsche Ableitung, um eine Abbildung zu definieren

${\displaystyle g=S({\tilde{f}}),}$

die den universellen Teichmüller-Raum in eine offene Teilmenge U des Raums der beschränkten holomorphen Funktionen g auf D mit der einheitlichen Norm einbettet . Frederick Gehring zeigte 1977, dass U das Innere der abgeschlossenen Teilmenge der Schwarzschen Ableitungen einwertiger Funktionen ist.

Für eine kompakte Riemann-Fläche S der Gattung größer 1 ist ihr universeller Überdeckungsraum die Einheitsscheibe D, auf die ihre Fundamentalgruppe Γ durch Möbius-Transformationen wirkt. Der Teichmüller-Raum von S kann mit dem Unterraum der universellen Teichmüller-Rauminvariante unter Γ identifiziert werden. Die holomorphen Funktionen g haben die Eigenschaft, dass

${\displaystyle g(z)\,dz^{2}}$

unter Γ invariant ist, bestimmen Sie also quadratische Differentiale auf S . Auf diese Weise wird der Teichmüller-Raum von S als offener Unterraum des endlichdimensionalen komplexen Vektorraums quadratischer Differentiale auf S realisiert .

Diffeomorphismusgruppe des Kreises

Gekreuzte Homomorphismen

Die Transformationseigenschaft

${\displaystyle S(f\circ g)=\left(S(f)\circ g\right)\cdot (g')^{2}+S(g).}$

erlaubt die Interpretation der Schwarzschen Ableitung als stetiger 1-Kozykel oder gekreuzter Homomorphismus der Diffeomorphismusgruppe des Kreises mit Koeffizienten im Modul der Dichten vom Grad 2 auf dem Kreis. Sei F _λ ( S ¹ ) der Raum der Tensordichten vom Grad λ auf S ¹ . Die Gruppe der orientierungserhaltenden Diffeomorphismen von S ¹ , Diff( S ¹ ), wirkt über Pushforwards auf F _λ ( S ¹ ) . Wenn f ein Element von Diff( S ¹ ) ist, dann betrachte die Abbildung

${\displaystyle f\to S(f^{-1}).}$

In der Sprache der Gruppenkohomologie besagt die obige kettenartige Regel, dass diese Abbildung ein 1-Kozykel auf Diff( S ¹ ) mit Koeffizienten in F ₂ ( S ¹ ) ist. Eigentlich

${\displaystyle H^{1}({\text{Diff}}(\mathbf{S}^{1});F_{2}(\mathbf{S}^{1}))=\mathbf{R} }$

und der 1-Kozyklus, der die Kohomologie erzeugt, ist f → S ( f ⁻¹ ). Die Berechnung der 1-Kohomologie ist ein Sonderfall des allgemeineren Ergebnisses

${\displaystyle H^{1}({\text{Diff}}(\mathbf{S}^{1});F_{\lambda}(\mathbf{S}^{1}))=\mathbf{R } \,\,\mathrm {für} \,\,\lambda =0,1,2\,\,\mathrm {und} \,\,(0)\,\,\mathrm {sonst.} }$

Beachten Sie, dass, wenn G eine Gruppe und M ein G -Modul ist, die Identität, die einen gekreuzten Homomorphismus c von G in M definiert , durch Standardhomomorphismen von Gruppen ausgedrückt werden kann: Sie wird in einem Homomorphismus 𝜙 von G in das semidirekte Produkt kodiert so dass die Zusammensetzung von 𝜙 mit der Projektion auf G die Identitätskarte ist; die Entsprechung ist durch die Abbildung C ( g ) = ( c ( g ), g ). Die gekreuzten Homomorphismen bilden einen Vektorraum und enthalten als Unterraum die coboundary gekreuzten Homomorphismen b ( g ) = g ⋅ m − m für m in M . Ein einfaches Mittelungsargument zeigt, dass, wenn K eine kompakte Gruppe und V ein topologischer Vektorraum ist, auf den K kontinuierlich wirkt, die höheren Kohomologiegruppen verschwinden H ^m ( K , V ) = (0) für m > 0. n insbesondere für 1-cocycles χ mit ${\displaystyle M\rtimes G}$${\displaystyle M\rtimes G}$

