Subjektive Logik - Subjective logic

Subjektive Logik ist eine Art probabilistischer Logik , die epistemische Unsicherheit und Quellenvertrauen explizit berücksichtigt. Im Allgemeinen eignet sich die subjektive Logik zur Modellierung und Analyse von Situationen mit Unsicherheit und relativ unzuverlässigen Quellen. Beispielsweise kann es zum Modellieren und Analysieren von Vertrauensnetzwerken und Bayes'schen Netzwerken verwendet werden .

Argumente in der subjektiven Logik sind subjektive Meinungen über Zustandsvariablen, die Werte aus einer Domäne (auch bekannt als Zustandsraum) annehmen können, wobei ein Zustandswert als ein Satz betrachtet werden kann, der wahr oder falsch sein kann. Eine binomische Meinung gilt für eine binäre Zustandsvariable und kann als Beta-PDF (Probability Density Function) dargestellt werden. Eine multinomiale Meinung gilt für eine Zustandsvariable mit mehreren möglichen Werten und kann als Dirichlet-PDF (Probability Density Function) dargestellt werden. Durch die Entsprechung zwischen Meinungen und Beta / Dirichlet-Verteilungen liefert die subjektive Logik eine Algebra für diese Funktionen. Meinungen beziehen sich auch auf die Glaubensrepräsentation in der Dempster-Shafer-Glaubenstheorie .

Ein grundlegender Aspekt des menschlichen Zustands ist, dass niemand jemals mit absoluter Sicherheit feststellen kann, ob ein Satz über die Welt wahr oder falsch ist. Wenn die Wahrheit eines Satzes zum Ausdruck gebracht wird, wird dies immer von einem Individuum getan, und es kann niemals davon ausgegangen werden, dass es sich um einen allgemeinen und objektiven Glauben handelt. Diese philosophischen Ideen spiegeln sich direkt im mathematischen Formalismus der subjektiven Logik wider.

Subjektive Meinungen

Subjektive Meinungen drücken subjektive Überzeugungen über die Wahrheit staatlicher Werte / Sätze mit einem Grad an epistemischer Unsicherheit aus und können bei Bedarf explizit die Quelle des Glaubens angeben. Eine Stellungnahme wird in der Regel bezeichnet als wo ist die Quelle der Meinung, und ist die Zustandsgröße , auf die die Meinung gilt. Die Variable kann Werte aus einer Domäne (auch als Zustandsraum bezeichnet) annehmen, z . B. bezeichnet als . Es wird angenommen, dass die Werte einer Domäne vollständig und voneinander getrennt sind, und es wird angenommen, dass Quellen eine gemeinsame semantische Interpretation einer Domäne haben. Die Quelle und die Variable sind Attribute einer Meinung. Die Angabe der Quelle kann weggelassen werden, wenn dies irrelevant ist. ${\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {A}}$${\ displaystyle A \, \!}$${\ displaystyle X \, \!}$${\ displaystyle X \, \!}$${\ displaystyle \ mathbb {X}}$

Binomiale Meinungen

Sei ein Zustandswert in einer Binärdomäne. Eine binomische Meinung über die Wahrheit des Zustandswertes ist das geordnete Vierfache, wobei: ${\ displaystyle x \, \!}$${\ displaystyle x \, \!}$${\ displaystyle \ omega _ {x} = (b_ {x}, d_ {x}, u_ {x}, a_ {x}) \, \!}$

${\ displaystyle b_ {x} \, \!}$ : Glaubensmasse	ist der Glaube, der wahr ist. ${\ displaystyle x \, \!}$
${\ displaystyle d_ {x} \, \!}$ : Unglaubensmasse	ist der Glaube, der falsch ist. ${\ displaystyle x \, \!}$
${\ displaystyle u_ {x} \, \!}$ : Unsicherheitsmasse	ist die Menge an unverbindlichem Glauben, die auch als epistemische Unsicherheit interpretiert wird .
${\ displaystyle a_ {x} \, \!}$ : Basisgebühr	ist die vorherige Wahrscheinlichkeit in Abwesenheit von Glauben oder Unglauben.

