Irreduzible Darstellung - Irreducible representation

Algebraische Struktur → Gruppentheorie Gruppentheorie
Grundbegriffe Untergruppe Normale Untergruppe Quotientengruppe (Halb-) Direktprodukt Gruppenhomomorphismen Kernel Bild direkte Summe Kranzprodukt einfach endlich unendlich kontinuierlich multiplikativ Zusatzstoff zyklisch abelian V-förmig nilpotent lösbar Handlung Glossar der Gruppentheorie Liste der gruppentheoretischen Themen
Endliche Gruppen Klassifikation endlicher einfacher Gruppen zyklisch abwechselnd Lügentyp sporadisch Satz von Cauchy Satz von Lagrange Sylow-Theoreme Halls Theorem p-Gruppe Elementare abelsche Gruppe Frobenius-Gruppe Schur-Multiplikator Symmetrische Gruppe S n Klein Vierergruppe V Diedergruppe D n Quaternionengruppe Q Dicyclische Gruppe Dic n
Diskrete Gruppen Gitter Ganzzahlen ( )${\displaystyle \mathbb{Z}}$ Kostenlose Gruppe Modulare Gruppen PSL(2, )${\displaystyle \mathbb{Z}}$ SL(2, )${\displaystyle \mathbb{Z}}$ Arithmetische Gruppe Gitter Hyperbolische Gruppe
Topologische und Lie-Gruppen Magnet Kreis Allgemeine lineare GL( n ) Spezielle lineare SL( n ) Orthogonal O( n ) Euklidisches E( n ) Spezielles orthogonales SO( n ) Einheitliches U( n ) Spezielle einheitliche SU( n ) Symplektische Sp( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré konform Diffeomorphismus Schleife Unendlich dimensionale Lügengruppe O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraische Gruppen Lineare algebraische Gruppe Reduktionsgruppe Abelische Vielfalt Elliptische Kurve
v T e

In der Mathematik , insbesondere in der Darstellungstheorie von Gruppen und Algebren , ist eine irreduzible Darstellung oder irrep einer algebraischen Struktur eine Darstellung ungleich Null, die keine echte nichttriviale Unterdarstellung hat , mit geschlossen unter der Wirkung von . ${\displaystyle (\rho,V)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (\rho |_{W},W)}$${\displaystyle W\Teilmenge V}$${\displaystyle \{\rho(a):a\in A\}}$

Jede endlichdimensionale unitäre Darstellung auf einem Hilbertraum ist die direkte Summe irreduzibler Darstellungen. Irreduzible Darstellungen sind immer unzerlegbar (dh können nicht weiter in eine direkte Summe von Darstellungen zerlegt werden), aber umgekehrt gilt möglicherweise nicht, zB ist die zweidimensionale Darstellung der reellen Zahlen, die durch obere dreieckige unipotente Matrizen wirken, unzerlegbar, aber reduzierbar. ${\displaystyle V}$

Geschichte

Die Gruppendarstellungstheorie wurde von Richard Brauer in den 1940er Jahren verallgemeinert , um eine modulare Darstellungstheorie zu geben , in der die Matrixoperatoren auf einen Vektorraum über einem Körper beliebiger Charakteristik und nicht auf einen Vektorraum über dem Körper der reellen Zahlen oder über dem Körper von . wirken komplexe Zahlen . Die zu einer irreduziblen Darstellung analoge Struktur in der resultierenden Theorie ist ein einfaches Modul . ${\displaystyle K}$

Überblick

Sei eine Darstellung, dh ein Homomorphismus einer Gruppe, wobei ein Vektorraum über einem Körper ist . Wenn wir eine Basis für wählen , kann man sich als Funktion (ein Homomorphismus) von einer Gruppe in eine Menge invertierbarer Matrizen vorstellen und wird in diesem Zusammenhang als Matrixdarstellung bezeichnet . Es vereinfacht die Dinge jedoch sehr, wenn wir an den Raum ohne Grundlage denken . ${\displaystyle \rho}$ ${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle B}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle V}$

