Zweitzählbarer Raum - Second-countable space

In der Topologie ist ein zweitzählbarer Raum , auch vollständig separierbarer Raum genannt , ein topologischer Raum, dessen Topologie eine abzählbare Basis hat . Deutlicher ausgedrückt, ein topologischer Raum ist zweit zählbar , wenn es eine zählbare Sammlung besteht aus offenen Teilmengen , so dass jede offene Teilmenge von als eine Vereinigung von Elementen von einiger Unterfamilie der geschrieben werden kann . Ein zweitabzählbarer Raum erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiom . Wie bei anderen Abzählbarkeitsaxiomen beschränkt die Eigenschaft, zweitabzählbar zu sein, die Anzahl offener Mengen, die ein Raum haben kann. ${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal{U}}=\{U_{i}\}_{i=1}^{\infty}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

Viele " wohlerzogene " Räume in der Mathematik sind zweitzählbar. Zum Beispiel ist der euklidische Raum ( R ⁿ ) mit seiner üblichen Topologie zweitzählbar. Obwohl die üblichen Basis offenen Kugeln ist unzählbare , kann man auf die Sammlung aller offenen Kugeln mit beschränken rationalen Radien und deren Zentren haben rationale Koordinaten. Diese eingeschränkte Menge ist abzählbar und bildet dennoch eine Grundlage.

Eigenschaften

Die Zweitzählbarkeit ist ein stärkerer Begriff als die Erstzählbarkeit . Ein Raum ist zuerst abzählbar, wenn jeder Punkt eine abzählbare lokale Basis hat . Gegeben eine Basis für eine Topologie und einen Punkt x bildet die Menge aller Basismengen, die x enthalten, eine lokale Basis bei x . Wenn man also eine abzählbare Basis für eine Topologie hat, dann hat man an jedem Punkt eine abzählbare lokale Basis, und somit ist jeder zweitzählbare Raum auch ein erstzählbarer Raum. Jeder nicht abzählbare diskrete Raum ist jedoch zuerst abzählbar, aber nicht abzählbar.

Die Zweitzählbarkeit impliziert bestimmte andere topologische Eigenschaften. Konkret ist jeder zweitzählbare Raum separierbar (hat eine zählbare dichte Teilmenge) und Lindelöf (jeder offene Deckel hat einen zählbaren Teildeckel). Die umgekehrten Implikationen gelten nicht. Zum Beispiel ist die Topologie der unteren Grenze auf der realen Leitung zuerst zählbar, trennbar und Lindelöf, aber nicht zweitzählbar. Für metrische Räume sind die Eigenschaften zweitzählbar, separierbar und Lindelöf jedoch alle äquivalent. Daher ist die Topologie der unteren Grenze auf der realen Leitung nicht metrisierbar.

In zweitzählbaren Räumen – wie in metrischen Räumen – sind Kompaktheit , sequentielle Kompaktheit und abzählbare Kompaktheit äquivalente Eigenschaften.

Urysohn der Metrisierbarer Raum besagt , dass jeder zweite zählbaren, Hausdorff regelmäßigen Raum ist metrisierbar . Daraus folgt, dass jeder dieser Räume sowohl völlig normal als auch parakompakt ist . Die Zweitzählbarkeit ist daher eine ziemlich restriktive Eigenschaft auf einem topologischen Raum, die nur ein Trennungsaxiom erfordert, um Metrisierbarkeit zu implizieren.

Andere Eigenschaften

• Ein kontinuierliches, offenes Bild eines sekundenzählbaren Raums ist zweitzählbar.
• Jeder Unterraum eines zweitzählbaren Raums ist zweitzählbar.
• Quotienten von zweitzählbaren Räumen müssen nicht zweitzählbar sein; offene Quotienten sind es jedoch immer.
• Jedes abzählbare Produkt eines zweitzählbaren Raums ist zweitzählbar, obwohl nicht abzählbare Produkte es nicht sein müssen.
• Die Topologie eines zweitzählbaren Raums hat eine Kardinalität kleiner oder gleich c (die Kardinalität des Kontinuums ).${\displaystyle T_{1}}$
• Jede Basis für einen zweitzählbaren Raum hat eine abzählbare Unterfamilie, die immer noch eine Basis ist.
• Jede Sammlung disjunkter offener Mengen in einem zweitzählbaren Raum ist abzählbar.

Beispiele und Gegenbeispiele

• Betrachten Sie die disjunkte abzählbare Vereinigung . Definieren Sie eine Äquivalenzrelation und eine Quotiententopologie, indem Sie die linken Enden der Intervalle identifizieren, dh 0 ~ 2 ~ 4 ~ … ~ 2k usw. identifizieren. X ist zweitzählbar, als abzählbare Vereinigung von zweitzählbaren Räumen. Jedoch X / \ nicht-zählbare ersten am coset der identifizierten Punkte und damit auch nicht die zweiten zählbare.${\displaystyle X=[0,1]\cup [2,3]\cup [4,5]\cup\dots\cup [2k,2k+1]\cup\dotsb}$
• Der obige Raum ist nicht homöomorph für denselben Satz von Äquivalenzklassen, die mit der offensichtlichen Metrik ausgestattet sind: dh regulärer euklidischer Abstand für zwei Punkte im selben Intervall und die Summe der Abstände zum linken Punkt für Punkte, die nicht im selben Intervall liegen - - was eine streng schwächere Topologie als der obige Raum ergibt. Er ist ein separierbarer metrischer Raum (betrachte die Menge der rationalen Punkte) und ist daher zweitzählbar.
• Die lange Linie ist nicht zweitzählbar, aber sie ist erstzählbar.

Anmerkungen

Verweise

• Stephen Willard, Allgemeine Topologie , (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.
• John G. Hocking und Gail S. Young (1961). Topologie. Korrigierter Nachdruck, Dover, 1988. ISBN  0-486-65676-4