Tsallis-Entropie - Tsallis entropy

In der Physik ist die Tsallis-Entropie eine Verallgemeinerung der Standard- Boltzmann-Gibbs-Entropie .

Überblick

Das Konzept wurde 1988 von Constantino Tsallis als Grundlage für die Verallgemeinerung der statistischen Standardmechanik eingeführt und ist formal identisch mit der strukturellen α-Entropie von Havrda-Charvát , die 1967 in die Informationstheorie eingeführt wurde . In der wissenschaftlichen Literatur wird die physikalische Relevanz der Tsallis-Entropie diskutiert. Ab den Jahren 2000 wurde jedoch ein immer breiteres Spektrum natürlicher, künstlicher und sozialer komplexer Systeme identifiziert, die die Vorhersagen und Konsequenzen, die sich aus dieser nichtadditiven Entropie ableiten, bestätigen, wie etwa die nicht umfangreiche statistische Mechanik, die die Boltzmann-Gibbs-Theorie verallgemeinert .

Unter den verschiedenen experimentellen Nachweisen und Anwendungen, die derzeit in der Literatur verfügbar sind, verdienen die folgenden eine besondere Erwähnung:

1. Die Verteilung, die die Bewegung kalter Atome in dissipativen optischen Gittern charakterisiert, wurde 2003 vorhergesagt und 2006 beobachtet.
2. Die Schwankungen des Magnetfeldes im Sonnenwind ermöglichten die Berechnung des q-Tripletts (oder Tsallis-Tripletts).
3. Die Geschwindigkeitsverteilungen in einem angetriebenen dissipativen staubigen Plasma.
4. Entspannung im Glas schleudern.
5. Eingefangenes Ion wechselwirkt mit einem klassischen Puffergas .
6. Hochenergie-Kollisionsexperimente am LHC/CERN (CMS-, ATLAS- und ALICE-Detektoren) und RHIC/Brookhaven (STAR- und PHENIX-Detektoren).

Unter den verschiedenen verfügbaren theoretischen Ergebnissen, die die physikalischen Bedingungen klären, unter denen die Tsallis-Entropie und die zugehörige Statistik gelten, können die folgenden ausgewählt werden:

1. Anomale Diffusion .
2. Eindeutigkeitssatz .
3. Empfindlichkeit gegenüber Anfangsbedingungen und Entropieproduktion am Rande des Chaos.
4. Wahrscheinlichkeitssätze , die die nichtadditive Tsallis-Entropie im thermodynamischen Sinne extensiv machen.
5. Stark quantenverschränkte Systeme und Thermodynamik.
6. Thermostatistik der überdämpften Bewegung wechselwirkender Teilchen.
7. Nichtlineare Verallgemeinerungen der Schroedinger-, Klein-Gordon- und Dirac-Gleichungen .
8. Berechnung der Schwarzloch-Entropie.

Für weitere Details ist eine Bibliographie verfügbar unter http://tsallis.cat.cbpf.br/biblio.htm

Bei einer diskreten Menge von Wahrscheinlichkeiten mit der Bedingung und einer beliebigen reellen Zahl ist die Tsallis-Entropie definiert als ${\displaystyle \{p_{i}\}}$${\displaystyle \sum_{i}p_{i}=1}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle S_{q}({p_{i}})={k \over q-1}\left(1-\sum_{i}p_{i}^{q}\right),}$

wo ist ein reeller Parameter, der manchmal als entropischer Index bezeichnet wird, und eine positive Konstante. Im Grenzfall als wird die übliche Boltzmann-Gibbs-Entropie wiederhergestellt, nämlich ${\displaystyle q}$${\displaystyle k}$${\displaystyle q\to 1}$

${\displaystyle S_{BG}=S_{1}(p)=-k\sum_{i}p_{i}\ln p_{i},}$

wobei man sich mit der Boltzmann-Konstante identifiziert . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k_{B}}$

Für stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen definieren wir die Entropie als

${\displaystyle S_{q}[p]={1 \over q-1}\left(1-\int (p(x))^{q}\,dx\right),}$

wo ist eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion . ${\displaystyle p(x)}$

Die Tsallis-Entropie wurde zusammen mit dem Prinzip der maximalen Entropie verwendet , um die Tsallis-Verteilung abzuleiten .