${\displaystyle \chi(xy)=\chi(x)+x\cdot\chi(y),}$

Mittelung über y unter Verwendung der linken Invariante des Haar-Maß auf K ergibt

${\displaystyle \chi(x)=mx\cdot m,}$

mit

${\displaystyle m=\int_{K}\chi (y)\,dy.}$

Somit kann durch das Mittelung kann davon ausgegangen werden , dass c erfüllt die Normierungsbedingung c ( x ) = 0 für x in Rot ( S ¹ ). Beachten Sie, dass, wenn ein Element x in G c ( x ) = 0 erfüllt, C ( x ) = (0, x ) ist. Da C aber ein Homomorphismus ist, gilt C ( xgx ⁻¹ ) = C ( x ) C ( g ) C ( x ) ⁻¹ , sodass c die Äquivarianzbedingung c ( xgx ⁻¹ ) =  x  ⋅  c ( g ). Somit kann angenommen werden, dass der Kocyclus diese Normierungsbedingungen für Rot( S ¹ ) erfüllt . Tatsächlich verschwindet die Schwarzsche Ableitung immer dann, wenn x eine Möbius-Transformation entsprechend SU(1,1) ist. Die anderen zwei 1-Zyklen unten diskutiert verschwinden nur Rot ( S ¹ ) ( λ  = 0, 1).

Es gibt eine infinitesimale Version dieses Ergebnisses, die einen 1-Kozykel für Vect( S ¹ ), die Lie-Algebra glatter Vektorfelder und damit für die Witt-Algebra , die Subalgebra trigonometrischer polynomischer Vektorfelder, ergibt. In der Tat, wenn G eine Lie-Gruppe ist und die Wirkung von G auf M glatt ist, gibt es eine Lie-algebraische Version des gekreuzten Homomorphismus, die man erhält, indem man die entsprechenden Homomorphismen der Lie-Algebren (die Ableitungen der Homomorphismen an der Identität) nimmt. Dies ist auch für Diff( S ¹ ) sinnvoll und führt zum 1-Kocyclus

${\displaystyle s\left(f\,{d\overd\theta}\right)={d^{3}f\overd\theta^{3}}\,(d\theta)^{2} }$

was der Identität genügt

${\displaystyle s([X,Y])=X\cdot s(Y)-Y\cdot s(X).}$

Im Fall der Lie-Algebra haben die Kogrenzenabbildungen die Form b ( X ) = X ⋅ m für m in M . In beiden Fällen ist die 1-Kohomologie definiert als der Raum gekreuzter Homomorphismen modulo Coboundaries. Die natürliche Entsprechung zwischen Gruppenhomomorphismen und Lie-Algebra-Homomorphismen führt zur "van Est Inclusion Map"

${\displaystyle H^{1}(\operatorname {Diff} (\mathbf{S}^{1});F_{\lambda}(\mathbf{S}^{1}))\hookrightarrow H^{1} (\operatorname {Vect} (\mathbf {S} ^{1});F_{\lambda }(\mathbf {S} ^{1})),}$

Auf diese Weise kann die Rechnung auf die der Lie-Algebra-Kohomologie reduziert werden . Durch Stetigkeit reduziert sich dies auf die Berechnung von gekreuzten Homomorphismen 𝜙 der Witt-Algebra in F _λ ( S ¹ ). Die Normierungsbedingungen für den gruppengekreuzten Homomorphismus implizieren die folgenden zusätzlichen Bedingungen für 𝜙:

${\displaystyle \varphi (\operatorname {Ad} (x)X)=x\cdot \varphi (X),\,\,\varphi (d/d\theta )=0}$

für x in Rot( S ¹ ).

