Z-Funktion - Z function

In der Mathematik ist die Z-Funktion eine Funktion , mit der die Riemann-Zeta-Funktion entlang der kritischen Linie untersucht wird, an der das Argument die Hälfte beträgt. Es wird auch als Riemann-Siegel-Z-Funktion, Riemann-Siegel-Zeta-Funktion, Hardy- Funktion, Hardy-Z-Funktion und Hardy-Zeta-Funktion bezeichnet . Es kann in Bezug auf die Riemann-Siegel-Theta-Funktion und die Riemann-Zeta-Funktion durch definiert werden

${\ displaystyle Z (t) = e ^ {i \ theta (t)} \ zeta \ left ({\ frac {1} {2}} + it \ right).}$

Aus der Funktionsgleichung der Riemannschen Zetafunktion folgt, dass die Z-Funktion für reelle Werte von t reell ist . Es ist eine gleichmäßige Funktion und eine echte Analyse für echte Werte. Aus der Tatsache, dass sowohl die Riemann-Siegel-Theta-Funktion als auch die Riemann-Zeta-Funktion im kritischen Streifen, in dem der Imaginärteil von t zwischen –1/2 und 1/2 liegt, holomorph sind, folgt, dass die Z-Funktion im kritischer Streifen auch. Darüber hinaus sind die reellen Nullen von Z ( t ) genau die Nullen der Zeta-Funktion entlang der kritischen Linie, und komplexe Nullen im kritischen Streifen der Z-Funktion entsprechen Nullen außerhalb der kritischen Linie der Riemann-Zeta-Funktion in ihrem kritischen Streifen.

Z-Funktion in der komplexen Ebene

${\ displaystyle -5 <\ Re (t) <5}$	${\ displaystyle -40 <\ Re (t) <40}$

Die Riemann-Siegel-Formel

Die Berechnung des Wertes von Z ( t ) für reelles t und damit der Zetafunktion entlang der kritischen Linie wird durch die Riemann-Siegel-Formel erheblich beschleunigt . Diese Formel sagt es uns

${\ displaystyle Z (t) = 2 \ sum _ {n ^ {2} <t / 2 \ pi} n ^ {- 1/2} \ cos (\ theta (t) -t \ log n) + R ( t),}$

wobei der Fehlerterm R ( t ) einen komplexen asymptotischen Ausdruck in Bezug auf die Funktion hat

${\ displaystyle \ Psi (z) = {\ frac {\ cos 2 \ pi (z ^ {2} -z-1/16)} {\ cos 2 \ pi z}}}$

und seine Derivate. Wenn , und dann ${\ displaystyle u = \ left ({\ frac {t} {2 \ pi}} \ right) ^ {1/4}}$${\ displaystyle N = \ lfloor u ^ {2} \ rfloor}$${\ displaystyle p = u ^ {2} -N}$

${\ displaystyle R (t) \ sim (-1) ^ {N-1} \ left (\ Psi (p) u ^ {- 1} - {\ frac {1} {96 \ pi ^ {2}}} \ Psi ^ {(3)} (p) u ^ {- 3} + \ cdots \ right)}$

wo die Auslassungspunkte anzeigen, können wir zu höheren und immer komplexer werdenden Begriffen übergehen.

Andere effiziente Reihen für Z (t) sind bekannt, insbesondere mehrere, die die unvollständige Gammafunktion verwenden . Wenn

${\ displaystyle Q (a, z) = {\ frac {\ Gamma (a, z)} {\ Gamma (a)}} = {\ frac {1} {\ Gamma (a)}} \ int _ {z } ^ {\ infty} u ^ {a-1} e ^ {- u} \, du}$

dann ist ein besonders schönes Beispiel

${\ displaystyle Z (t) = 2 \ Re \ left (e ^ {i \ theta (t)} \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} Q \ left ({\ frac {s}) {2}}, \ pi in ^ {2} \ rechts) - {\ frac {\ pi ^ {s / 2} e ^ {\ pi ist / 4}} {s \ Gamma \ left ({\ frac {s } {2}} \ right)}} \ right) \ right)}$

Verhalten der Z-Funktion

Aus dem Satz der kritischen Linie folgt, dass die Dichte der reellen Nullen der Z-Funktion ist

${\ displaystyle {\ frac {c} {2 \ pi}} \ log {\ frac {t} {2 \ pi}}}$

für eine Konstante c > 2/5. Daher nimmt die Anzahl der Nullen in einem Intervall einer gegebenen Größe langsam zu. Wenn die Riemann-Hypothese wahr ist, sind alle Nullen im kritischen Streifen echte Nullen, und die Konstante c ist Eins. Es wird auch postuliert, dass alle diese Nullen einfache Nullen sind.