Ein linearer Unterraum heißt -invariant, wenn für alle und alle . Die Korrestriktion von auf die allgemeine lineare Gruppe eines -invarianten Unterraums wird als Unterdarstellung bezeichnet . Eine Darstellung heißt irreduzibel, wenn sie nur triviale Unterdarstellungen hat (alle Darstellungen können mit den trivial- invarianten Unterräumen, zB dem ganzen Vektorraum , und {0} eine Unterdarstellung bilden ). Wenn es einen echten nichttrivialen invarianten Unterraum gibt, heißt reduzierbar . ${\displaystyle W\Teilmenge V}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho (g)w\in W}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle w\in W}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle G}$${\displaystyle W\Teilmenge V}$${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \rho}$

Notation und Terminologie von Gruppendarstellungen

Gruppenelemente können durch Matrizen repräsentiert werden , obwohl der Begriff "repräsentiert" in diesem Zusammenhang eine spezifische und genaue Bedeutung hat. Eine Darstellung einer Gruppe ist eine Abbildung der Gruppenelemente auf die allgemeine lineare Gruppe von Matrizen. Als Notation seien a , b , c ... Elemente einer Gruppe G mit symbollosem Gruppenprodukt bezeichnet, also ist ab das Gruppenprodukt von a und b und auch ein Element von G , und seien Darstellungen durch D . Die Darstellung von a wird geschrieben

${\displaystyle D(a)={\begin{pmatrix}D(a)_{11}&D(a)_{12}&\cdots &D(a)_{1n}\\D(a)_{21 }&D(a)_{22}&\cdots &D(a)_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\D(a)_{n1}&D(a)_{n2 }&\cdots &D(a)_{nn}\\\end{pmatrix}}}$

Durch die Definition von Gruppendarstellungen wird die Darstellung eines Gruppenprodukts in eine Matrixmultiplikation der Darstellungen übersetzt:

${\displaystyle D(ab)=D(a)D(b)}$

Wenn e das Identitätselement der Gruppe ist (so dass ae = ea = a usw.), dann ist D ( e ) eine Identitätsmatrix , oder identisch eine Blockmatrix von Identitätsmatrizen, da wir haben müssen

${\displaystyle D(ea)=D(ae)=D(a)D(e)=D(e)D(a)=D(a)}$

und analog für alle anderen Gruppenelemente. Die letzten beiden Aussagen entsprechen der Forderung, dass D ein Gruppenhomomorphismus ist .

Reduzierbare und irreduzible Darstellungen

Eine Darstellung ist reduzierbar, wenn sie einen nichttrivialen G-invarianten Unterraum enthält, dh alle Matrizen können durch dieselbe invertierbare Matrix in eine obere Dreiecksblockform gebracht werden . Mit anderen Worten, wenn es eine Ähnlichkeitstransformation gibt: ${\displaystyle D(a)}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P,}$

die jede Matrix in der Darstellung in die gleichen oberen dreieckigen Blöcke des Musters abbildet. Jeder Nebenblock einer geordneten Sequenz ist eine Gruppenunterdarstellung. Das heißt, wenn die Darstellung die Dimension k hat, dann gilt:

${\displaystyle D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(11)}(a)&D^{(12)}(a)\\0&D ^{(22)}(a)\\\end{pmatrix}},}$

wobei eine nichttriviale Unterdarstellung ist. Wenn wir eine Matrix finden , die auch macht , dann ist sie nicht nur reduzierbar, sondern auch zerlegbar. ${\displaystyle D^{(11)}(a)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle D^{(12)}(a)=0}$${\displaystyle D(a)}$

Hinweis: Auch wenn eine Darstellung reduzierbar ist, kann ihre Matrixdarstellung immer noch nicht die obere Dreiecksblockform sein. Diese Form wird es nur haben, wenn wir eine geeignete Basis wählen, die durch Anwendung der obigen Matrix auf die Standardbasis erhalten wird. ${\displaystyle P^{-1}}$

Zerlegbare und unzerlegbare Darstellungen

Eine Darstellung ist zerlegbar, wenn alle Matrizen durch dieselbe invertierbare Matrix in eine Blockdiagonalform gebracht werden können . Mit anderen Worten, wenn es eine Ähnlichkeitstransformation gibt : ${\displaystyle D(a)}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P,}$

die diagonalisiert jede Matrix in der Darstellung in das gleiche Muster von diagonalen Blöcken . Jeder dieser Blöcke ist dann eine von den anderen unabhängige Gruppenunterdarstellung. Die Darstellungen D ( a ) und D′ ( a ) heißen äquivalente Darstellungen . Die Darstellung lässt sich in eine direkte Summe von k > 1 Matrizen zerlegen :