Den Konventionen von Kac & Raina (1987) folgend , ist eine Basis der Witt-Algebra gegeben durch

${\displaystyle d_{n}=dh^{in\theta}\,{d\over d\theta}}$

so daß [ d _m , d _n ] = ( m - n ) d _{m + n} . Eine Basis für die Komplexifizierung von F _λ ( S ¹ ) ist gegeben durch

${\displaystyle v_{n}=e^{in\theta}\,(d\theta)^{\lambda},}$

so dass

${\displaystyle d_{m}\cdot v_{n}=-(n+\lambda m)v_{n+m},\,\,g_{\zeta}\cdot v_{n}=\zeta ^{n} v_{n},}$

für g _ζ in Rot( S ¹ ) = T . Dies erzwingt 𝜙( d _n ) = a _n ⋅ v _n für geeignete Koeffizienten a _n . Der gekreuzte Zustand Homomorphismus φ ([ X , Y ]) = X φ ( Y ) - Y φ ( X ) ergibt eine Rekursionsformel für die ein _n :

${\displaystyle (mn)a_{m+n}=(m+\lambda n)a_{m}-(n+\lambda m)a_{n}.}$

Die Bedingung 𝜙( d / d θ) = 0 impliziert, dass a ₀ = 0. Aus dieser Bedingung und der Rekursionsbeziehung folgt, dass dies bis auf skalare Vielfache eine eindeutige Lösung ungleich Null hat, wenn λ gleich 0, 1 oder ist 2 und sonst nur die Nulllösung. Die Lösung für λ = 1 entspricht dem Gruppe-1-Kocyclus . Die Lösung für λ = 0 entspricht der Gruppe 1-Kozykel 𝜙 ₀ ( f ) = log  f' . Die entsprechenden Lie-Algebra 1-Kozyklen für λ = 0, 1, 2 sind bis auf ein skalares Vielfaches von ${\displaystyle\varphi_{1}(f)=f^{\prime\prime}/f^{\prime}\,d\theta}$

${\displaystyle \varphi_{\lambda}\left(F{d\over d\theta}\right)={d^{\lambda +1}F\over d\theta^{\lambda +1}}\ ,(d\theta)^{\lambda}.}$

Zentrale Erweiterungen

Aus den gekreuzten Homomorphismen wiederum entsteht die zentrale Erweiterung von Diff( S ¹ ) und seiner Lie-Algebra Vect( S ¹ ), die sogenannte Virasoro-Algebra .

Coadjoint-Aktion

Die Gruppe Diff( S ¹ ) und ihre zentrale Erweiterung taucht natürlich auch im Kontext der Teichmüller- und Stringtheorie auf . In der Tat die homeomorphisms von S ¹ induziert durch quasikonforme Selbst Karten von D sind genau die quasisymmetric homeomorphisms von S ¹ ; dies sind genau Homöomorphismen, die nicht vier Punkte mit Kreuzungsverhältnis 1/2 zu Punkten mit Kreuzungsverhältnis nahe 1 oder 0 senden . Unter Verwendung von Randwerten kann universeller Teichmüller mit dem Quotienten der Gruppe der quasisymmetrischen Homöomorphismen QS( S ¹ ) durch . identifiziert werden die Untergruppe der Möbius-Transformationen Moeb( S ¹ ). (Es kann natürlich auch als Raum von Quasikreisen in C realisiert werden .) Da

${\displaystyle \operatorname {Moeb} (\mathbf {S} ^{1})\subset \operatorname {Diff} (\mathbf {S} ^{1})\subset {\text{QS}}(\mathbf { S} ^{1})}$

der homogene Raum Diff( S ¹ )/Moeb( S ¹ ) ist natürlich ein Unterraum des universellen Teichmüller-Raums. Es ist natürlich auch eine komplexe Mannigfaltigkeit und diese und andere natürliche geometrische Strukturen sind mit denen im Teichmüller-Raum kompatibel. Das Dual der Lie-Algebra von Diff( S ¹ ) kann mit dem Raum der Hillschen Operatoren auf S ^{1 .} identifiziert werden

${\displaystyle {d^{2} \over d\theta^{2}}+q(\theta),}$

und die koadjungierte Aktion von Diff( S ¹ ) ruft die Schwarzsche Ableitung auf. Die Umkehrung des Diffeomorphismus f schickt den Hill-Operator zu

${\displaystyle {d^{2} \over d\theta^{2}}+f^{\prime}(\theta)^{2}\,q\circ f(\theta)+{\tfrac {1 }{2}}S(f)(\theta).}$

