Bochner-Integral - Bochner integral

In der Mathematik erweitert das nach Salomon Bochner benannte Bochner-Integral die Definition des Lebesgue-Integrals auf Funktionen, die Werte in einem Banach-Raum annehmen , als Grenzwert von Integralen einfacher Funktionen .

Definition

Sei ein Maßraum und ein Banachraum . Das Bochner-Integral einer Funktion ist ähnlich wie das Lebesgue-Integral definiert. Definieren Sie zunächst eine einfache Funktion als eine endliche Summe der Form ${\displaystyle (X,\Sigma,\mu)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f:X\nach B}$

wo die disjunkt sind Mitglieder der -Algebra die unterschiedlichen Elemente sind und χ _E wird die charakteristische Funktion des Ist endlich ist , wenn dann die einfache Funktion ist integrierbar , und das Integral wird dann definiert durch ${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \Sigma,}$${\displaystyle b_{i}}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle E.}$${\displaystyle \mu\left(E_{i}\right)}$${\displaystyle b_{i}\neq 0,}$

$${\displaystyle \int_{X}\left[\sum_{i=1}^{n}\chi_{E_{i}}(x)b_{i}\right]\,d\mu =\ Summe _{i=1}^{n}\mu(E_{i})b_{i}}$$

genau wie beim gewöhnlichen Lebesgue-Integral.

Eine messbare Funktion ist

Bochner-integrierbar, wenn es eine Folge integrierbarer einfacher Funktionen gibt, so dass ${\displaystyle f:X\nach B}$${\displaystyle s_{n}}$

$${\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_{X}\|f-s_{n}\|_{B}\,d\mu =0,}$$

wobei das Integral auf der linken Seite ein gewöhnliches Lebesgue-Integral ist.

In diesem Fall ist das Bochner-Integral definiert durch

$${\displaystyle \int_{X}f\,d\mu =\lim_{n\to \infty}\int _{X}s_{n}\,d\mu .}$$

Es kann gezeigt werden, dass die Folge eine

Cauchy-Folge im Banach-Raum ist, daher existiert der rechte Grenzwert; außerdem ist der Grenzwert unabhängig von der approximierenden Folge einfacher Funktionen. Diese Bemerkungen zeigen, dass das Integral wohldefiniert ist (dh unabhängig von jeder Wahl). Es kann gezeigt werden, dass eine Funktion genau dann Bochner-integrierbar ist, wenn sie im Bochner-Raum liegt${\displaystyle \left\{\int_{X}s_{n}\,d\mu\right\}_{n=1}^{\infty}}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle \{s_{n}\}_{n=1}^{\infty}.}$ ${\displaystyle L^{1}.}$

Eigenschaften

Viele der bekannten Eigenschaften des Lebesgue-Integrals gelten auch für das Bochner-Integral. Besonders nützlich ist das Bochner-Kriterium für die Integrierbarkeit, das besagt, dass wenn ein Maßraum ist, dann ist eine Bochner-messbare Funktion genau dann Bochner-integrierbar, wenn ${\displaystyle (X,\Sigma,\mu)}$${\displaystyle f:X\nach B}$

Eine Funktion   wird aufgerufen , Bochner-ermittelbar , wenn es gleich ist überall -Fast zu einem Funktionswert in einem abtrennbaren Unterraum unter der und so , daß das Urbild jeder offenen Menge   in   gehört Gleichwertig ist Grenze -Fast überall aus einer Folge von einfachen Funktionen . ${\displaystyle f:X\nach B}$${\displaystyle\mu}$${\displaystyle g}$${\displaystyle B_{0}}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle g^{-1}(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \Sigma.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle\mu}$

Wenn ein stetiger linearer Operator und Bochner-integrierbar ist, dann ist Bochner-integrierbar und Integration und kann vertauscht werden: ${\displaystyle T}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Tf}$${\displaystyle T}$

Dies gilt auch für abgeschlossene Operatoren, vorausgesetzt, dass sie selbst integrierbar sind (was nach dem oben genannten Kriterium trivialerweise für beschränkt gilt ). ${\displaystyle Tf}$${\displaystyle T}$

Eine Version des dominierten Konvergenzsatzes gilt auch für das Bochner-Integral. Genauer gesagt, wenn ist eine Folge von messbaren Funktionen auf einem vollständigen Maßraum, die fast überall gegen eine Grenzfunktion strebt und wenn ${\displaystyle f_{n}:X\to B}$${\displaystyle f,}$

für fast jeden und dann ${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle g\in L^{1}(\mu),}$ als und ${\displaystyle n\to\infty}$ für alle ${\displaystyle E\in\Sigma.}$

Ist Bochner integrierbar, dann ist die Ungleichung ${\displaystyle f}$

gilt für alle Insbesondere die Mengenfunktion ${\displaystyle E\in\Sigma.}$ definiert ein abzählbar-additiv- wertiges Vektormaß, auf dem absolut stetig bzgl${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu.}$

Radon-Nikodym-Eigenschaft

Eine wichtige Tatsache über das Bochner Integral ist , dass der Radon-Nikodym nicht zu halten , im Allgemeinen. Dies führt zu einer wichtigen Eigenschaft von Banachräumen, die als Radon-Nikodym-Eigenschaft bekannt ist. Genauer gesagt, wenn ist ein Maß an dann hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft bezüglich if, für jedes abzählbar-additive

Vektormaß an mit Werten, in denen eine beschränkte Variation und absolut stetig in Bezug auf ist , gibt es eine -integrierbare Funktion mit ${\displaystyle\mu}$${\displaystyle (X,\Sigma),}$${\displaystyle B}$${\displaystyle\mu}$ ${\displaystyle\gamma}$${\displaystyle (X,\Sigma)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle\mu,}$${\displaystyle\mu}$${\displaystyle g:X\to B}$

$${\displaystyle \gamma(E)=\int_{E}g\,d\mu}$$

für jeden messbaren Satz ${\displaystyle E\in\Sigma.}$

Der Banach-Raum hat die

Radon-Nikodym-Eigenschaft, wenn die Radon-Nikodym-Eigenschaft in Bezug auf jedes endliche Maß vorliegt. Es ist bekannt, dass der Raum die Radon-Nikodym-Eigenschaft besitzt, aber die Räume für eine offene beschränkte Teilmenge von und für einen unendlichen kompakten Raum nicht. Räume mit Radon-Nikodym-Eigenschaft umfassen separierbare duale Räume (dies ist der Satz von Dunford-Pettis ) und reflexive Räume , zu denen insbesondere Hilbert-Räume gehören . ${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \ell_{1}}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle L^{\infty}(\Omega),}$ ${\displaystyle L^{1}(\Omega),}$${\displaystyle \Omega}$${\displaystyle \mathbb{R}^{n},}$${\displaystyle C(K),}$${\displaystyle K}$

Siehe auch

• Bochner-Raum
• Bochner messbare Funktion
• Pettis-Integral
• Vektormaß
• Schwach messbare Funktion

Verweise

• Bochner, Salomon (1933), "Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 20 : 262–276
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