Absoluter Wert - Absolute value


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Die grafische Darstellung der Absolutwertfunktion für reelle Zahlen
Der absolute Wert einer Zahl kann als sein Abstand von Null betrachtet werden.

In der Mathematik , der Absolutwert oder Modulus | x | eine reelle Zahl  x ist der nicht-negativer Wert von  x ohne Hinweis auf seine Zeichen . Nämlich | x | = X für eine positive  x , | x | = - x für ein negatives  x (in diesem Fall - x positiv ist), und | 0 | = 0 . Zum Beispiel ist der absolute Wert von 3 3, und der absolute Wert von -3 ist ebenfalls 3. Der absolute Wert einer Zahl kann als gedacht werden Distanz von Null.

Verallgemeinerungen des absoluten Werts für reelle Zahlen kommen in einer Vielzahl von mathematischen Einstellungen. ZB ist ein absoluter Wert auch für die definierten komplexen Zahlen , die Quaternionen , geordnete Ringe , Felder und Vektorräume . Der absolute Wert ist eng mit den Vorstellungen von Größe , Abstand und Norm in verschiedenen mathematischen und physikalischen Zusammenhängen.

Terminologie und Notation

Im Jahr 1806, Jean-Robert Argand führte den Begriff Modul , dh Maßeinheit in Französisch, die speziell für den komplexen Absolutwert, und es wurde im Jahr 1866 als das lateinische Äquivalent ins Englische entlehnt Modul . Der Begriff Absolutwert hat in diesem Sinne von wenigstens 1.806 in Französisch und 1857 in Englisch verwendet. Die Schreibweise | x | Mit einem vertikalen Balken auf jeder Seite, durch eingeführten Karl Weierstraß 1841. Andere Namen für absoluten Wert umfasst numerischen Wert und Größe . In Programmiersprache und Rechen Software - Paketen, der Betrag von x wird im Allgemeinen durch abs (repräsentiert x ) oder einen ähnlichen Ausdruck.

Die vertikale Balken Notation erscheint auch in einer Reihe von anderen mathematischen Zusammenhängen: Wenn beispielsweise auf einen Satz angewandt wird , bezeichnet er ihre Kardinalität ; wenn sie eine angelegte Matrix bezeichnet er seine Determinante . Vertikale Balken zeigen den absoluten Wert nur für algebraische Objekte , für die das Konzept eines absoluten Wertes definiert ist, insbesondere ein Element eines normierte Divisionsalgebra wie eine reelle Zahl ist , komplexe Zahl, Quaternion. Ein eng verwandt , aber unterschiedliche Schreibweise ist die Verwendung von vertikalen Stäben entweder für die euklidische Norm oder sup norm eines Vektors in , obwohl doppelte vertikale Stäbe mit tiefgestellten Indizes ( und , jeweils) eine häufigen und weniger zweideutig Notation sind.

Definition und Eigenschaften

Reale Nummern

Für jede reelle Zahl  x , der Absolutwert oder Modulus von  x ist gekennzeichnet durch | x | (a vertikale Balken auf jeder Seite der Menge) und ist definiert als

Der absolute Wert von  x ist also immer entweder positiv oder Null , aber niemals negativ : wenn x sich negativ ist ( x <0 ), dann wird ihr absoluter Wert ist notwendigerweise positiv ( | x | = - x > 0 ).

Vom analytischen Geometrie Gesichtspunkt ist der absolute Wert einer reellen Zahl das ist Nummer Abstand von Null längs der reellen Zahl Linie und allgemeinen der absolute Wert des Unterschieds von zwei reellen Zahlen ist der Abstand zwischen ihnen. Tatsächlich ist die Vorstellung einer abstrakten Abstandsfunktion kann in der Mathematik eine Verallgemeinerung des absoluten Wertes der Differenz sein gesehen werden (siehe „Distance“ weiter unten).

Da die Wurzel Symbol die einmalige darstellt positive Wurzel (wenn sie auf eine positive Zahl angewendet wird ), folgt daraus , dass

oben ist die Definition äquivalente, und kann als eine alternative Definition des Absolutwerts der reellen Zahlen verwendet werden.