Pseudogruppen und Verbindungen

Die Schwarzsche Ableitung und der andere auf Diff( S ¹ ) definierte 1-Kocyclus können zwischen offenen Mengen in der komplexen Ebene biholomorph erweitert werden. In diesem Fall führt die lokale Beschreibung zur Theorie der analytischen Pseudogruppen , die die Theorie der unendlichdimensionalen Gruppen und Lie-Algebren formalisiert, die erstmals in den 1910er Jahren von Élie Cartan untersucht wurden . Dies hängt mit affinen und projektiven Strukturen auf Riemann-Flächen sowie der Theorie der Schwarzschen oder projektiven Verbindungen zusammen, die von Gunning, Schiffer und Hawley diskutiert werden.

Eine holomorphe Pseudogruppe Γ auf C besteht aus einer Sammlung von Biholomorphismen f zwischen offenen Mengen U und V in C, die die Identitätsabbildungen für jede offene U enthält , die unter Beschränkung auf offene abgeschlossen ist, die unter Komposition abgeschlossen ist (wenn möglich), die ist unter Inversen abgeschlossen und so, dass wenn ein Biholomorphismus lokal in Γ ist, dann ist er auch in Γ. Die Pseudogruppe heißt transitiv, wenn bei gegebenem z und w in C ein Biholomorphismus f in Γ existiert, so dass f ( z ) = w . Ein besonderer Fall von transitiven Pseudogruppen sind solche, die flach sind , dh alle komplexen Übersetzungen T _b ( z ) = z + b enthalten . Lassen G die Gruppe unter Zusammensetzung sein, der formal Potenzreihe Transformationen F (z) = ein ₁ z + a ₂ z ² + .... mit einem ₁ ≠ 0 . Eine holomorphe Pseudogruppe Γ definiert eine Untergruppe A von G , nämlich die durch die Taylor-Reihenentwicklung um 0 (oder "Jet" ) definierte Untergruppe der Elemente f von Γ mit f (0) = 0 . Umgekehrt ist Γ flach durch A eindeutig bestimmt : Ein Biholomorphismus f auf U ist genau dann in Γ enthalten, wenn die Potenzreihe von T _{– f ( a )} ∘ f ∘ T _a für jedes a in U in A liegt : mit anderen Worten, die formale Potenzreihe für f an a ist durch ein Element von A gegeben, wobei z durch z − a ersetzt ist ; oder kürzer alle Jets von f liegen in A .

Die Gruppe G hat einen natürlichen Homomorphismus auf die Gruppe G _k von k- Jets, die man erhält, indem man die abgeschnittenen Potenzreihen bis zum Term z ^{k nimmt} . Diese Gruppe wirkt getreu auf den Raum der Polynome vom Grad k (abschneidende Terme der höheren Ordnung als k ). Trunkationen definieren in ähnlicher Weise Homomorphismen von G _k auf G _{k − 1} ; der Kernel besteht aus Abbildungen f mit f ( z ) = z + bz ^k , ist also abelsch. Damit ist die Gruppe G _k auflösbar, was auch daran deutlich wird, dass sie für die Basis von Monomen in Dreiecksform vorliegt.

Eine flache Pseudogruppe Γ heißt "durch Differentialgleichungen definiert", wenn es eine endliche ganze Zahl k gibt, so dass der Homomorphismus von A in G _k getreu ist und das Bild eine geschlossene Untergruppe ist. Das kleinste dieser k heißt die Ordnung von Γ. Es gibt eine vollständige Klassifikation aller so entstehenden Untergruppen A , die den zusätzlichen Annahmen genügen, dass das Bild von A in G _k eine komplexe Untergruppe ist und G ₁ gleich C * ist: die Pseudogruppe enthält also auch die Skalierungstransformationen S _a ( z ) = az für a 0, dh enthält A enthält jedes Polynom az mit a ≠ 0.

Die einzigen Möglichkeiten in diesem Fall sind k = 1 und A = { az : a ≠ 0}; oder dass k = 2 und A = { az /(1− bz ) : a ≠ 0}. Die erstere ist die Pseudogruppe, die durch die affine Untergruppe der komplexen Möbius-Gruppe definiert ist (die az + b- Transformationen fixieren ∞); letztere ist die Pseudogruppe, die durch die gesamte komplexe Möbius-Gruppe definiert wird.

