Leere Wahrheit - Vacuous truth

In Mathematik und Logik ist eine leere Wahrheit eine bedingte oder universelle Aussage (eine universelle Aussage, die in eine bedingte Aussage umgewandelt werden kann), die wahr ist, weil die Vorgeschichte nicht erfüllt werden kann . Die Aussage „Alle Handys im Raum sind ausgeschaltet“ ist beispielsweise wahr, wenn sich keine Handys im Raum befinden. Die Aussage „alle Handys im Zimmer sind an “ wäre in diesem Fall ebenso sinnlos wie die Konjunktion der beiden: „alle Handys im Zimmer sind ein- und ausgeschaltet“. Aus diesem Grund wird manchmal gesagt, dass eine Aussage leer wahr ist, weil sie nicht wirklich etwas aussagt.

Formaler bezieht sich eine relativ gut definierte Verwendung auf eine bedingte Anweisung (oder eine universelle bedingte Anweisung) mit einem falschen Vorläufer . Ein Beispiel für eine solche Aussage ist "Wenn London in Frankreich liegt , dann ist der Eiffelturm in Bolivien ".

Solche Aussagen werden als leere Wahrheiten betrachtet, weil die Tatsache, dass der Antezedens falsch ist, verhindert, dass die Aussage verwendet wird, um auf den Wahrheitswert der Konsequenz zu schließen . Im Wesentlichen ist eine bedingte Aussage, die auf der materiellen Bedingung basiert, wahr, wenn der Vorsatz ("London liegt in Frankreich" im Beispiel) falsch ist, unabhängig davon, ob die Schlussfolgerung oder die Folge ("der Eiffelturm liegt in Bolivien" in das Beispiel) ist wahr oder falsch, weil die Materialbedingung auf diese Weise definiert ist.

Beispiele, die in der Alltagssprache üblich sind, sind bedingte Phrasen wie "wenn die Hölle zufriert..." und "wenn Schweine fliegen können...", was darauf hinweist, dass der Sprecher nicht bevor die gegebene (unmögliche) Bedingung erfüllt ist, entsprechende (typischerweise falsche) akzeptieren wird oder absurd) Vorschlag.

In der reinen Mathematik sind nichtssagend wahre Aussagen für sich genommen im Allgemeinen nicht von Interesse, aber sie treten häufig als Basisfall von Beweisen durch mathematische Induktion auf . Dieser Begriff ist sowohl in der reinen Mathematik als auch in jedem anderen Gebiet, das klassische Logik verwendet, von Bedeutung .

Außerhalb der Mathematik können Aussagen, die informell als nichtssagend wahr bezeichnet werden können, irreführend sein. Solche Aussagen machen vernünftige Aussagen über qualifizierte Objekte, die tatsächlich nicht existieren . Zum Beispiel könnte ein Kind seinen Eltern sagen: „Ich habe jedes Gemüse auf meinem Teller gegessen“, obwohl es anfangs kein Gemüse auf dem Teller des Kindes war. In diesem Fall können die Eltern glauben, dass das Kind tatsächlich das gesamte Gemüse auf diesem Teller gegessen hat (irreführend), aber dies ist keine Tatsache. Darüber hinaus wird umgangssprachlich oft eine leere Wahrheit mit absurden Aussagen verwendet, um entweder selbstbewusst etwas zu behaupten (z. Sarkasmus, Unglaube, Ungläubigkeit oder Empörung (zB "ja, und ich bin die Königin von England", um einer zuvor gemachten Aussage nicht zuzustimmen).

Geltungsbereich des Konzepts

Eine Aussage ist "völlig wahr", wenn sie einer materiellen bedingten Aussage ähnelt , bei der die Vorgeschichte als falsch bekannt ist. ${\displaystyle S}$${\displaystyle P\Rightarrow Q}$ ${\displaystyle P}$

Leere wahre Aussagen, die ( mit geeigneten Transformationen ) auf diese Grundform (materielle Bedingung) reduziert werden können, umfassen die folgenden allgemein quantifizierten Aussagen:

