Satz der dominierten Konvergenz - Dominated convergence theorem

In Maßtheorie , Lebesgue ‚s dominiertem Konvergenzsatz bietet hinreichende Bedingungen , unter denen fast überall Konvergenz einer Folge von Funktionen Konvergenz in der bedeutet , L ¹ Norm. Seine Leistungsfähigkeit und Nützlichkeit sind zwei der wichtigsten theoretischen Vorteile der Lebesgue-Integration gegenüber der Riemann-Integration .

Neben seinem häufigen Auftreten in der mathematischen Analysis und in partiellen Differentialgleichungen wird es häufig in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet , da es eine hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Erwartungswerte von Zufallsvariablen liefert .

Stellungnahme

Der dominierte Konvergenzsatz von Lebesgue. Sei ( f _n ) eine Folge von seinen komplexen -wertige meßbaren Funktionen auf einem Messraum ( S , Σ, μ) . Angenommen, die Folge konvergiert punktweise gegen eine Funktion f und wird von einer integrierbaren Funktion g dominiert in dem Sinne, dass

${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq g(x)}$

für alle Zahlen n in der Indexmenge der Folge und alle Punkte x ∈ S . Dann ist f integrierbar (im Sinne von Lebesgue ) und

${\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_{S}|f_{n}-f|\,d\mu =0}$

was auch impliziert

${\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_{S}f_{n}\,d\mu =\int_{S}f\,d\mu}$

Bemerkung 1. Die Aussage " g ist integrierbar" bedeutet, dass die messbare Funktion g nach Lebesgue integrierbar ist; dh

${\displaystyle \int_{S}|g|\,d\mu <\infty .}$

Bemerkung 2. Die Konvergenz der Folge und Herrschaft g gelockert werden kann , nur halten μ- fast überall die Maßnahme Raum vorgesehen ( S , Σ, μ) ist komplett oder f als meßbare Funktion gewählt , die stimmt μ-fast mit überall der μ-fast überall vorhandene punktweise Grenzwert. (Diese Vorsichtsmaßnahmen sind notwendig, denn sonst könnte es eine existiert nicht messbare Teilmenge eines μ-Nullsatzes N ∈ Σ , also f vielleicht nicht messbar sein.)

Bemerkung 3. Falls μ( S ) < ∞, kann die Bedingung, dass es eine dominierende integrierbare Funktion g gibt, auf eine gleichmäßige Integrierbarkeit der Folge ( f _n ) entspannt werden , siehe Vitali-Konvergenzsatz .

Bemerkung 4. Während f Lebesgue-integrierbar ist, ist es im Allgemeinen nicht Riemann-integrierbar . Nehmen wir zum Beispiel an, f _n sei in [0,1] definiert, so dass es überall Null ist, außer für rationale Zahlen der Form k/m, sodass k und m teilerfremd sind und m>n. Die Reihe (f _n ) konvergiert punktweise gegen 0, also ist f identisch Null, aber |f _n -f|=f _n ist nicht Riemann-integrierbar, da ihr Bild in jedem endlichen Intervall {0,1} ist und somit die oberen und niedrigere Darboux-Integrale sind 1 bzw. 0.

Nachweisen

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man annehmen, dass f reell ist, weil man f in seinen Real- und Imaginärteil aufspalten kann (denken Sie daran, dass eine Folge komplexer Zahlen genau dann konvergiert, wenn sowohl ihre reellen als auch ihre imaginären Gegenstücke konvergieren) und die Dreiecksungleichung anwenden Am Ende.

Der dominierte Konvergenzsatz von Lebesgue ist ein Spezialfall des Satzes von Fatou-Lebesgue . Unten ist jedoch ein direkter Beweis, der das Lemma von Fatou als wesentliches Werkzeug verwendet.