Diese Komponenten erfüllen und . Die Merkmale verschiedener Meinungsklassen sind nachstehend aufgeführt. ${\ displaystyle b_ {x} + d_ {x} + u_ {x} = 1 \, \!}$${\ displaystyle b_ {x}, d_ {x}, u_ {x}, a_ {x} \ in [0,1] \, \!}$

Eine Meinung	wo ${\ displaystyle b_ {x} = 1 \, \!}$	ist eine absolute Meinung, die Boolean TRUE entspricht,
	wo ${\ displaystyle d_ {x} = 1 \, \!}$	ist eine absolute Meinung, die Boolean FALSE entspricht,
	wo ${\ displaystyle b_ {x} + d_ {x} = 1 \, \!}$	ist eine dogmatische Meinung, die einer traditionellen Wahrscheinlichkeit entspricht,
	wo ${\ displaystyle b_ {x} + d_ {x} <1 \, \!}$	ist eine unsichere Meinung, die Grade epistemischer Unsicherheit ausdrückt , und
	wo ${\ displaystyle b_ {x} + d_ {x} = 0 \, \!}$	ist eine leere Meinung, die völlige epistemische Unsicherheit oder völlige Leere des Glaubens ausdrückt .

Die projizierte Wahrscheinlichkeit einer binomialen Meinung ist definiert als . ${\ displaystyle \ mathrm {P} _ {x} = b_ {x} + a_ {x} u_ {x} \, \!}$

Binomiale Meinungen können wie unten gezeigt in einem gleichseitigen Dreieck dargestellt werden. Ein Punkt innerhalb des Dreiecks repräsentiert ein Tripel. Die b- , d- , u- Achsen verlaufen von einer Kante zum gegenüberliegenden Scheitelpunkt, der durch das Etikett Glaube, Unglaube oder Unsicherheit angegeben ist. Eine stark positive Meinung wird beispielsweise durch einen Punkt in Richtung des unteren rechten Glaubensscheitelpunkts dargestellt. Die Basisrate, auch als vorherige Wahrscheinlichkeit bezeichnet, wird als roter Zeiger entlang der Basislinie angezeigt, und die projizierte Wahrscheinlichkeit wird gebildet, indem die Meinung parallel zur Basisratenprojektorlinie auf die Basis projiziert wird. Meinungen zu drei Werten / Aussagen X, Y und Z werden im Dreieck links und ihre entsprechenden Beta-PDFs (Probability Density Functions) in den Diagrammen rechts angezeigt. Die numerischen Werte und verbalen qualitativen Beschreibungen jeder Meinung werden ebenfalls angezeigt. ${\ displaystyle (b_ {x}, d_ {x}, u_ {x}) \, \!}$${\ displaystyle \ mathrm {P} _ {x} \, \!}$

Das Beta-PDF wird normalerweise als wo bezeichnet und sind seine beiden Stärkeparameter. Das Beta-PDF einer binomialen Meinung ist die Funktion, bei der das nicht informative vorherige Gewicht, auch als Beweiseinheit bezeichnet, normalerweise festgelegt wird . ${\ displaystyle \ mathrm {Beta} (p (x); \ alpha, \ beta) \, \!}$${\ displaystyle \ alpha \, \!}$${\ displaystyle \ beta \, \!}$${\ displaystyle \ omega _ {x} = (b_ {x}, d_ {x}, u_ {x}, a_ {x}) \, \!}$${\ displaystyle \ mathrm {Beta} (p (x); \ alpha, \ beta) {\ mbox {where}} {\ begin {case} \ alpha & = {\ frac {Wb_ {x}} {u_ {x }}} + Wa_ {x} \\\ beta & = {\ frac {Wd_ {x}} {u_ {x}}} + W (1-a_ {x}) \ end {case}} \, \! }}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle W = 2}$