${\displaystyle D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(1)}(a)&0&\cdots &0\\0&D^{(2)} (a)&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &D^{(k)}(a)\\\end{pmatrix}}=D^{(1) }(a)\oplus D^{(2)}(a)\oplus\cdots \oplus D^{(k)}(a),}$

so D ( a ) ist zersetzbar , und es ist üblich , die zerlegt Matrizen durch ein hochgestelltes in Klammern kennzeichnen, wie in D ^{( n )} ( a ) für n = 1, 2, ..., k , obwohl einige Autoren nur Schreib das numerische Label ohne Klammern.

Die Dimension von D ( a ) ist die Summe der Dimensionen der Blöcke:

${\displaystyle \dim[D(a)]=\dim[D^{(1)}(a)]+\dim[D^{(2)}(a)]+\cdots +\dim[D^ {(k)}(a)].}$

Ist dies nicht möglich, dh k = 1 , dann ist die Darstellung unzerlegbar.

Hinweis : Auch wenn eine Darstellung zerlegbar ist, hat ihre Matrixdarstellung möglicherweise nicht die diagonale Blockform. Diese Form wird es nur haben, wenn wir eine geeignete Basis wählen, die durch Anwendung der obigen Matrix auf die Standardbasis erhalten wird. ${\displaystyle P^{-1}}$

Zusammenhang zwischen irreduzibler Darstellung und zerlegbarer Darstellung

Eine irreduzible Darstellung ist von Natur aus eine unzerlegbare. Die Umkehrung kann jedoch fehlschlagen.

Aber unter bestimmten Bedingungen haben wir eine unzerlegbare Darstellung, die eine irreduzible Darstellung ist.

• Wenn group endlich ist und eine Darstellung über Feld hat , dann ist eine unzerlegbare Darstellung eine irreduzible Darstellung.${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb{C}}$
• Wenn die Gruppe endlich ist und eine Darstellung über dem Körper hat , dann ist eine unzerlegbare Darstellung eine irreduzible Darstellung.${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$${\displaystyle char(K)\nmid |G|}$

Beispiele für irreduzible Darstellungen

Triviale Darstellung

Alle Gruppen haben eine eindimensionale, irreduzible triviale Darstellung. ${\displaystyle G}$

Eindimensionale Darstellung

Jede eindimensionale Darstellung ist von Natur aus irreduzibel, da sie keine echten nichttrivialen Unterräume hat.

Irreduzible komplexe Darstellungen

Die irreduziblen komplexen Darstellungen einer endlichen Gruppe G lassen sich mit Ergebnissen aus der Charaktertheorie charakterisieren . Insbesondere zerfallen alle diese Darstellungen als direkte Summe von irreps, und die Anzahl der irreps von ist gleich der Anzahl der Konjugationsklassen von . ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

• Die irreduzible komplexe Darstellungen werden exakt nach den Karten gegeben , wo ein th Einheitswurzel .${\displaystyle \mathbb{Z} /n\mathbb{Z}}$${\displaystyle 1\mapsto\gamma}$${\displaystyle\gamma}$${\displaystyle n}$
• Sei eine -dimensionale komplexe Darstellung von mit basis . Zerlegt sich dann als direkte Summe der irreps${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \{v_{i}\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle V}$
  $${\displaystyle V_{\text{triv}}=\mathbb{C} \left(\sum_{i=1}^{n}v_{i}\right)}$$

  
  und der orthogonale Unterraum gegeben durch
  $${\displaystyle V_{\text{std}}=\left\{\sum_{i=1}^{n}a_{i}v_{i}:a_{i}\in \mathbb{C},\ Summe _{i=1}^{n}a_{i}=0\right\}.}$$

  
  Die erstere irrep ist eindimensional und isomorph zur trivialen Darstellung von . Letzteres ist dimensional und wird als Standarddarstellung von bezeichnet .${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle S_{n}}$
• Lass eine Gruppe sein. Die reguläre Darstellung von ist der freie komplexe Vektorraum auf der Grundlage der Gruppenaktion , bezeichnet alle irreduziblen Darstellungen erscheinen in der Zersetzung als direkte Summe von irreps.${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \{e_{g}\}_{g\in G}}$${\displaystyle g\cdot e_{g'}=e_{gg'}}$${\displaystyle \mathbb{C} G.}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb{C} G}$