Ein Omega-Theorem

Aufgrund der Nullen der Z-Funktion zeigt sie ein Schwingungsverhalten. Es wächst auch langsam sowohl im Durchschnitt als auch im Spitzenwert. Zum Beispiel haben wir auch ohne die Riemann-Hypothese den Omega-Satz, dass

${\ displaystyle Z (t) = \ Omega \ left (\ exp \ left ({\ frac {3} {4}} {\ sqrt {\ frac {\ log t} {\ log \ log t}}} \ right) )\Recht),}$

wobei die Notation bedeutet, dass geteilt durch die Funktion innerhalb des Ω mit zunehmendem t nicht gegen Null geht  . ${\ displaystyle Z (t)}$

Durchschnittliches Wachstum

Das durchschnittliche Wachstum der Z-Funktion wurde ebenfalls vielfach untersucht. Wir können den Mittelwert des quadratischen Mittelwerts (abgekürzt RMS) aus finden

${\ displaystyle {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} Z (t) ^ {2} dt \ sim \ log T}$

oder

${\ displaystyle {\ frac {1} {T}} \ int _ {T} ^ {2T} Z (t) ^ {2} dt \ sim \ log T}$

die uns sagen, dass die RMS- Größe von Z ( t ) wächst als . ${\ displaystyle {\ sqrt {\ log t}}}$

Diese Schätzung kann auf verbessert werden

${\ displaystyle {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} Z (t) ^ {2} dt = \ log T + (2 \ gamma -2 \ log (2 \ pi) - 1) + O (T ^ {- 15/22})}$

Wenn wir den Exponenten erhöhen, erhalten wir einen Durchschnittswert, der stärker von den Spitzenwerten von Z abhängt  . Für die vierte Potenz haben wir

${\ displaystyle {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} Z (t) ^ {4} dt \ sim {\ frac {1} {2 \ pi ^ {2}}} (\ log T) ^ {4}}$

woraus wir schließen können, dass die vierte Wurzel der mittleren vierten Potenz wächst als ${\ displaystyle {\ frac {1} {2 ^ {1/4} {\ sqrt {\ pi}}} \ log t.}$

Die Lindelöf-Hypothese

Höhere gerade Kräfte wurden vielfach untersucht, über den entsprechenden Durchschnittswert ist jedoch weniger bekannt. Es wird vermutet und folgt aus der Riemannschen Hypothese, dass

${\ displaystyle {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} Z (t) ^ {2k} \, dt = o (T ^ {\ varepsilon})}$

für jedes positive ε. Hier ist die kleine „o“ Notation bedeutet , dass die linke Seite von der rechten Seite geteilt tut Converge auf Null; Mit anderen Worten, wenig o ist die Negation von Ω. Diese Vermutung wird Lindelöf- Hypothese genannt und ist schwächer als die Riemann-Hypothese. Es wird normalerweise in einer wichtigen äquivalenten Form angegeben, nämlich

${\ displaystyle Z (t) = o (t ^ {\ varepsilon});}$

in beiden Formen sagt es uns, dass die Wachstumsrate der Spitzenwerte nicht zu hoch sein kann. Die bekannteste Grenze für diese Wachstumsrate ist nicht stark und sagt uns, dass jede geeignet ist. Es wäre erstaunlich festzustellen, dass die Z-Funktion annähernd so schnell gewachsen ist. Littlewood bewies, dass auf der Riemann-Hypothese, ${\ displaystyle \ epsilon> {\ frac {89} {570}} \ ca. 0,156}$

${\ displaystyle Z (t) = o \ left (\ exp \ left ({\ frac {10 \ log t} {\ log \ log t}} \ right) \ right),}$

und das scheint viel wahrscheinlicher.

Verweise

• Edwards, HM (1974). Riemanns Zeta-Funktion . Reine und Angewandte Mathematik. 58 . New York-London: Akademische Presse. ISBN   0-12-232750-0 . Zbl   0315.10035 .
• Ivić, Aleksandar (2013). Die Theorie der Hardys Z -function . Cambridge Tracts in Mathematik. 196 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN   978-1-107-02883-8 . Zbl   1269.11075 .
• Paris, RB; Kaminski, D. (2001). Asymptotika und Mellin-Barnes-Integrale . Enzyklopädie der Mathematik und ihrer Anwendungen. 85 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN   0-521-79001-8 . Zbl   0983.41019 .
• Ramachandra, K. (Februar 1996). Vorlesungen zum Mittelwert und Omega-Theorem für die Riemannsche Zeta-Funktion . Vorlesungen über Mathematik und Physik. Mathematik. Tata Institut für Grundlagenforschung. 85 . Berlin: Springer-Verlag . ISBN   3-540-58437-4 . Zbl   0845.11003 .
• Titchmarsh, EC (1986) [1951]. Heath-Brown, DR (Hrsg.). Die Theorie der Riemannschen Zeta-Funktion (zweite überarbeitete Ausgabe). Oxford University Press .

Externe Links

• Weisstein, Eric W. "Riemann-Siegel-Funktionen" . MathWorld .
• Wolfram Research - Riemann-Siegel-Funktion Z (einschließlich Funktionsaufzeichnung und -bewertung)