Diese Klassifikation kann leicht auf ein Lie-algebraisches Problem reduziert werden, da die formale Lie-Algebra von G aus formalen Vektorfeldern F ( z ) d / dz mit F einer formalen Potenzreihe besteht. Sie enthält die polynomialen Vektorfelder mit Basis d _n = z ^{n +1} d / dz ( n ≥ 0), die eine Unteralgebra der Witt-Algebra ist. Die Lie-Klammern sind gegeben durch [ d _m , d _n ] = ( n − m ) d _{m + n} . Diese wirken wiederum auf den Raum der Polynome vom Grad ≤ k durch Differentiation – er kann mit C [[ z ]]/( z ^{k +1} ) identifiziert werden – und die Bilder von d ₀ , ..., d _{k – 1} ergeben eine Basis der Lie-Algebra von G _k . Beachten Sie, dass Ad( S _a ) d _n = a ^{– n} d _n . Lassen Sie den Lie - Algebra bezeichnet A : Es ist isomorph zu einer Unteralgebra des Lie - Algebra von G _k . Sie enthält d ₀ und ist invariant unter Ad( S _a ). Da es sich um eine Lie-Subalgebra der Witt-Algebra handelt, besteht die einzige Möglichkeit darin, dass sie Basis d ₀ oder Basis d ₀ , d _n für irgendein n 1 hat. Es gibt entsprechende Gruppenelemente der Form f ( z )= z + bz ^{n +1} + .... Zusammensetzen mit Übersetzungen ergibt T _{– f (ε)} ∘ f ∘ T _ε ( z ) = cz + dz ² + ... mit c , d 0. Sofern n = 2, widerspricht dies der Form der Untergruppe A ; also n = 2. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak{a}}}$${\displaystyle {\mathfrak{a}}}$

Die Schwarzsche Ableitung ist mit der Pseudogruppe für die komplexe Möbius-Gruppe verwandt. In der Tat , wenn f eine Biholomorphe Abbildung auf definierte V dann φ ₂ ( f ) = S ( f ) ist ein quadratisches Differential auf V . Wenn g ein auf U definierter Bihomolorphismus ist und g ( V ) U , sind S ( f ∘ g ) und S ( g ) quadratische Differentiale auf U ; außerdem ist S ( f ) ein quadratisches Differential auf V , so dass g _∗ S (f) auch ein quadratisches Differential auf U ist . Die Identität

${\displaystyle S(f\circ g)=g_{*}S(f)+S(g)}$

ist somit das Analogon eines 1-Kocyclus für die Pseudogruppe von Biholomorphismen mit Koeffizienten in holomorphen quadratischen Differentialen. Ähnlich und sind 1-Kozyklen für dieselbe Pseudogruppe mit Werten in holomorphen Funktionen und holomorphen Differentialen. Im Allgemeinen kann 1-Kocyclus für holomorphe Differentiale beliebiger Ordnung definiert werden, so dass ${\displaystyle \varphi_{0}(f)=\log f^{\prime}}$${\displaystyle \varphi_{1}(f)=f^{\prime\prime}/f^{\prime}}$

${\displaystyle \varphi (f\circ g)=g_{*}\varphi (f)+\varphi (g).}$

Wendet man die obige Identität auf die Inklusionskarten j an , folgt 𝜙( j ) = 0 ; und daher gilt, wenn f ₁ die Einschränkung von f _{2 ist} , so dass f ₂ ∘ j = f ₁ , dann gilt 𝜙( f ₁ ) = 𝜙 ( f ₂ ). Andererseits wird die holomorphe Pseudogruppe lokaler Biholomorphismen durch holomorphe Vektorfelder erzeugt, wenn man den durch holomorphe Vektorfelder definierten lokalen holomorphen Fluss nimmt – die Exponentialfunktion der Vektorfelder. Wenn der 1-Kozyklus 𝜙 geeignete Kontinuitäts- oder Analytizitätsbedingungen erfüllt, induziert er einen 1-Kozyklus von holomorphen Vektorfeldern, der ebenfalls mit Restriktionen kompatibel ist. Dementsprechend definiert es einen 1-Kozykel auf holomorphen Vektorfeldern auf C :

