Quadratische ganze Zahl - Quadratic integer

In der Zahlentheorie sind quadratische ganze Zahlen eine Verallgemeinerung der üblichen ganzen Zahlen auf quadratische Körper . Quadratische ganze Zahlen sind algebraische ganze Zahlen vom Grad zwei, d. h. Lösungen von Gleichungen der Form

x ² + bx + c = 0

mit b und c (üblichen) ganzen Zahlen. Wenn algebraische ganze Zahlen betrachtet werden, werden die üblichen ganzen Zahlen oft als rationale ganze Zahlen bezeichnet .

Gängige Beispiele für quadratische ganze Zahlen sind die Quadratwurzeln von rationalen ganzen Zahlen wie √ 2 und die komplexe Zahl i = √ –1 , die die Gaußschen ganzen Zahlen erzeugt . Ein weiteres gängiges Beispiel ist die nicht-reelle kubische Einheitswurzel -1 + √ –3/2, die die Eisenstein-Ganzzahlen erzeugt .

Quadratische ganze Zahlen kommen in den Lösungen vieler diophantischer Gleichungen vor , wie den Pell-Gleichungen und anderen Fragen im Zusammenhang mit ganzzahligen quadratischen Formen . Das Studium der Ringe von quadratischen ganzen Zahlen ist grundlegend für viele Fragen der algebraischen Zahlentheorie .

Geschichte

Mittelalterliche indische Mathematiker hatten bereits eine Multiplikation von quadratischen ganzen Zahlen des gleichen D entdeckt , die es ihnen ermöglichte, einige Fälle der Pell-Gleichung zu lösen .

Die in § Explizite Darstellung der quadratischen ganzen Zahlen gegebene Charakterisierung wurde erstmals 1871 von Richard Dedekind gegeben .

Definition

Eine quadratische ganze Zahl ist eine algebraische ganze Zahl vom Grad zwei. Genauer gesagt handelt es sich um eine komplexe Zahl , die eine Gleichung der Form x ² + bx + c = 0 mit b und c ganzen Zahlen löst . Jede quadratische ganze Zahl, die keine ganze Zahl ist, ist nicht rational – das heißt, sie ist eine reelle irrationale Zahl, wenn b ² – 4 c > 0 und nicht reell, wenn b ² – 4 c < 0 – und liegt in einem eindeutig bestimmten quadratischen Körper , der Erweiterung von erzeugt durch die Quadratwurzel der eindeutigen quadratfreien ganzen Zahl D , die b ² – 4 c = De ² für eine ganze Zahl e erfüllt . Wenn D positiv ist, ist die quadratische ganze Zahl reell. Wenn D < 0, ist es imaginär (dh komplex und nicht reell). ${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4c}}}{2}}}$ ${\displaystyle \mathbb{Q} ({\sqrt {D}})}$${\displaystyle\mathbb{Q}}$

Die quadratischen ganzen Zahlen (einschließlich der gewöhnlichen ganzen Zahlen), die zu einem quadratischen Körper gehören , bilden einen ganzzahligen Bereich , der als Ring der ganzen Zahlen von bezeichnet wird${\displaystyle \mathbb{Q} ({\sqrt {D}})}$ ${\displaystyle \mathbb{Q} ({\sqrt {D}}).}$

Obwohl die quadratischen ganzen Zahlen, die zu einem gegebenen quadratischen Körper gehören, einen Ring bilden , ist die Menge aller quadratischen ganzen Zahlen kein Ring, da sie nicht durch Addition oder Multiplikation abgeschlossen ist . Zum Beispiel sind und quadratische ganze Zahlen, aber und nicht, da ihre minimalen Polynome den Grad vier haben. ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})\cdot {\sqrt {3}}}$

Explizite Darstellung

Hier und im Folgenden gehören die betrachteten quadratischen ganzen Zahlen zu einem quadratischen Körper, wobei D eine quadratfreie ganze Zahl ist . Dies schränkt die Allgemeinheit nicht ein, da die Gleichheit √ a ² D = a √ D (für jede positive ganze Zahl a ) impliziert${\displaystyle \mathbb{Q} ({\sqrt {D}}),}$${\displaystyle \mathbb{Q} ({\sqrt {D}})=\mathbb{Q} ({\sqrt {a^{2}D}}).}$