Multinomiale Meinungen

Sei eine Zustandsvariable, die Zustandswerte annehmen kann . Eine multinomiale Meinung über ist das zusammengesetzte Tupel , wobei eine Glaubensmassenverteilung über die möglichen Zustandswerte von , die Unsicherheitsmasse und die vorherige (Basisraten-) Wahrscheinlichkeitsverteilung über die möglichen Zustandswerte von ist . Diese Parameter erfüllen und sowie . ${\ displaystyle X \, \!}$${\ displaystyle x \ in \ mathbb {X} \, \!}$${\ displaystyle X \, \!}$${\ displaystyle \ omega _ {X} = (b_ {X}, u_ {X}, a_ {X}) \, \!}$${\ displaystyle b_ {X} \, \!}$${\ displaystyle X \, \!}$${\ displaystyle u_ {X} \, \!}$${\ displaystyle a_ {X} \, \!}$${\ displaystyle X \, \!}$${\ displaystyle u_ {X} + \ sum b_ {X} (x) = 1 \, \!}$${\ displaystyle \ sum a_ {X} (x) = 1 \, \!}$${\ displaystyle b_ {X} (x), u_ {X}, a_ {X} (x) \ in [0,1] \, \!}$

Trinomial-Meinungen können einfach als Punkte innerhalb eines Tetraeders visualisiert werden , aber Meinungen mit Dimensionen, die größer als Trinomial sind, eignen sich nicht für eine einfache Visualisierung.

Dirichlet PDFs werden normalerweise bezeichnet als wo eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Zustandswerte , und sind die Festigkeitsparameter. Das Dirichlet-PDF einer multinomialen Stellungnahme ist die Funktion, bei der die Festigkeitsparameter durch gegeben sind , wobei das nicht informative vorherige Gewicht, auch als Beweiseinheit bezeichnet, normalerweise eingestellt ist . ${\ displaystyle \ mathrm {Dir} (p_ {X}; \ alpha _ {X}) \, \!}$${\ displaystyle p_ {X} \, \!}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ alpha _ {X} \, \!}$${\ displaystyle \ omega _ {X} = (b_ {X}, u_ {X}, a_ {X}) \, \!}$${\ displaystyle \ mathrm {Dir} (p_ {X}; \ alpha _ {X})}$${\ displaystyle \ alpha _ {X} (x) = {\ frac {Wb_ {X} (x)} {u_ {X}}} + Wa_ {X} (x) \, \!}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle W = 2}$

Betreiber

Die meisten Operatoren in der folgenden Tabelle sind Verallgemeinerungen von binären Logik- und Wahrscheinlichkeitsoperatoren. Zum Beispiel ist Addition einfach eine Verallgemeinerung der Addition von Wahrscheinlichkeiten. Einige Operatoren sind nur für die Kombination von binomialen Meinungen von Bedeutung, andere gelten auch für multinomiale Meinungen. Die meisten Operatoren sind binär, aber das Komplement ist unär und die Abduktion ternär. In den referenzierten Veröffentlichungen finden Sie mathematische Details zu den einzelnen Operatoren.

Subjektive Logikoperatoren, Notationen und entsprechende aussagekräftige / binäre Logikoperatoren