${\displaystyle \varphi ([X,Y])=X\varphi (Y)-Y\varphi (X).}$

Beschränkt auf die Lie-Algebra polynomialer Vektorfelder mit Basis d _n = z ^{n +1} d / dz ( n ≥ −1) können diese mit den gleichen Methoden der Lie-Algebra-Kohomologie (wie im vorherigen Abschnitt über gekreuzte Homomorphismen) bestimmt werden. . Dort war die Rechnung für die gesamte Witt-Algebra, die auf Dichten der Ordnung k wirkt , während es hier nur für eine Subalgebra ist, die auf holomorphe (oder polynomielle) Differentiale der Ordnung k wirkt . Wiederum unter der Annahme, dass 𝜙 bei Drehungen von C verschwindet , gibt es von Null verschiedene 1-Kozyklen, die bis hin zu skalaren Vielfachen eindeutig sind. nur für Differentiale vom Grad 0, 1 und 2 gegeben durch die gleiche Ableitungsformel

${\displaystyle \varphi_{k}\left(p(z){d\over dz}\right)=p^{(k+1)}(z)\,(dz)^{k},}$

wobei p ( z ) ein Polynom ist.

Die 1-Kozyklen definieren die drei Pseudogruppen durch _k ( f ) = 0: dies ergibt die Skalierungsgruppe ( k = 0); die affine Gruppe ( k = 1); und die gesamte komplexe Möbiusgruppe ( k = 2). Diese 1-Kozyklen sind also die speziellen gewöhnlichen Differentialgleichungen, die die Pseudogruppe definieren. Vielmehr können sie verwendet werden, um entsprechende affine oder projektive Strukturen und Verbindungen auf Riemann-Flächen zu definieren. Ist Γ eine Pseudogruppe glatter Abbildungen auf R ⁿ , so heißt ein topologischer Raum M eine Γ-Struktur haben, wenn er eine Sammlung von Karten f besitzt , die Homöomorphismen von offenen Mengen V _i in M zu offenen Mengen U _i in R ^{n . sind} so dass für jeden nicht leeren Schnittpunkt die natürliche Abbildung von f _i ( U _i ∩ U _j ) nach f _j ( U _i ∩ U _j ) in liegt. Dies definiert die Struktur einer glatten n- Mannigfaltigkeit, wenn Γ aus lokalen Diffeomorphimen und einer Riemannschen Fläche besteht, wenn n = 2 – so dass R ² ≡ C – und Γ aus Biholomorphismen besteht. Wenn Γ die affine Pseudogruppe ist, hat M eine affine Struktur; und wenn Γ die Möbius-Pseudogruppe ist, hat M eine projektive Struktur. Somit hat eine Fläche der Gattung Eins, die als C /Λ für ein Gitter Λ ⊂ C angegeben wird, eine affine Struktur; und eine Fläche der Gattung p > 1 als Quotient der oberen Halbebene oder Einheitsscheibe durch eine Fuchssche Gruppe hat eine projektive Struktur.

Gunning (1966) beschreibt, wie dieser Prozess umgekehrt werden kann: Für die Gattung p > 1 kann die Existenz einer projektiven Verbindung, definiert mit der Schwarzschen Ableitung 𝜙 ₂ und mit Standardergebnissen der Kohomologie nachgewiesen, zur Identifizierung der universellen Deckfläche mit . verwendet werden die obere Halbebene oder Einheitsscheibe (ein ähnliches Ergebnis gilt für die Gattung 1, mit affinen Verbindungen und 𝜙 ₁ ).

Anmerkungen

Verweise

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• Gunning, RC (1966), Vorlesungen über Riemann-Oberflächen , Princeton Mathematical Notes, Princeton University Press
• Gunning, RC (1978), Über die Vereinheitlichung komplexer Mannigfaltigkeiten: die Rolle der Verbindungen , Mathematical Notes, 22 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08176-2
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