Da f der punktweise Grenzwert der Folge ( f _n ) messbarer Funktionen ist, die von g dominiert werden , ist sie auch messbar und von g dominiert , also integrierbar. Außerdem (diese werden später benötigt)

${\displaystyle |f-f_{n}|\leq |f|+|f_{n}|\leq 2g}$

für alle n und

${\displaystyle \limsup_{n\to\infty}|f-f_{n}|=0.}$

Die zweite davon ist trivialerweise wahr (durch die Definition von f ). Unter Verwendung von Linearität und Monotonie des Lebesgue-Integrals ,

${\displaystyle \left|\int _{S}{f\,d\mu}-\int _{S}{f_{n}\,d\mu}\right|=\left|\int _{S }{(f-f_{n})\,d\mu}\right|\leq \int_{S}{|f-f_{n}|\,d\mu}.}$

Durch das umgekehrte Fatou-Lemma (hier verwenden wir die Tatsache, dass | f − f _n | oben durch eine integrierbare Funktion beschränkt ist)

${\displaystyle \limsup_{n\to\infty}\int_{S}|f-f_{n}|\,d\mu\leq\int _{S}\limsup_{n\to\infty} |f-f_{n}|\,d\mu =0,}$

was bedeutet, dass der Grenzwert existiert und verschwindet, dh

${\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_{S}|f-f_{n}|\,d\mu =0.}$

Endlich, da

${\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left|\int _{S}fd\mu -\int _{S}f_{n}d\mu\right|\leq \lim_{n\ zu \infty}\int_{S}|f-f_{n}|\,d\mu =0.}$

wir haben das

${\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_{S}f_{n}\,d\mu =\int_{S}f\,d\mu .}$

Nun folgt der Satz.

Wenn die Annahmen nur halte μ-fast überall, so gibt es einen μ-Null - Satz N ∈ Σ , so daß die Funktionen f _n 1 _{S  \  N} erfüllen überall die Annahmen , auf  S . Dann ist die Funktion f ( x ) definiert als die punktweise Grenze von f _n ( x ) für x ∈ S  \  N und durch f ( x ) = 0 für x ∈ N , messbar ist und die punktuellen Grenze dieses modifizierten Funktionsablaufes. Die Werte dieser Integrale werden durch diese Änderungen der Integranden auf dieser μ-Null-Menge N nicht beeinflusst  , so dass der Satz weiterhin gilt.

DCT gilt auch dann, wenn f _n gegen f im Maß (endliches Maß) konvergiert und die dominierende Funktion fast überall nicht negativ ist.

Diskussion der Annahmen

Die Annahme, dass die Folge von einem integrierbaren g dominiert wird, ist nicht wegzudenken. Dies kann wie folgt gesehen werden: definiere f _n ( x ) = n für x im Intervall (0, 1/ n ] und sonst f _n ( x ) = 0. Jedes g , das die Folge dominiert, muss auch das punktweise Supremum h . dominieren = sup _n f _n . Beachten Sie, dass

${\displaystyle \int _{0}^{1}h(x)\,dx\geq \int _{\frac {1}{m}}^{1}{h(x)\,dx}=\ Summe _{n=1}^{m-1}\int _{\left({\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right]}{h( x)\,dx}\geq \sum _{n=1}^{m-1}\int _{\left({\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n }}\right]}{n\,dx}=\sum _{n=1}^{m-1}{\frac {1}{n+1}}\to \infty \qquad {\text{as }}m\nach \infty}$

durch die Divergenz der harmonischen Reihe . Daher sagt uns die Monotonie des Lebesgue-Integrals, dass es keine integrierbare Funktion gibt, die die Folge auf [0,1] dominiert. Eine direkte Rechnung zeigt, dass Integration und punktweiser Grenzwert für diese Folge nicht kommutieren:

${\displaystyle \int_{0}^{1}\lim_{n\to \infty}f_{n}(x)\,dx=0\neq 1=\lim_{n\to \infty}\ int _{0}^{1}f_{n}(x)\,dx,}$

denn der punktweise Grenzwert der Folge ist die Nullfunktion . Beachten Sie, dass die Folge ( f _n ) nicht einmal gleichmäßig integrierbar ist , daher ist auch der Vitali-Konvergenzsatz nicht anwendbar.

Satz der begrenzten Konvergenz

Eine logische Folge des Konvergenz - dominiertem Theorem der beschränkte Konvergenzsatz , der besagt , dass , wenn ( f _n ) ist eine Folge von gleichmäßig beschränkten komplexe -wertige meßbaren Funktionen , die konvergent auf einer beschränkten punktweise Maßraum ( S , Σ, μ) (dh eine wobei μ( S ) endlich) zu einer Funktion f ist , dann ist der Limes f eine integrierbare Funktion und

${\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_{S}{f_{n}\,d\mu}=\int_{S}{f\,d\mu}.}$

Bemerkung: Die punktweise Konvergenz und einheitliche Beschränktheit der Sequenz kann gelockert werden , um nur zu halten μ- fast überall , das Maß Raum vorgesehen ( S , Σ, μ) ist komplett oder f als meßbare Funktion gewählt , die μ-fast überall stimmt der μ-fast überall vorhandene punktweise Grenzwert.

