Serielle Beziehung - Serial relation

In der Mengenlehre , ein Zweig der Mathematik, der eine serielle Beziehung , auch genannt insgesamt oder insbesondere linksGesamt Bezug , ist eine binäres Verhältnis R , für die jedes Element der Domäne ein entsprechendes hat Bereich Element (∀ x ∃ y   x R y ).

Einführung

In ℕ = natürliche Zahlen ist die Kleiner-als-Beziehung (<) seriell. Auf ihrer Domäne ist eine Funktion seriell.

Eine reflexive Relation ist eine serielle Relation, aber das Umgekehrte gilt nicht. Es kann jedoch gezeigt werden , dass eine serielle Relation, die symmetrisch und transitiv ist, reflexiv ist. In diesem Fall ist die Relation eine Äquivalenzrelation .

Wenn eine strikte Reihenfolge seriell ist, hat sie kein maximales Element .

Für eine Relation R sei { y : xRy } die "Nachfolgeumgebung" von x . Eine serielle Relation kann äquivalent als jedes Element charakterisiert werden, das eine nicht leere Nachfolgerumgebung hat. In ähnlicher Weise ist eine inverse serielle Relation eine Relation, in der jedes Element eine nicht leere "Vorgängerumgebung" hat. Häufiger wird eine inverse serielle Beziehung als surjektive Beziehung bezeichnet und durch eine serielle umgekehrte Beziehung angegeben .

In der normalen Modallogik ergibt die Erweiterung der fundamentalen Axiomenmenge K um die serielle Eigenschaft die Axiomenmenge D .

Algebraische Charakterisierung

Serielle Relationen lassen sich algebraisch durch Gleichheiten und Ungleichungen über Relationskompositionen charakterisieren . Wenn und zwei binäre Beziehungen sind, dann ist ihre Zusammensetzung R  ; S ist definiert als die Beziehung

  • Wenn R eine serielle Relation ist, dann ist S  ; R = ∅ impliziert S = ∅, für alle Mengen W und Relationen S ⊆ W × X , wobei ∅ die leere Relation bezeichnet .
  • Sei L die universelle Relation : . Eine Charakterisierung einer seriellen Relation R ist .
  • Eine weitere algebraische Charakterisierung einer seriellen Beziehung beinhaltet Ergänzungen der Beziehung: Für jede Beziehung S , wenn R Serien dann ist , wo bezeichnet das Komplement . Diese Charakterisierung folgt aus der Verteilung der Zusammensetzung über die Vereinigung.
  • Eine serielle Relation R steht im Gegensatz zur leeren Relation ∅ in dem Sinne, dass während

Andere Charakterisierungen verwenden die Identitätsrelation und die umgekehrte Relation von :

Russells Serie

Beziehungen werden verwendet, um Reihen in The Principles of Mathematics zu entwickeln . Der Prototyp ist Peanos Nachfolgerfunktion als Eins-Eins-Relation auf den natürlichen Zahlen . Russells Reihe kann endlich sein oder durch eine Relation erzeugt werden, die eine zyklische Ordnung gibt . In diesem Fall wird die Punkt-Paar-Trennungsbeziehung zur Beschreibung verwendet. Um eine Progression zu definieren , verlangt er, dass die erzeugende Relation eine zusammenhängende Relation ist . Dann werden Ordinalzahlen aus Progressionen abgeleitet, die endlichen sind endliche Ordinalzahlen. (Kapitel 28: Progressionen und Ordnungszahlen) Die Unterscheidung offener und geschlossener Reihen (S. 234) führt zu vier Gesamtordnungen: endlich, ein Ende, kein Ende und offen und kein Ende und geschlossen. (S. 202)

Im Gegensatz zu anderen Autoren gibt Russell negative Ordnungszahlen zu. Für die Motivation der Waage von betrachten Messung unter Verwendung wissenschaftliche Notation , wo eine Zehnerpotenz ein repräsentiert Jahrzehnt der Maßnahme. Informell entspricht dieser Parameter Größenordnungen, die verwendet werden, um physikalische Einheiten zu quantifizieren. Der Parameter nimmt sowohl negative als auch positive Werte an.

Dehnt

Russell übernahm den Begriff Dehnung von Alexius Meinong, der zur Theorie der Distanz beigetragen hatte. Es bezieht sich auf die Zwischenterme zwischen zwei Punkten in einer Reihe, und die "Anzahl der Terme misst den Abstand und die Teilbarkeit des Ganzen". (S. 181) Um Meinong zu erklären, bezieht sich Russell auf die Cayley-Klein-Metrik, die Dehnungskoordinaten in anharmonischen Verhältnissen verwendet, die den Abstand logarithmisch bestimmen. (Seite 255)

Verweise