Beispiel für eine irreduzible Darstellung über ${\displaystyle \mathbb{F}_{p}}$

• Sei eine Gruppe und eine endlichdimensionale irreduzible Darstellung von G over . Nach dem Orbit-Stabilisator-Theorem hat die Bahn jedes Elements, das von der Gruppe beeinflusst wird, eine Größe von Potenz von . Da die Größe all dieser Umlaufbahnen zusammen die Größe von ergibt und in einer Umlaufbahn der Größe 1 nur sich selbst enthält, müssen andere Umlaufbahnen der Größe 1 vorhanden sein, damit die Summe übereinstimmt. Das heißt, es gibt einige solche, die für alle . Dies zwingt jede irreduzible Darstellung einer Gruppe dazu, eindimensional zu sein.${\displaystyle G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle V=\mathbb{F}_{p}^{n}}$${\displaystyle \mathbb{F}_{p}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle p}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle G}$${\displaystyle 0\in V}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle gv=v}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb{F}_{p}}$

Anwendungen in Theoretischer Physik und Chemie

In der Quantenphysik und Quantenchemie umfasst jeder Satz entarteter Eigenzustände des Hamilton-Operators einen Vektorraum V für eine Darstellung der Symmetriegruppe des Hamilton-Operators, ein "Multiplet", das am besten durch Reduktion auf seine irreduziblen Teile untersucht wird. Die Identifizierung der irreduziblen Darstellungen ermöglicht es daher, die Zustände zu benennen und vorherzusagen, wie sie sich unter Störungen aufspalten ; oder Übergang zu anderen Zuständen in V . So kennzeichnen in der Quantenmechanik irreduzible Darstellungen der Symmetriegruppe des Systems die Energieniveaus des Systems teilweise oder vollständig, wodurch die Auswahlregeln bestimmt werden können.

Lügengruppen

Lorentz-Gruppe

Die Irreps von D ( K ) und D ( J ) , wobei J der Generator von Rotationen und K der Generator von Boosts ist, können verwendet werden, um Spindarstellungen der Lorentz-Gruppe aufzubauen, da sie mit den Spinmatrizen von Quanten verwandt sind Mechanik. Dies erlaubt ihnen, relativistische Wellengleichungen abzuleiten .

Siehe auch

Assoziative Algebren

• Einfaches Modul
• Unzersetzbares Modul
• Darstellung einer assoziativen Algebra

Lügengruppen

• Darstellungstheorie von Lie-Algebren
• Darstellungstheorie von SU(2)
• Darstellungstheorie von SL2(R)
• Darstellungstheorie der Galileischen Gruppe
• Darstellungstheorie von Diffeomorphismusgruppen
• Darstellungstheorie der Poincaré-Gruppe
• Satz vom höchsten Gewicht

Verweise

Bücher

• H. Weyl (1950). Gruppentheorie und Quantenmechanik . Courier Dover Veröffentlichungen. P. 203 . ISBN 978-0-486-60269-1. magnetische Momente in der relativistischen Quantenmechanik.
• PR-Bunker; Per Jensen (2004). Grundlagen der molekularen Symmetrie . CRC-Presse. ISBN 0-7503-0941-5.[1]
• AD-Vorstandsmitglied; DE O'Conner; PA Young (1973). Symmetrie und ihre Anwendungen in der Wissenschaft . McGraw-Hügel. ISBN 978-0-07-084011-9.
• V. Heine (2007). Gruppentheorie in der Quantenmechanik: eine Einführung in ihre gegenwärtige Verwendung . Dover. ISBN 978-0-07-084011-9.
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Artikel

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Weiterlesen

• Artin, Michael (1999). "Nichtkommutative Ringe" (PDF) . Kapitel V.

Externe Links

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• Finley. "Einige Anmerkungen zu jungen Tableaux als nützlich für Irreps von su(n)" (PDF) .
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• Maciejko, Joseph (2007). "Vertretungen der Lorentz- und Poincaré-Gruppen" (PDF) .
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• Drake, Kyle; Feinberg, Michael; Gilde, David; Turetsky, Emma (2009). "Darstellungen der Symmetriegruppe der Raumzeit" (PDF) .
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• "McGraw-Hill Wörterbuch der wissenschaftlichen und technischen Begriffe" .