Ein Element x von ist genau dann eine quadratische ganze Zahl, wenn es zwei ganze Zahlen a und b gibt, so dass entweder ${\displaystyle \mathbb{Q} ({\sqrt {D}})}$

${\displaystyle x=a+b{\sqrt {D}},}$

oder, wenn D – 1 ein Vielfaches von 4 . ist

${\displaystyle x={\frac {a}{2}}+{\frac {b}{2}}{\sqrt {D}},}$mit a und b beide ungerade

Mit anderen Worten : Jeder quadratischen integer kann geschrieben ein + & ohgr; b  , wobei a und  b ganze Zahlen sind, und wobei ω ist definiert durch:

${\displaystyle \omega ={\begin{cases}{\sqrt {D}}&{\mbox{if }}D\equiv 2,3{\pmod {4}}\\{{1+{\sqrt { D}}} \over 2}&{\mbox{if }}D\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}}$

(da D als quadratfrei angenommen wurde, ist der Fall unmöglich, da dies bedeuten würde, dass D durch das Quadrat 4 teilbar wäre). ${\displaystyle D\equiv 0{\pmod {4}}}$

Norm und Konjugation

Eine quadratische ganze Zahl in kann geschrieben werden ${\displaystyle \mathbb{Q} ({\sqrt {D}})}$

a + b √ D ,

wobei a und  b entweder beide ganze Zahlen sind oder, nur wenn D ≡ 1 (mod 4) , beide Hälften von ungeraden ganzen Zahlen sind . Die Norm einer solchen quadratischen ganzen Zahl ist

N ( a + b √ D ) = a ² - Db ² .

Die Norm einer quadratischen ganzen Zahl ist immer eine ganze Zahl. Wenn D < 0 ist , ist die Norm einer quadratischen ganzen Zahl das Quadrat ihres Absolutwerts als komplexe Zahl (dies ist falsch, wenn D > 0 ). Die Norm ist eine vollständig multiplikative Funktion , was bedeutet, dass die Norm eines Produkts quadratischer Ganzzahlen immer das Produkt ihrer Normen ist.

Jede quadratische ganze Zahl a + b √ D hat eine konjugierte

${\displaystyle {\overline {a+b{\sqrt {D}}}}=ab{\sqrt {D}}.}$

Eine quadratische ganze Zahl hat dieselbe Norm wie ihre Konjugierte, und diese Norm ist das Produkt der quadratischen ganzen Zahl und ihrer Konjugierten. Die Konjugierte einer Summe oder eines Produkts von quadratischen ganzen Zahlen ist die Summe oder das Produkt (bzw.) der Konjugierten. Dies bedeutet, dass die Konjugation ein Automorphismus des Rings der ganzen Zahlen von ist – siehe § Quadratische Ganzzahlringe unten. ${\displaystyle \mathbb{Q} ({\sqrt {D}})}$

Quadratische Ganzzahlringe

Jede quadratfreie ganze Zahl (verschieden von 0 und 1) D definiert einen quadratischen ganzzahligen Ring , das ist das Integralgebiet bestehend aus den algebraischen ganzen Zahlen enthalten in Es ist die Menge Z [ ω ] = { a + ωb  : a , b ∈ Z }, wobei , wenn D = 4 k +1 und ω = √ D anderweitig. Es wird oft bezeichnet , weil es der Ring der ganzen Zahlen von Q ( √ D ) ist, der der ganzzahlige Abschluss von Z in Der Ring Z [ ω ] besteht aus allen Wurzeln aller Gleichungen x ² + Bx + C = 0 deren Diskriminante B ² − 4 C ist das Produkt von D mit dem Quadrat einer ganzen Zahl. Insbesondere gehört √ D zu Z [ ω ] , da es eine Wurzel der Gleichung x ² − D = 0 ist , die 4 D als Diskriminante hat. ${\displaystyle \mathbf{Q} ({\sqrt {D}}).}$ ${\displaystyle \omega ={\tfrac {1+{\sqrt {D}}}{2}}}$${\displaystyle {\mathcal{O}}_{\mathbf{Q} ({\sqrt {D}})}}$${\displaystyle \mathbf{Q} ({\sqrt {D}}).}$

Die Quadratwurzel jeder ganzen Zahl ist eine quadratische ganze Zahl, da jede ganze Zahl geschrieben werden kann n = m ² D , wobei D eine quadratfreie ganze Zahl ist und ihre Quadratwurzel eine Wurzel aus x ² − m ² D = 0 ist .