Der Betrag hat die folgenden vier grundlegenden Eigenschaften ( a , b reelle Zahlen sind ), die für die Verallgemeinerung dieses Begriffs zu anderen Domänen verwendet:

Nichtnegativität
Positiver-Bestimmt
Multiplikativität
Subadditivität , insbesondere die Dreiecksungleichung

Nicht-Negativität, positive Bestimmtheit und Multiplikativität ist von der Bestimmung ohne weiteres ersichtlich. Um zu sehen , dass Subadditivität hält zunächst fest , dass eine der beiden Alternativen des Nehmens s entweder -1 oder +1 garantiert , dass jetzt, da und es ergibt sich, dass je nachdem , was der Wert ist s , hat man für alle reellen . Folglich , wie gewünscht. (Für eine Verallgemeinerung dieses Argument zu komplexen Zahlen, siehe „ Der Nachweis der Dreiecksungleichung für komplexe Zahlen“ weiter unten.)

Einige zusätzliche nützliche Eigenschaften sind unten angegeben. Dies sind entweder unmittelbare Folgen der Definition oder impliziert werden die vier grundlegenden Eigenschaften oben.

Idempotenz (der absolute Wert des absoluten Werts der Absolutwert)
Planheit ( Reflexionssymmetrie des Graphen)
Identität von Ununterscheidbaren (entspricht positiven-Bestimmt)
Dreiecksungleichung (entspricht Subadditivität)
(wenn ) Erhaltung der Teilung (entspricht Multiplikativität)
Reverse Dreiecksungleichung (entsprechend Subadditivität)

Zwei andere nützliche Eigenschaften in Bezug auf Ungleichheiten sind:

oder

Diese Beziehungen können verwendet werden, Ungleichheiten zu lösen absolute Werte umfasst. Zum Beispiel:

Der Betrag, als „Abstand von Null“ wird verwendet , um die zur Definition absolute Differenz zwischen beliebigen reellen Zahlen, die Norm - Metrik auf den reellen Zahlen.

Komplexe Zahlen

Der absolute Wert einer komplexen Zahl  ist der Abstand  der vom Ursprung. Es wird auch in dem Bild , das zu sehen und seine
konjugiert komplexen haben den gleichen absoluten Wert. 

Da die komplexen Zahlen nicht sind bestellt , wird die Definition oben für den realen Absolutwert gegeben kann nicht direkt auf komplexe Zahlen angewandt. Jedoch ist die geometrische Auslegung des absoluten Wertes einer reellen Zahl , wie ihr Abstand von 0 kann verallgemeinert werden. Der absolute Wert einer komplexen Zahl wird durch die euklidische Distanz seines entsprechenden Punktes in der definierten komplexen Ebene vom Ursprung . Dies kann die berechnet werden , indem Satz des Pythagoras : für jede komplexe Zahl

wobei x und y reelle Zahlen sind , der Absolutwert oder Modulus von  z bezeichnet ist | z | und definiert ist durch

wobei Re ( z ) = x und Im ( z ) = y , die reellen und imaginären Teile bezeichnen , z , respectively. Wenn der imaginäre Teil y gleich Null ist, zusammenfällt , das mit der Definition des Absolutwerts der reellen Zahl  x .

Wenn eine komplexe Anzahl  z wird in seiner drückten polaren Form als

mit (und & thgr; ∈ arg ( z ) ist das Argument (oder Phase) der Z ), dessen absoluter Wert ist ,

.

Da das Produkt aus jeder komplexen Zahl  z und dessen Komplex - Konjugats  mit dem gleichen absoluten Wert, ist die nicht-negative reelle Zahl wird der absolute Wert einer komplexen Zahl kann zweckmßigerweise ausgedrückt werden als

ähnelnd die alternative Definition für Reals:

Der Komplex Absolutwert teilt die vier grundlegenden Eigenschaften für den realen absoluten Wert oben angegebenen.

In der Sprache der Gruppentheorie kann die Multiplikativität umformuliert werden , wie folgt: der Absolutwert a Gruppenhomomorphismus von der multiplikativen Gruppe der komplexen Zahlen auf die Gruppe unter der Multiplikation der positiven reellen Zahlen .