Subjektiver Logikoperator	Operator-Notation	Propositional / Binary Logic Operator
Zusatz	${\ displaystyle \ omega _ {x \ cup y} ^ {A} = \ omega _ {x} ^ {A} + \ omega _ {y} ^ {A} \, \!}$	Union
Subtraktion	${\ displaystyle \ omega _ {x \ backslash y} ^ {A} = \ omega _ {x} ^ {A} - \ omega _ {y} ^ {A} \, \!}$	Unterschied
Multiplikation	${\ displaystyle \ omega _ {x \ land y} ^ {A} = \ omega _ {x} ^ {A} \ cdot \ omega _ {y} ^ {A} \, \!}$	Konjunktion / UND
Teilung	${\ displaystyle \ omega _ {x {\ overline {\ land}} y} ^ {A} = \ omega _ {x} ^ {A} / \ omega _ {y} ^ {A} \, \!}$	Unconjunction / UN-AND
Comultiplication	${\ displaystyle \ omega _ {x \ lor y} ^ {A} = \ omega _ {x} ^ {A} \ sqcup \ omega _ {y} ^ {A} \, \!}$	Disjunktion / ODER
Codivision	${\ displaystyle \ omega _ {x {\ overline {\ lor}} y} ^ {A} = \ omega _ {x} ^ {A} \; {\ overline {\ sqcup}} \; \ omega _ {y } ^ {A} \, \!}$	Undisjunktion / UN-OR
Ergänzen	${\ displaystyle \ omega _ {\ overline {x}} ^ {A} \; \; = \ lnot \ omega _ {x} ^ {A} \, \!}$	NICHT
Abzug	${\ displaystyle \ omega _ {Y \ | X} ^ {A} = \ omega _ {Y | X} ^ {A} \ circledcirc \ omega _ {X} ^ {A} \, \!}$	Modus ponens
Subjektiver Bayes-Satz	${\ displaystyle \ omega _ {X {\ tilde {|}} Y} ^ {A} = \ omega _ {Y | X} ^ {A} \; {\ widetilde {\ phi \,}} \; a_ { X} \, \!}$	Widerspruch
Entführung	${\ displaystyle \ omega _ {X {\ widetilde {\ |}} Y} ^ {A} = \ omega _ {Y | X} ^ {A} \; {\ widetilde {\ circledcirc}} \; (a_ { X}, \ omega _ {Y} ^ {A}) \, \!}$	Modus tollens
Transitivität / Diskontierung	${\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {A; B} = \ omega _ {B} ^ {A} \ otimes \ omega _ {X} ^ {B} \, \!}$	n / a
Kumulative Fusion	${\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {A \ diamant B} = \ omega _ {X} ^ {A} \ oplus \ omega _ {X} ^ {B} \, \!}$	n / a
Constraint Fusion	${\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {A \ & B} = \ omega _ {X} ^ {A} \; \ odot \; \ omega _ {X} ^ {B} \, \!}$	n / a

Die Kombination aus transitiven Quellen kann in kompakter oder erweiterter Form angegeben werden. Beispielsweise kann der transitive Vertrauenspfad von Analyst / Quelle über Quelle zur Variablen als kompakte Form oder als erweiterte Form bezeichnet werden. Hier drückt sich aus, dass es ein gewisses Vertrauen / Misstrauen in der Quelle gibt , während es ausdrückt, dass es eine Meinung über den Zustand der Variablen hat, die als Ratschlag gegeben wird . Die erweiterte Form ist die allgemeinste und entspricht direkt der Art und Weise, wie subjektive logische Ausdrücke mit Operatoren gebildet werden. ${\ displaystyle A \, \!}$${\ displaystyle B \, \!}$${\ displaystyle X \, \!}$${\ displaystyle [A; B, X] \, \!}$${\ displaystyle [A; B]: [B, X] \, \!}$${\ displaystyle [A; B] \, \!}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle [B, X] \, \!}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A}$

Eigenschaften

Wenn die Argumentmeinungen Boolean TRUE oder FALSE entsprechen, ist das Ergebnis eines subjektiven Logikoperators immer gleich dem des entsprechenden aussagekräftigen / binären Logikoperators. In ähnlicher Weise ist das Ergebnis eines subjektiven Logikoperators immer gleich dem des entsprechenden Wahrscheinlichkeitsoperators (sofern vorhanden), wenn die Argumentationsmeinungen den traditionellen Wahrscheinlichkeiten entsprechen.