Der fundamentale Satz der Arithmetik ist in vielen Ringen von quadratischen ganzen Zahlen nicht wahr. Es gibt jedoch eine eindeutige Faktorisierung für Ideale , die sich darin ausdrückt, dass jeder Ring von algebraischen ganzen Zahlen ein Dedekind-Gebiet ist . Als einfachste Beispiele für algebraische ganze Zahlen sind quadratische ganze Zahlen häufig die Ausgangsbeispiele für die meisten Studien der algebraischen Zahlentheorie .

Die quadratischen Ganzzahlringe teilen sich je nach Vorzeichen von D in zwei Klassen . Wenn D > 0 , sind alle Elemente von reell und der Ring ist ein reeller quadratischer ganzzahliger Ring . Wenn D < 0 , sind die einzigen reellen Elemente von die gewöhnlichen ganzen Zahlen und der Ring ist ein komplexer quadratischer ganzzahliger Ring . ${\displaystyle {\mathcal{O}}_{\mathbf{Q} ({\sqrt {D}})}}$${\displaystyle {\mathcal{O}}_{\mathbf{Q} ({\sqrt {D}})}}$

Für reelle quadratische Ganzzahlringe ist die Klassennummer , die das Versagen der eindeutigen Faktorisierung misst, in OEIS A003649 angegeben ; für den imaginären Fall sind sie in OEIS A000924 angegeben .

Einheiten

Eine quadratische ganze Zahl ist eine Einheit im Ring der ganzen Zahlen von genau dann, wenn ihre Norm 1 oder –1 ist . Im ersten Fall ist seine multiplikative Inverse seine Konjugierte. Es ist die Negation seines Konjugierten im zweiten Fall. ${\displaystyle \mathbb{Q} ({\sqrt {D}})}$

Wenn D < 0 ist , hat der Ring der ganzen Zahlen von höchstens sechs Einheiten. Im Fall der Gaußschen Zahlen ( D = -1 ) sind die vier Einheiten 1, -1, √ -1 , - √ -1 . Im Fall der Eisenstein-Ganzzahlen ( D = –3 ) sind die sechs Einheiten ±1,${\displaystyle \mathbb{Q} ({\sqrt {D}})}$±1 ± √ –3/2. Für alle anderen negativen D gibt es nur zwei Einheiten, nämlich 1 und –1 .

Wenn D > 0 , hat der Ring der ganzen Zahlen von unendlich viele Einheiten, die gleich ± u ^{i sind} , wobei i eine beliebige ganze Zahl ist und u eine bestimmte Einheit ist, die als Fundamentaleinheit bezeichnet wird . Bei einer Grundeinheit U , gibt es drei andere Grundeinheiten, ihre konjugierte und auch und Üblicherweise nennt man die Grundeinheit, die eine eindeutige , die einen absoluten Wert größer als 1 hat (als reelle Zahl). Es ist die einzigartige Grundeinheit, die als a + b √ D geschrieben werden kann , wobei a und b positiv sind (ganze Zahlen oder Hälften von ganzen Zahlen). ${\displaystyle \mathbb{Q} ({\sqrt {D}})}$${\displaystyle {\overline {u}},}$${\displaystyle -u}$${\displaystyle -{\overline {u}}.}$

Die Grundeinheiten für die 10 kleinsten positiven quadratfreien D sind 1 + √ 2 , 2 + √ 3 ,1 + √ 5/2(der goldene Schnitt ), 5 + 2 √ 6 , 8 + 3 √ 7 , 3 + √ 10 , 10 + 3 √ 11 ,3 + √ 13/2, 15 + 4 √ 14 , 4 + √ 15 . Für größere D können die Koeffizienten der Grundeinheit sehr groß sein. Zum Beispiel für D = 19, 31, 43 , sind die Grundeinheiten , die jeweils 170 + 39 √ 19 , 1520 + 273 √ 31 und 3482 + 531 √ 43 .