Nachweisen

Da die Folge gleichmäßig beschränkt ist, gibt es eine reelle Zahl M , so dass | f _n ( x )| ≤ M für alle x ∈ S und für alle n . Definieren g ( x ) = M für alle x ∈ S . Dann wird die Folge von g dominiert . Außerdem ist g integrierbar, da es eine konstante Funktion auf einer Menge endlicher Maße ist. Daher folgt das Ergebnis aus dem Satz der dominierten Konvergenz.

Wenn die Annahmen nur halte μ-fast überall, so gibt es einen μ-Null - Satz N ∈ Σ , so daß die Funktionen f _n 1 _{S \ N} erfüllen überall die Annahmen , auf  S .

Dominierte Konvergenz in L ^p -Räumen (Korollar)

Sei ein Maßraum , 1 ≤ p < ∞ eine reelle Zahl und ( f _n ) eine Folge von -messbaren Funktionen . ${\displaystyle (\Omega,{\mathcal{A}},\mu)}$${\displaystyle {\mathcal{A}}}$${\displaystyle f_{n}:\Omega\to\mathbb{C}\cup\{\infty\}}$

Angenommen, die Folge ( f _n ) konvergiert μ-fast überall gegen eine -messbare Funktion f und wird von a dominiert (vgl. Lp-Raum ), dh für jede natürliche Zahl n gilt: | f _n | ≤ g , μ-fast überall. ${\displaystyle {\mathcal{A}}}$${\displaystyle g\in L^{p}}$

Dann sind sowohl f _n als auch f in und die Folge ( f _n ) konvergiert gegen f im Sinne von , dh: ${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{p}}$

${\displaystyle \lim_{n\to\infty}\|f_{n}-f\|_{p}=\lim_{n\to\infty}\left(\int_{\Omega}|f_ {n}-f|^{p}\,d\mu\right)^{\frac {1}{p}}=0.}$

Beweisidee: Wenden Sie den ursprünglichen Satz auf die Funktionsfolge mit der dominierenden Funktion an . ${\displaystyle h_{n}=|f_{n}-f|^{p}}$${\displaystyle (2g)^{p}}$

Erweiterungen

Der Satz der dominierten Konvergenz gilt auch für messbare Funktionen mit Werten in einem Banach-Raum , wobei die dominierende Funktion wie oben immer noch nicht negativ und integrierbar ist. Die Annahme der Konvergenz kann fast überall dahingehend abgeschwächt werden, dass nur die Maßkonvergenz verlangt wird .

Der Satz der dominierten Konvergenz gilt auch für bedingte Erwartungen.

Siehe auch

• Konvergenz von Zufallsvariablen , Konvergenz im Mittel
• Monotoner Konvergenzsatz (erfordert keine Dominanz durch eine integrierbare Funktion, sondern nimmt stattdessen Monotonie der Folge an)
• Scheffés Lemma
• Einheitliche Integrierbarkeit
• Vitali-Konvergenzsatz (eine Verallgemeinerung des dominierten Konvergenzsatzes von Lebesgue)

Anmerkungen

Verweise

• Bartle, RG (1995). Die Elemente der Integration und Lebesgue-Maßnahme . Wiley Interscience. ISBN 9780471042228.
• Royden, HL (1988). Echte Analyse . Lehrlingssaal. ISBN 9780024041517.
• Weir, Alan J. (1973). „Die Konvergenzsätze“. Lebesgue-Integration und -Messung . Cambridge: Cambridge University Press. S. 93–118. ISBN 0-521-08728-7.
• Williams, D. (1991). Wahrscheinlichkeit mit Martingalen . Cambridge University Press. ISBN 0-521-40605-6.
• Zitkovic, Gordan (Herbst 2013). "Vorlesung10: Bedingte Erwartung" (PDF) . Abgerufen am 25. Dezember 2020 .