Triviale Darstellung - Trivial representation
Im mathematischen Bereich der Darstellungstheorie ist eine triviale Darstellung eine Darstellung ( V , φ ) einer Gruppe G, auf der alle Elemente von G als Identitätsabbildung von V wirken . Eine triviale Darstellung einer assoziativen oder Lie-Algebra ist eine ( Lie- ) Algebra-Darstellung, bei der alle Elemente der Algebra als lineare Nullkarte ( Endomorphismus ) fungieren, die jedes Element von V an den Nullvektor sendet .
Für jede Gruppe oder Lie-Algebra existiert immer eine irreduzible triviale Repräsentation über jedes Feld und ist eindimensional, daher bis zum Isomorphismus einzigartig. Gleiches gilt für assoziative Algebren, es sei denn, man beschränkt die Aufmerksamkeit auf unitale Algebren und unitale Darstellungen.
Obwohl die triviale Darstellung so konstruiert ist, dass ihre Eigenschaften tautolog erscheinen, ist sie ein grundlegendes Objekt der Theorie. Eine Unterrepräsentation entspricht beispielsweise einer trivialen Repräsentation, wenn sie aus invarianten Vektoren besteht. Die Suche nach solchen Unterrepräsentationen ist also das ganze Thema der invarianten Theorie .
Das triviale Zeichen ist das Zeichen , das für alle Gruppenelemente den Wert Eins annimmt.
Verweise
- Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Darstellungstheorie. Ein erster Kurs . Diplom-Texte in Mathematik , Lesungen in Mathematik. 129 . New York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . MR 1153249 . OCLC 246650103 . .