Beispiele für komplexe quadratische Ganzzahlringe

Für D  < 0 ist ω eine komplexe ( imaginäre oder anderweitig nicht-reelle) Zahl. Daher ist es naheliegend, einen quadratischen Ganzzahlring als eine Menge algebraischer komplexer Zahlen zu behandeln .

• Ein klassisches Beispiel sind die Gaußschen ganzen Zahlen , die um 1800 von Carl Gauß eingeführt wurden, um sein biquadratisches Reziprozitätsgesetz zu formulieren.${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-1}}]}$
• Die Elemente in werden Eisenstein-Ganzzahlen genannt .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-3}})}=\mathbf {Z} \left[{{1+{\sqrt {-3}}} \über 2}\rechts]}$

Beide oben erwähnten Ringe sind Ringe von ganzen Zahlen der zyklotomischen Felder Q (ζ ₄ ) und Q (ζ ₃ ) entsprechend. Im Gegensatz dazu ist Z [ √ −3 ] nicht einmal ein Dedekind-Gebiet .

Beide obigen Beispiele sind prinzipielle Idealringe und auch euklidische Bereiche für die Norm. Dies ist nicht der Fall für

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}})}=\mathbf {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right],}$

was nicht einmal ein eindeutiger Faktorisierungsbereich ist . Dies kann wie folgt gezeigt werden.

In wir haben ${\displaystyle {\mathcal{O}}_{\mathbf{Q} ({\sqrt {-5}})},}$

${\displaystyle 9=3\cdot 3=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}).}$

Die Faktoren 3, und sind irreduzibel , da sie alle eine Norm von 9 haben, und wenn sie nicht irreduzibel wären, hätten sie einen Faktor der Norm 3, was unmöglich ist, da die Norm eines von ±1 verschiedenen Elements mindestens 4 . ist Somit ist die Faktorisierung von 9 in irreduzible Faktoren nicht eindeutig. ${\displaystyle 2+{\sqrt {-5}}}$${\displaystyle 2-{\sqrt {-5}}}$

Die Ideale und sind nicht Prinzipal , da eine einfache Berechnung zeigt, dass ihr Produkt das von 3 erzeugte Ideal ist, und wenn sie Prinzipal wären, würde dies bedeuten, dass 3 nicht irreduzibel wäre. ${\displaystyle \langle 3,1+{\sqrt {-5}}\rangle}$${\displaystyle \langle 3,1-{\sqrt {-5}}\rangle}$

Beispiele für reelle quadratische Ganzzahlringe

Für D > 0 ist ω eine positive irrationale reelle Zahl, und der entsprechende quadratische Ganzzahlring ist eine Menge algebraischer reeller Zahlen . Die Lösungen der Pell-Gleichung X ² − D  Y ² = 1 , einer weithin untersuchten diophantischen Gleichung , sind die Einheiten dieser Ringe, für D ≡ 2, 3 (mod 4) .

• Für D = 5 , ω =ω1+ √ 5/2ist der goldene Schnitt . Dieser Ring wurde von Peter Gustav Lejeune Dirichlet studiert . Seine Einheiten haben die Form ±ω ⁿ , wobei n eine beliebige ganze Zahl ist. Dieser Ring entsteht auch durch das Studium der 5-zähligen Rotationssymmetrie auf der euklidischen Ebene, zum Beispiel Penrose-Kacheln .
• Der indische Mathematiker Brahmagupta behandelte die Pell-Gleichung X ² − 61  Y ² = 1 , entsprechend dem Ring ist Z [ √ 61 ] . Einige Ergebnisse wurden 1657 von Pierre Fermat der europäischen Gemeinschaft vorgestellt .

