Methode zum Zuweisen von Werten zu bestimmten unechten Integralen, die ansonsten undefiniert wären
In diesem Artikel geht es um eine Methode zum Zuweisen von Werten zu unechten Integralen. Informationen zu den Werten einer komplexen Funktion, die einem einzelnen Zweig zugeordnet ist, finden Sie unter Hauptwert . Für den Teil mit negativer Potenz einer Laurent-Reihe siehe Hauptteil .
Abhängig von der Art der Singularität im Integrand f wird der Cauchy-Hauptwert nach folgenden Regeln definiert:
Für eine Singularität der endlichen Zahl b
mit und wobei b der schwierige Punkt ist, an dem sich das Verhalten der Funktion f so verhält, dass
für jeden und
für alle
(Siehe Plus oder Minus für die genaue Verwendung der Notationen ± und ∓.)
Für eine Singularität im Unendlichen ( )
wo
und
In manchen Fällen ist es notwendig, Singularitäten sowohl bei endlicher Zahl b als auch bei Unendlich gleichzeitig zu behandeln . Dies geschieht normalerweise durch einen Grenzwert der Form
In den Fällen, in denen das Integral in zwei unabhängige endliche Grenzwerte zerlegt werden kann,
und
dann ist die Funktion im gewöhnlichen Sinne integrierbar. Das Ergebnis des Verfahrens für den Hauptwert ist dasselbe wie das gewöhnliche Integral; da es nicht mehr der Definition entspricht, ist es technisch gesehen kein "Hauptwert". Der Cauchy - Hauptwert kann auch im Hinblick auf die definiert werden Kurvenintegrale eines komplexwertigen Funktion mit mit einem Pol an einer Kontur C . Zu definieren , daß gleiche Kontur zu sein, wobei der Abschnitt innerhalb der Scheibe mit dem Radius ε um die Stange entfernt wurde. Vorausgesetzt, die Funktion ist integrierbar, egal wie klein ε wird, dann ist der Cauchy-Hauptwert der Grenzwert:
Im Fall von Lebesgue- integrierbaren Funktionen, das heißt Funktionen , die in integrierbar sind Absolutwert zusammenfallen diese Definitionen mit der Standardauflösung des Integrals. Wenn die Funktion ist meromorphic , das Sokhotski-Plemelj Theorem bezieht den Hauptwert des Integrals über C mit dem mittleren Wert der Integrale mit der Kontur etwas oberhalb und unterhalb verschoben, so daß der Residuensatzes kann auf diese Integrale angewandt werden. Hauptwertintegrale spielen in der Diskussion der Hilbert-Transformationen eine zentrale Rolle .
ist eine Verteilung . Die Abbildung selbst kann manchmal als Hauptwert bezeichnet werden (daher die Notation pv ). Diese Verteilung tritt beispielsweise in der Fourier-Transformation der Sign-Funktion und der Heaviside-Stufenfunktion auf .
Wohldefiniertheit als Verteilung
Um die Existenz des Grenzwertes zu beweisen
Beobachten Sie
für eine Schwartz-Funktion zunächst, dass auf as .
stetig ist
Beachten Sie, dass der Beweis lediglich in einer Umgebung von 0 stetig differenzierbar und gegen Unendlich beschränkt sein muss. Der Hauptwert wird daher unter noch schwächeren Annahmen wie integrierbar mit kompakter Unterstützung und differenzierbar bei 0 definiert.
Allgemeinere Definitionen
Der Hauptwert ist die inverse Verteilung der Funktion und ist fast die einzige Verteilung mit dieser Eigenschaft:
wo ist eine Konstante und die Dirac-Verteilung.
Im weiteren Sinne kann der Hauptwert für eine breite Klasse von singulären integralen Kernen auf dem euklidischen Raum definiert werden . Hat im Ursprung eine isolierte Singularität, ist aber ansonsten eine "schöne" Funktion, dann ist die Hauptwertverteilung auf kompakt gestützten glatten Funktionen definiert durch
Ein solcher Grenzwert ist möglicherweise nicht genau definiert oder definiert, da er gut definiert ist, nicht unbedingt eine Verteilung. Es ist jedoch wohldefiniert, wenn es sich um eine stetige homogene Gradfunktion handelt, deren Integral über eine beliebige im Ursprung zentrierte Kugel verschwindet. Dies ist beispielsweise bei den Riesz-Transformationen der Fall .
Beispiele
Betrachten Sie die Werte von zwei Grenzwerten:
Dies ist der Cauchy-Hauptwert des ansonsten schlecht definierten Ausdrucks
Ebenfalls:
Ebenso haben wir
Dies ist der Hauptwert des ansonsten schlecht definierten Ausdrucks
aber
Notation
Verschiedene Autoren verwenden unterschiedliche Notationen für den Cauchy-Hauptwert einer Funktion , unter anderem: