Spingewichtete sphärische Harmonische - Spin-weighted spherical harmonics

In speziellen Funktionen , einem mathematischen Thema , sind spingewichtete sphärische Harmonische Verallgemeinerungen der Standard- sphärischen Harmonischen und - wie die üblichen sphärischen Harmonischen - Funktionen auf der Kugel . Im Gegensatz zu gewöhnlichen sphärischen Harmonischen sind die spingewichteten Harmonischen eher U (1) -Messfelder als Skalarfelder : Mathematisch nehmen sie Werte in einem komplexen Linienbündel an . Die Spin-gewichteten Harmonischen werden durch den Grad organisiert l , wie gewöhnliche sphärische Harmonische, aber haben eine zusätzliche Spin Gewichts s , der die zusätzliche reflektiert U (1) Symmetrie. Eine spezielle Basis von Harmonischen kann aus den sphärischen Laplace-Harmonischen Y _{lm abgeleitet} werden und wird typischerweise mit _s Y _{lm bezeichnet} , wobei l und m die üblichen Parameter sind, die aus den Standard-sphärischen Laplace-Harmonischen bekannt sind. Auf dieser speziellen Basis erscheinen die spingewichteten sphärischen Harmonischen als tatsächliche Funktionen, da die Wahl einer Polarachse die Mehrdeutigkeit des U (1) -Gehalts festlegt. Die spingewichteten sphärischen Harmonischen können aus den Standard-sphärischen Harmonischen durch Anwendung von Spinerhöhungs- und -absenkungsoperatoren erhalten werden . Insbesondere sind die spingewichteten sphärischen Harmonischen des Spingewichts s = 0 einfach die Standard-sphärischen Harmonischen:

${\ displaystyle {} _ {0} Y_ {lm} = Y_ {lm} \.}$

Räume mit spingewichteten sphärischen Harmonischen wurden erstmals im Zusammenhang mit der Darstellungstheorie der Lorentz-Gruppe identifiziert ( Gelfand, Minlos & Shapiro 1958 ). Sie wurden anschließend und unabhängig von Newman & Penrose (1966) wiederentdeckt und zur Beschreibung der Gravitationsstrahlung und erneut von Wu & Yang (1976) als sogenannte "Monopolharmonische" bei der Untersuchung von Dirac-Monopolen angewendet .

Spingewichtete Funktionen

Betrachten Sie die Kugel S ² als eingebettet in den dreidimensionalen euklidischen Raum R ³ . An einem Punkt x auf der Kugel ist eine positiv orientierte orthonormale Basis von Tangentenvektoren bei x ein Paar a , b von Vektoren, so dass

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {a} = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {b} & = 0 \\\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a } = \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {b} & = 1 \\\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} & = 0 \\\ mathbf {x} \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) &> 0, \ end {align}}}$

wobei das erste Paar von Gleichungen besagen , dass a und b Tangente an sind x , wobei das zweite Paar besagt , dass a und b sind die Einheitsvektoren , die vorletzte Gleichung , daß a und b sind orthogonal , und die letzte Gleichung , daß ( x , a , b ) ist eine rechtshändige Basis von R ³ .

Die Funktion f eines Spingewichts s ist eine Funktion, die als Eingabe einen Punkt x von S ² und eine positiv orientierte orthonormale Basis von Tangentenvektoren bei x akzeptiert , so dass

${\ displaystyle f {\ bigl (} \ mathbf {x}, (\ cos \ theta) \ mathbf {a} - (\ sin \ theta) \ mathbf {b}, (\ sin \ theta) \ mathbf {a} + (\ cos \ theta) \ mathbf {b} {\ bigr)} = e ^ {ist \ theta} f (\ mathbf {x}, \ mathbf {a}, \ mathbf {b})}$

für jeden Drehwinkel θ .

Nach Eastwood & Tod (1982) , bezeichnet die Sammlung aller Spin-weight s Funktionen von B ( s ) . Konkret werden diese als Funktionen f auf C ² \ {0 } verstanden, die das folgende Homogenitätsgesetz unter komplexer Skalierung erfüllen

${\ displaystyle f \ left (\ lambda z, {\ overline {\ lambda}} {\ bar {z}} \ right) = \ left ({\ frac {\ overline {\ lambda}} {\ lambda}} \ rechts) ^ {s} f \ left (z, {\ bar {z}} \ right).}$

Dies ist sinnvoll, sofern s eine halbe Ganzzahl ist.

Abstractly, B ( s ) ist isomorph zu der glatten Vektorbündel das darunter liegende antiholomorphic Vektorbündel O (2 s ) des Serre Drall auf der komplexen projektiven Linie CP ¹ . Ein Abschnitt des letzteren Bündels ist eine Funktion g auf C ² \ {0 }, die erfüllt

${\ displaystyle g \ left (\ lambda z, {\ overline {\ lambda}} {\ bar {z}} \ right) = {\ overline {\ lambda}} ^ {2s} g \ left (z, {\ Balken {z}} \ rechts).}$

Bei einer solchen g , können wir ein Spin-Gewicht erzeugen s Funktion durch Multiplikation mit einer geeigneten Kraft des hermiteschen Form

${\ displaystyle P \ left (z, {\ bar {z}} \ right) = z \ cdot {\ bar {z}}.}$

Insbesondere f = P ^{- s} g ist ein Spin-weight s Funktion. Die Assoziation einer spingewichteten Funktion mit einer gewöhnlichen homogenen Funktion ist ein Isomorphismus.

Der Operator ð

Die Spingewichtsbündel B ( s ) sind mit einem Differentialoperator ð ( eth ) ausgestattet. Dieser Operator ist im Wesentlichen der Dolbeault-Operator , nachdem geeignete Identifikationen vorgenommen wurden.

${\ displaystyle \ partiell: {\ overline {\ mathbf {O} (2s)}} \ bis {\ mathcal {E}} ^ {1,0} \ otimes {\ overline {\ mathbf {O} (2s)} } \ cong {\ overline {\ mathbf {O} (2s)}} \ otimes \ mathbf {O} (-2).}$

Also für f ∈ B ( s ) ,

${\ displaystyle \ eth f \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ P ^ {- s + 1} \ teilweise \ links (P ^ {s} f \ rechts)}$

definiert eine Funktion des Spingewichts s + 1 .

Spingewichtete Harmonische

Genau wie bei herkömmlichen sphärischen Harmonischen sind die Eigenfunktionen des Laplace-Operator Beltrami auf der Kugel, die Spin-weight s Harmonischen sind die eigensections für den Laplace-Operator Beltrami auf die Bündel wirkenden E ( s ) von Spin-weight s Funktionen.

Darstellung als Funktionen

Die spingewichteten Harmonischen können als Funktionen auf einer Kugel dargestellt werden, sobald ein Punkt auf der Kugel als Nordpol ausgewählt wurde. Per Definition transformiert sich eine Funktion η mit dem Spingewicht s unter Rotation um den Pol über

${\ displaystyle \ eta \ rightarrow e ^ {is \ psi} \ eta.}$

Wenn wir in Standard-Kugelkoordinaten arbeiten, können wir einen bestimmten Operator ð definieren , der auf eine Funktion η einwirkt, als:

${\ displaystyle \ eth \ eta = - \ left (\ sin {\ theta} \ right) ^ {s} \ left \ {{\ frac {\ partiell} {\ partiell \ theta}} + {\ frac {i} {\ sin {\ theta}}} {\ frac {\ partiell} {\ partiell \ phi}} \ rechts \} \ links [\ links (\ sin {\ theta} \ rechts) ^ {- s} \ eta \ Recht].}$

Dies gibt uns eine andere Funktion von θ und φ . (Der Operator ð ist effektiv ein kovarianter Ableitungsoperator in der Kugel.)

Eine wichtige Eigenschaft der neuen Funktion ðη ist , dass , wenn η Spin Gewicht hatte s , ðη Spin Gewicht hat s + 1 . Somit erhöht der Operator das Spingewicht einer Funktion um 1. In ähnlicher Weise können wir einen Operator ð definieren, der das Spingewicht einer Funktion um 1 senkt:

${\ displaystyle {\ bar {\ eth}} \ eta = - \ left (\ sin {\ theta} \ right) ^ {- s} \ left \ {{\ frac {\ teilweise} {\ teilweise \ theta}} - {\ frac {i} {\ sin {\ theta}}} {\ frac {\ partiell} {\ partiell \ phi}} \ rechts \} \ links [\ links (\ sin {\ theta} \ rechts) ^ {s} \ eta \ right].}$

Die spingewichteten sphärischen Harmonischen werden dann in Form der üblichen sphärischen Harmonischen definiert als:

${\ displaystyle {} _ {s} Y_ {lm} = {\ begin {case} {\ sqrt {\ frac {(ls)!} {(l + s)!}}} \ \ eth ^ {s} Y_ {lm}, && 0 \ leq s \ leq l; \\ {\ sqrt {\ frac {(l + s)!} {(ls)!}}} \ \ left (-1 \ right) ^ {s} { \ bar {\ eth}} ^ {- s} Y_ {lm}, && - l \ leq s \ leq 0; \\ 0, && l <| s |. \ end {case}}}$

Die Funktionen _s Y _{lm haben} dann die Eigenschaft, mit dem Spingewicht s zu transformieren .

Weitere wichtige Eigenschaften sind:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ eth \ left ({} _ {s} Y_ {lm} \ right) & = + {\ sqrt {(ls) (l + s + 1)}} \, {} _ {s + 1} Y_ {lm}; \\ {\ bar {\ eth}} \ left ({} _ {s} Y_ {lm} \ right) & = - {\ sqrt {(l + s) ( l-s + 1)}} \, {} _ {s-1} Y_ {lm}; \ end {align}}}$

Orthogonalität und Vollständigkeit

Die Harmonischen sind über die gesamte Kugel orthogonal:

${\ displaystyle \ int _ {S ^ {2}} {} _ {s} Y_ {lm} \, {} _ {s} {\ bar {Y}} _ {l'm '} \, dS = \ Delta _ {ll '} \ Delta _ {mm'},}$

und erfüllen die Vollständigkeitsbeziehung

${\ displaystyle \ sum _ {lm} {} _ {s} {\ bar {Y}} _ {lm} \ left (\ theta ', \ phi' \ right) {} _ {s} Y_ {lm} ( \ theta, \ phi) = \ delta \ left (\ phi '- \ phi \ right) \ delta \ left (\ cos \ theta' - \ cos \ theta \ right)}$

Berechnen

Diese Harmonischen können mit verschiedenen Methoden explizit berechnet werden. Die offensichtliche Rekursionsbeziehung ergibt sich aus dem wiederholten Anwenden der Anhebungs- oder Absenkoperatoren. Formeln für die direkte Berechnung wurden von Goldberg et al. (1967) . Beachten Sie, dass ihre Formeln eine alte Wahl für die Condon-Shortley-Phase verwenden . Die unten gewählte Konvention stimmt beispielsweise mit Mathematica überein. Harvtxt-Fehler: kein Ziel: CITEREFGoldbergMacfarlaneNewmanRohlich1967 ( Hilfe )

Die nützlicheren Formeln von Goldberg et al. Sind die folgenden:

${\ displaystyle {} _ {s} Y_ {lm} (\ theta, \ phi) = \ left (-1 \ right) ^ {m} {\ sqrt {\ frac {(l + m)! (2l + 1)} {4 \ pi (l + s)! (Ls)!}}} \ Sin ^ {2l} \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ times \ sum _ {r = 0} ^ {ls} {ls \ wähle r} {l + s \ wähle r + sm} \ left (-1 \ right) ^ {lrs} e ^ {im \ phi} \ cot ^ {2r + sm} \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ ,.}$

Ein Mathematica-Notizbuch, das diese Formel zur Berechnung beliebiger spingewichteter sphärischer Harmonischer verwendet, finden Sie hier .