Verschiedene Beziehungen

Die diskrete Tsallis-Entropie erfüllt

${\displaystyle S_{q}=-\lim_{x\rightarrow 1}D_{q}\sum _{i}p_{i}^{x}}$

wobei D _q die q-Ableitung nach x ist . Dies kann mit der Standard-Entropieformel verglichen werden:

${\displaystyle S=-\lim_{x\rightarrow 1}{\frac {d}{dx}}\sum _{i}p_{i}^{x}}$

Nicht-Additiv

Gegeben seien zwei unabhängige Systeme A und B , für die die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte erfüllt

${\displaystyle p(A,B)=p(A)p(B),\,}$

die Tsallis-Entropie dieses Systems erfüllt

${\displaystyle S_{q}(A,B)=S_{q}(A)+S_{q}(B)+(1-q)S_{q}(A)S_{q}(B).\ ,}$

Aus diesem Ergebnis ist ersichtlich, dass der Parameter ein Maß für die Abweichung von der Additivität ist. Im Grenzfall bei q = 1, ${\displaystyle |1-q|}$

${\displaystyle S(A,B)=S(A)+S(B),\,}$

was von einem Additivsystem erwartet wird. Diese Eigenschaft wird manchmal als "Pseudo-Additivität" bezeichnet.

Exponentielle Familien

Viele gängige Verteilungen wie die Normalverteilung gehören zu den statistischen Exponentialfamilien . Die Tsallis-Entropie für eine Exponentialfamilie kann geschrieben werden als

${\displaystyle H_{q}^{T}(p_{F}(x;\theta ))={\frac {1}{1-q}}\left((e^{F(q\theta )- qF(\theta)})E_{p}[e^{(q-1)k(x)}]-1\right)}$

wobei F der Log-Normalisierer ist und k der Term ist, der das Trägermaß angibt. Für multivariate Normale ist der Term k null, und daher liegt die Tsallis-Entropie in geschlossener Form vor.

Generalisierte Entropien

Mehrere interessante physikalische Systeme halten sich an entropische Funktionale , die allgemeiner sind als die Standard-Tsallis-Entropie. Daher wurden mehrere physikalisch sinnvolle Verallgemeinerungen eingeführt. Die beiden allgemeinsten davon sind: Superstatistics, eingeführt von C. Beck und EGD Cohen im Jahr 2003, und Spectral Statistics, eingeführt von GA Tsekouras und Constantino Tsallis im Jahr 2005. Beide entropischen Formen haben Tsallis- und Boltzmann-Gibbs-Statistiken als Spezialfälle; Es wurde nachgewiesen, dass die Spektralstatistik zumindest Superstatistiken enthält, und es wurde vermutet, dass sie auch einige zusätzliche Fälle abdeckt.

Siehe auch

• Rényi-Entropie
• Tsallis-Verteilung

Verweise

Weiterlesen

• Furuichi, Shigeru; Mitroi-Symeonidis, Flavia-Corina; Symeonidis, Eleutherius (2014). „Über einige Eigenschaften von Tsallis Hypoentropien und Hypodivergenzen“ . Entropie . 16 (10): 5377–5399. arXiv : 1410.4903 . Bibcode : 2014Entrp..16.5377F . doi : 10.3390/e16105377 .
• Furuichi, Shigeru; Mitroi, Flavia-Corina (2012). „Mathematische Ungleichungen für einige Divergenzen“. Physica A . 391 (1–2): 388–400. arXiv : 1104.5603 . Bibcode : 2012PhyA..391..388F . doi : 10.1016/j.physa.2011.07.052 . S2CID  92394 .
• Furuichi, Shigeru; Minculete, Nicușor; Mitroi, Flavia-Corina (2012). "Einige Ungleichungen auf verallgemeinerte Entropien" . Zeitschrift für Ungleichheiten und Anwendungen . 2012 : 226. doi : 10.1186/1029-242X-2012-226 .

Externe Links

• Tsallis-Statistik, Statistische Mechanik für nicht-extensive Systeme und weitreichende Wechselwirkungen