• ${\displaystyle \forall x:P(x)\Rightarrow Q(x)}$, wo es so ist .${\displaystyle \forall x:\neg P(x)}$
• ${\displaystyle \forall x\in A:Q(x)}$, Wo der Satz ist leer . ${\displaystyle A}$
  • Diese logische Form kann in die materielle Bedingungsform umgewandelt werden, um den
  Vorgänger leicht zu identifizieren . Für das obige Beispiel "alle Handys im Raum sind ausgeschaltet" kann es formal so geschrieben werden, wo sich alle Handys im Raum befinden und wo " ausgeschaltet" ist. Dies kann in eine bedingte materielle Anweisung geschrieben werden, wobei die Menge aller Dinge im Raum ist (einschließlich Mobiltelefonen, falls sie im Raum vorhanden sind), der Vorläufer ist " ist ein Mobiltelefon" und die Folge ist " ist ausgeschaltet " .${\displaystyle \forall x\in A:Q(x)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \forall x\in A:Q(x)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Q(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \forall x\in B:P(x)\Rightarrow Q(x)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Q(x)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \forall \xi :Q(\xi)}$, wobei das Symbol auf einen Typ beschränkt ist , der keine Vertreter hat.${\displaystyle \xi}$

Leere Wahrheiten treten in der klassischen Logik am häufigsten mit zwei Wahrheitswerten auf . Leere Wahrheiten können jedoch auch beispielsweise in der intuitionistischen Logik in den gleichen Situationen wie oben angegeben auftauchen . In der Tat, wenn es falsch ist, dann wird in jeder Logik, die das materielle Bedingte verwendet, eine leere Wahrheit ergeben ; wenn es sich um eine notwendige Falschheit handelt , dann wird sie auch unter der strengen Bedingung eine leere Wahrheit ergeben . ${\displaystyle P}$${\displaystyle P\Rightarrow Q}$${\displaystyle P}$

Andere nicht-klassische Logiken, wie die Relevanzlogik , können versuchen, leere Wahrheiten zu vermeiden, indem alternative Bedingungen verwendet werden (wie im Fall der kontrafaktischen Bedingung ).

In der Computerprogrammierung

In JavaScript führt die Array- Methode everyeine bereitgestellte Callback-Funktion einmal für jedes im Array vorhandene Element aus und stoppt nur (wenn und wenn) sie ein Element findet, bei dem die Callback-Funktion false zurückgibt. Bemerkenswert ist, dass der Aufruf der everyMethode für ein leeres Array für jede Bedingung true zurückgibt.

Beispiele

Diese Beispiele, eines aus der Mathematik und eines aus der natürlichen Sprache , veranschaulichen das Konzept der leeren Wahrheiten:

• "Für jede ganze Zahl x, wenn x > 5, dann x > 3." – Diese Aussage ist nicht-leer wahr (da einige ganze Zahlen tatsächlich größer als 5 sind), aber einige ihrer Implikationen sind nur leer wahr: Wenn beispielsweise x die ganze Zahl 2 ist, impliziert die Aussage die leere Wahrheit, dass "wenn 2 > 5 dann 2 > 3".
• "Alle meine Kinder sind Ziegen" ist eine leere Wahrheit, wenn sie von jemandem ohne Kinder ausgesprochen wird. In ähnlicher Weise wäre "Keines meiner Kinder ist eine Ziege" eine leere Wahrheit, wenn sie von derselben Person ausgesprochen wird.

Siehe auch

• De Morgans Gesetze – insbesondere das Gesetz, dass eine universelle Aussage wahr ist, nur für den Fall, dass kein Gegenbeispiel existiert:${\displaystyle \forall x\,P(x)\equiv\neg \exists x\,\neg P(x)}$
• Leersumme und Leerprodukt
• Paradoxe materieller Implikationen , insbesondere das Explosionsprinzip
• Voraussetzung ; Doppelte Frage
• Stand der Dinge (Philosophie)
• Tautologie (Logik) – eine andere Art von wahrer Aussage, die auch keine substanziellen Informationen vermittelt
• Trivialität (Mathematik) und Entartung (Mathematik)

Verweise

Literaturverzeichnis

• Blackburn, Simon (1994). "vakuum", The Oxford Dictionary of Philosophy . Oxford: Oxford University Press, p. 388.
• David H. Sanford (1999). "Implikation." Das Cambridge Dictionary of Philosophy , 2. Hrsg., S. 420.
• Bier, Ilan; Ben-David, Shoham; Eisner, Cindy; Rodeh, Yoav (1997). „Effiziente Erkennung von Leere in ACTL-Formeln“. Computer Aided Verification: 9th International Conference, CAV'97 Haifa, Israel, 22.–25. Juni 1997, Proceedings . Skript zur Vorlesung Informatik . 1254 . S. 279–290. doi : 10.1007/3-540-63166-6_28 . ISBN 978-3-540-63166-8.

Externe Links

• Bedingte Behauptungen: Leere Wahrheit