Mit der Phasenkonvention hier:

${\ displaystyle {\ begin {align} {} _ {s} {\ bar {Y}} _ {lm} & = \ left (-1 \ right) ^ {s + m} {} _ {- s} Y_ {l (-m)} \\ {} _ {s} Y_ {lm} (\ pi - \ theta, \ phi + \ pi) & = \ left (-1 \ right) ^ {l} {} _ { -s} Y_ {lm} (\ theta, \ phi). \ end {align}}}$

Erste spingewichtete sphärische Harmonische

Analytische Ausdrücke für die ersten orthonormalisierten spingewichteten sphärischen Harmonischen:

Schleudergewicht s = 1 , Grad l = 1

${\ displaystyle {\ begin {align} {} _ {1} Y_ {10} (\ theta, \ phi) & = {\ sqrt {\ frac {3} {8 \ pi}} \, \ sin \ theta \\ {} _ {1} Y_ {1 \ pm 1} (\ theta, \ phi) & = - {\ sqrt {\ frac {3} {16 \ pi}}} (1 \ mp \ cos \ theta) \, e ^ {\ pm i \ phi} \ end {align}}}$

Beziehung zu Wigner-Rotationsmatrizen

${\ displaystyle D _ {- ms} ^ {l} (\ phi, \ theta, - \ psi) = \ left (-1 \ right) ^ {m} {\ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}}} {} _ {s} Y_ {lm} (\ theta, \ phi) e ^ {is \ psi}}$

Diese Beziehung ermöglicht die Berechnung der Spinharmonischen unter Verwendung von Rekursionsrelationen für die D- Matrizen .

Dreifaches Integral

Das Dreifachintegral für den Fall, dass s ₁ + s ₂ + s ₃ = 0 ist, wird als 3- j- Symbol angegeben :

${\ displaystyle \ int _ {S ^ {2}} \, {} _ {s_ {1}} Y_ {j_ {1} m_ {1}} \, {} _ {s_ {2}} Y_ {j_ { 2} m_ {2}} \, {} _ {s_ {3}} Y_ {j_ {3} m_ {3}} = {\ sqrt {\ frac {\ left (2j_ {1} +1 \ right) \ links (2j_ {2} +1 \ rechts) \ links (2j_ {3} +1 \ rechts)} {4 \ pi}} {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \ \ m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ - s_ {1} & - s_ {2} & -s_ {3} \ end {pmatrix}}}$

Siehe auch

• Sphärische Basis

Verweise

• Dray, Tevian (Mai 1985), "Die Beziehung zwischen Monopolharmonischen und spingewichteten sphärischen Harmonischen" , J. Math. Phys. , American Institute of Physics, 26 (5): 1030–1033, Bibcode : 1985JMP .... 26.1030D , doi : 10.1063 / 1.526533.
• Eastwood, Michael; Tod, Paul (1982), "Edth-a Differential Operator on the Sphere", Mathematical Proceedings der Cambridge Philosophical Society , 92 (2): 317–330, Bibcode : 1982MPCPS..92..317E , doi : 10.1017 / S0305004100059971.
• Gelfand, IM ; Minlos, Robert A . ; Shapiro, Z. Ja. (1958), Predstavleniya gruppy vrashcheni i gruppy Lorentsa, ikh primeneniya , Gosudarstv. Izdat. Fiz.-Mat. Lit., Moskau, MR  0114876;; (1963) Darstellungen der Rotations- und Lorentz-Gruppen und ihrer Anwendungen (Übersetzung). Macmillan Publishers.
• Goldberg, JN; Macfarlane, AJ; Newman, ET; Rohrlich, F.; Sudarshan, EKG (November 1967), "Spin-s Spherical Harmonics and ð" , J. Math. Phys. , American Institute of Physics, 8 (11): 2155–2161, Bibcode : 1967JMP ..... 8.2155G , doi : 10.1063 / 1.1705135 (Hinweis: Wie oben erwähnt, wird in diesem Dokument eine Auswahl für die Condon-Shortley-Phase verwendet, die nicht mehr Standard ist.)
• Newman, ET ; Penrose, R. (Mai 1966), "Anmerkung zur Bondi-Metzner-Sachs-Gruppe" , J. Math. Phys. , American Institute of Physics, 7 (5): 863–870, Bibcode : 1966JMP ..... 7..863N , doi : 10.1063 / 1.1931221.
• Wu, Tai Tsun; Yang, Chen Ning (1976), "Dirac-Monopol ohne Saiten: Monopol-Harmonische", Nuclear Physics B , 107 (3): 365–380, Bibcode : 1976NuPhB.107..365W , doi : 10.1016 / 0550-3213 (76) 90143-7 , MR  0471791.