Falls die Argumentationsmeinungen Unsicherheitsgrade enthalten, werden die Operatoren, die Multiplikation und Division beinhalten (einschließlich Deduktion, Abduktion und Bayes-Theorem), abgeleitete Meinungen erstellen, die immer die richtige projizierte Wahrscheinlichkeit haben, aber möglicherweise mit ungefährer Varianz, wenn sie als Beta / Dirichlet-PDFs betrachtet werden. Alle anderen Operatoren erstellen Meinungen, bei denen die projizierten Wahrscheinlichkeiten und die Varianz immer analytisch korrekt sind.

Verschiedene Logikformeln, die traditionell in der Aussagenlogik gleichwertig sind, haben nicht unbedingt die gleiche Meinung. Zum Beispiel im Allgemeinen, obwohl die Verteilbarkeit der Konjunktion über die Disjunktion, ausgedrückt als , in der binären Aussagenlogik gilt. Dies ist keine Überraschung, da die entsprechenden Wahrscheinlichkeitsoperatoren ebenfalls nicht verteilend sind. Die Multiplikation ist jedoch über die Addition verteilt, wie durch ausgedrückt . De Morgans Gesetze werden auch erfüllt, wie z . ${\ displaystyle \ omega _ {x \ land (y \ lor z)} \ neq \ omega _ {(x \ land y) \ lor (x \ land z)} \, \!}$${\ displaystyle x \ land (y \ lor z) \ Leftrightarrow (x \ land y) \ lor (x \ land z) \, \!}$${\ displaystyle \ omega _ {x \ land (y \ cup z)} = \ omega _ {(x \ land y) \ cup (x \ land z)} \, \!}$${\ displaystyle \ omega _ {\ overline {x \ land y}} = \ omega _ {{\ overline {x}} \ lor {\ overline {y}}} \, \!}$

Die subjektive Logik ermöglicht eine sehr effiziente Berechnung mathematisch komplexer Modelle. Dies ist durch Annäherung der analytisch korrekten Funktionen möglich. Während es relativ einfach ist, zwei Beta-PDFs in Form eines gemeinsamen Beta-PDFs analytisch zu multiplizieren , wird alles, was komplexer ist, schnell unlösbar. Wenn Sie zwei Beta-PDFs mit einem Operator / Konnektiv kombinieren, ist das Analyseergebnis nicht immer ein Beta-PDF und kann hypergeometrische Serien umfassen . In solchen Fällen nähert sich die subjektive Logik dem Ergebnis immer als eine Meinung an, die einem Beta-PDF entspricht.

Anwendungen

Subjektive Logik ist anwendbar, wenn die zu analysierende Situation durch erhebliche epistemische Unsicherheit aufgrund unvollständigen Wissens gekennzeichnet ist. Auf diese Weise wird die subjektive Logik zu einer probabilistischen Logik für epistemisch-unsichere Wahrscheinlichkeiten. Der Vorteil ist, dass die Unsicherheit während der Analyse erhalten bleibt und in den Ergebnissen explizit angegeben wird, so dass zwischen bestimmten und unsicheren Schlussfolgerungen unterschieden werden kann.

Die Modellierung von Vertrauensnetzwerken und Bayes'schen Netzwerken sind typische Anwendungen subjektiver Logik.

Subjektive Vertrauensnetzwerke

Subjektive Vertrauensnetzwerke können mit einer Kombination aus Transitivitäts- und Fusionsoperatoren modelliert werden. Lassen Sie uns den Empfehlungsvertrauensrand von bis ausdrücken , und lassen Sie den Glaubensvorteil von bis ausdrücken . Ein subjektives Vertrauensnetzwerk kann beispielsweise wie in der folgenden Abbildung dargestellt ausgedrückt werden. ${\ displaystyle [A; B] \, \!}$${\ displaystyle A \, \!}$${\ displaystyle B \, \!}$${\ displaystyle [B, X] \, \!}$${\ displaystyle B \, \!}$${\ displaystyle X \, \!}$${\ Anzeigestil ([A; B]: [B, X]) \ Diamant ([A; C]: [C, X]) \, \!}$