Hauptringe von quadratischen ganzen Zahlen

Die eindeutige Faktorisierungseigenschaft wird für Ringe quadratischer Ganzzahlen nicht immer verifiziert, wie oben für den Fall von Z [ √ −5 ] zu sehen ist . Wie für jedes Dedekind-Gebiet ist jedoch ein Ring aus quadratischen ganzen Zahlen genau dann ein eindeutiges Faktorisierungsgebiet, wenn es ein prinzipielles Idealgebiet ist . Dies geschieht genau dann, wenn die Klassennummer des entsprechenden quadratischen Feldes eins ist.

Die imaginären Ringe von quadratischen ganzen Zahlen, die die idealen Hauptringe sind, sind vollständig bestimmt. Diese sind für ${\displaystyle {\mathcal{O}}_{\mathbf{Q} ({\sqrt {D}})}}$

D = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163 .

Dieses Ergebnis wurde zuerst von Gauß vermutet und von Kurt Heegner bewiesen , obwohl Heegners Beweis nicht geglaubt wurde, bis Harold Stark 1967 einen späteren Beweis lieferte. (Siehe Stark-Heegner-Theorem .) Dies ist ein Spezialfall des berühmten Klassenzahlenproblems .

Es gibt viele bekannte positive ganze Zahlen D > 0 , für die der Ring der quadratischen ganzen Zahlen ein idealer Hauptring ist. Die vollständige Liste ist jedoch nicht bekannt; es ist nicht einmal bekannt, ob die Zahl dieser idealen Hauptringe endlich ist oder nicht.

Euklidische Ringe von quadratischen ganzen Zahlen

Wenn ein Ring aus quadratischen ganzen Zahlen ein idealer Hauptbereich ist , ist es interessant zu wissen, ob es sich um einen euklidischen Bereich handelt . Dieses Problem wurde wie folgt vollständig gelöst.

Ausgerüstet mit der Norm als euklidische Funktion , eine euklidische Domäne für negative D , wenn ${\displaystyle N(a+b{\sqrt {D}})=a^{2}-Db^{2}}$${\displaystyle {\mathcal{O}}_{\mathbf{Q} ({\sqrt {D}})}}$

D = −1, −2, −3, −7, −11 ,

und für positives D , wenn

D = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 (Sequenz A048981 im OEIS ).

Es gibt keinen anderen Ring von quadratischen ganzen Zahlen, der euklidisch ist, mit der Norm als euklidische Funktion.

Für negatives D ist ein Ring aus quadratischen ganzen Zahlen genau dann euklidisch, wenn die Norm eine euklidische Funktion dafür ist. Daraus folgt, dass für

D = −19, −43, −67, −163 ,

die vier entsprechenden Ringe von quadratischen ganzen Zahlen gehören zu den seltenen bekannten Beispielen von idealen Hauptgebieten, die keine euklidischen Gebiete sind.

Andererseits impliziert die verallgemeinerte Riemann-Hypothese , dass ein Ring aus reellen quadratischen ganzen Zahlen, der ein idealer Hauptbereich ist, auch ein euklidischer Bereich für eine euklidische Funktion ist, die tatsächlich von der üblichen Norm abweichen kann. Die Werte D = 14, 69 waren die ersten, für die nachgewiesen wurde, dass der Ring der quadratischen ganzen Zahlen euklidisch, aber nicht normeuklidisch ist.

Anmerkungen

Verweise

• Bourbaki, Nicolas (1994). Elemente der Geschichte der Mathematik . Übersetzt von Meldrum, John. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64767-6. MR  1.290.116 .
• Dedekind, Richard (1871), Vorlesungen über Zahlentheorie von PG Lejeune Dirichlet (2 Aufl.), Vieweg. Abgerufen am 5. August 2009
• Dummit, DS und Foote, RM, 2004. Abstrakte Algebra , 3. Aufl.
• Artin, M, Algebra , 2. Aufl., Ch 13.

Weiterlesen

• JS Milne. Algebraische Zahlentheorie , Version 3.01, 28. September 2008. Online-Skript zur Vorlesung