Die Indizes 1, 2 und 3 geben die chronologische Reihenfolge an, in der die Vertrauenskanten und Hinweise gebildet werden. In Anbetracht der Menge der Vertrauenskanten mit Index 1 erhält der Ursprungs-Vertrauensmann daher Ratschläge von und und kann dadurch den Glauben an Variablen ableiten . Indem jeder Vertrauens- und Glaubensvorteil als Meinung ausgedrückt wird , ist es möglich , den Glauben an ausgedrückt als abzuleiten . ${\ displaystyle A \, \!}$${\ displaystyle B \, \!}$${\ displaystyle C \, \!}$${\ displaystyle X \, \!}$${\ displaystyle A \, \!}$${\ displaystyle X \, \!}$${\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {A} = \ omega _ {X} ^ {[A; B] \ diamant [A; C]} = (\ omega _ {B} ^ {A} \ otimes \ Omega _ {X} ^ {B}) \ oplus (\ Omega _ {C} ^ {A} \ otimes \ Omega _ {X} ^ {C}) \, \!}$

Vertrauensnetzwerke können die Zuverlässigkeit von Informationsquellen ausdrücken und dazu verwendet werden, subjektive Meinungen zu Variablen zu ermitteln, über die die Quellen Informationen bereitstellen.

Die evidenzbasierte subjektive Logik ( EBSL ) beschreibt eine alternative Vertrauensnetzwerkberechnung, bei der die Transitivität von Meinungen (Diskontierung) durch Gewichtung der den Meinungen zugrunde liegenden Evidenz behandelt wird.

Subjektive Bayes'sche Netzwerke

Im Bayes'schen Netzwerk unten und sind übergeordnete Variablen und ist die untergeordnete Variable. Der Analyst muss die Menge der gemeinsamen bedingten Meinungen lernen , um den Abzugsoperator anzuwenden und die marginale Meinung zu der Variablen abzuleiten . Die bedingten Meinungen drücken eine bedingte Beziehung zwischen den übergeordneten Variablen und der untergeordneten Variablen aus. ${\ displaystyle X \, \!}$${\ displaystyle Y \, \!}$${\ displaystyle Z \, \!}$${\ displaystyle \ omega _ {Z | XY}}$${\ displaystyle \ omega _ {Z \ | XY}}$${\ displaystyle Z}$

Die abgeleitete Meinung wird berechnet als . Das gemeinsame Beweisgutachten kann als Produkt unabhängiger Beweismittelgutachten zu und oder als gemeinsames Produkt teilweise abhängiger Beweismittelgutachten berechnet werden . ${\ displaystyle \ omega _ {Z \ | XY} = \ omega _ {Z | XY} \ circledcirc \ omega _ {XY}}$${\ displaystyle \ omega _ {XY}}$${\ displaystyle X \, \!}$${\ displaystyle Y \, \!}$

Subjektive Netzwerke

Die Kombination eines subjektiven Vertrauensnetzwerks und eines subjektiven Bayes'schen Netzwerks ist ein subjektives Netzwerk. Das subjektive Vertrauensnetzwerk kann verwendet werden, um aus verschiedenen Quellen die Meinungen zu erhalten, die als Eingangsmeinungen für das subjektive Bayes'sche Netzwerk verwendet werden sollen, wie in der folgenden Abbildung dargestellt.

Herkömmliche Bayes'sche Netzwerke berücksichtigen normalerweise nicht die Zuverlässigkeit der Quellen. In subjektiven Netzwerken wird das Vertrauen in Quellen explizit berücksichtigt.

Verweise

Externe Links

• Subjektive Logik von Audun Jøsang
• Experimentelles Logik-Experimentier-Framework basierend auf subjektiven Logik-Operatoren bei der Vertrauensbewertung: Eine empirische Studie von F. Cerutti, LM Kaplan, TJ Norman, N. Oren und A. Toniolo