Wichtig ist , dass die Eigenschaft von Subadditivität ( „ Dreiecksungleichung erstreckt“) in einer beliebigen endlichen Sammlung von n  komplexen Zahlen als

Diese Ungleichheit gilt auch für unendliche Familien , vorausgesetzt , dass die unendliche Reihe ist absolut konvergent . Falls Lebesgue- Integration als kontinuierliche analogen Summierung der betrachtet wird, dann wird diese Ungleichheit in analoger Weise durch komplexwertigen, befolgt meßbaren Funktionen , wenn sie über einen integrierten messbaren Subset :

(Darin enthalten Riemann-integrierbaren Funktionen über einen beschränkten Intervall als ein besonderer Fall.)

Der Nachweis der Komplex Dreiecksungleichung

Das Dreieck Ungleichheits, wie angegeben , kann durch Auftragen drei problemlos nachgewiesenen Eigenschaften der komplexen Zahlen gezeigt werden: Das heißt, für jede komplexe Zahl ,

(i): besteht , so dass und ;
(ii): .

Auch für eine Familie von komplexen Zahlen , . Im Speziellen,

(iii): Wenn , dann .

Der Nachweis von : Wählen Sie, dassund(Summe). Die folgende Berechnung ergibt dann die gewünschte Ungleichung:

.

Es ist klar , aus diesem Beweis , dass die Gleichstellung in hält genau dann , wenn alle nicht-negative reelle Zahlen sind, die wiederum geschieht genau dann , wenn alle Nicht - Null das gleiche hat Argument , das heißt, für einen Komplex konstant und reelle Konstanten für .

Da messbare impliziert , dass auch meßbar ist, der Beweis für die Ungleichheit verläuft über die gleiche Technik, durch das Ersetzen mit und mit .

Absolutwert Funktion

Die grafische Darstellung der Absolutwertfunktion für reelle Zahlen
Composition betrags mit einer kubischen Funktion in unterschiedlicher Reihenfolge

Die wirkliche Absolutwertfunktion ist kontinuierlich überall. Es ist differenzierbar überall außer für x  = 0. Es wird monoton abnehm im Intervall (-∞, 0] und monoton im Intervall Erhöhen [0, + ∞) . Da ein richtiger Anzahl und seine gegenüberliegenden denselben absoluten Wert haben, ist es eine gerade Funktion , und ist daher nicht umkehrbar . Die wirkliche Absolutwert - Funktion ist eine abschnittsweise lineare , konvexe Funktion .

Sowohl die realen und komplexen Funktionen sind idempotent .

Beziehung zu der Zeichenfunktion

Die absolute Wert in Abhängigkeit von einer reellen Zahl liefert dessen Wert unabhängig von ihrem Vorzeichen, während die Zeichen (oder signum) Funktion einer Anzahl der Zeichen ungeachtet ihrem Wert zurückkehrt. Die folgenden Gleichungen zeigen die Beziehung zwischen diesen beiden Funktionen:

oder

und für x ≠ 0 ,

Derivat

Die wirkliche Absolutwert - Funktion hat ein Derivat für alle x ≠ 0 , ist aber nicht differenzierbar in x = 0 . Ihre Ableitung für x ≠ 0 wird durch die gegebene Stufenfunktion :

Die Subdifferential von  | x | bei  x = 0 ist das Intervall  [-1,1] .

Der Komplex Absolutwertfunktion ist überall stetig , aber Komplex differenzierbare nirgends , weil es die verletzt Cauchy-Riemannschen Gleichungen .

Die zweite Ableitung von  | x | in Bezug auf  x Null ist überall , außer Null, wo es existiert nicht. Als verallgemeinerte Funktion , kann die zweite Ableitung als zweimal die genommen werden Deltafunktion Dirac .

antiderivative

Die antiderivative (unbestimmtes Integral) der realen Absolutwertfunktion ist ,

wobei C eine willkürliche Konstante der Integration . Dies ist kein komplexer antiderivative weil Komplex Stammfunktionen nur für komplizierte differenzierbare (existieren kann holomorphe ) Funktionen, die den Komplex Absolutwertfunktion ist es nicht.

Entfernung

Der absolute Wert ist eng verbunden mit der Idee Abstand verwendet. Wie oben erwähnt, ist der absolute Wert einer reellen oder komplexen Zahl der Abstand von dieser Nummer zu dem Ursprung längs der reellen Zahl Zeile, für reelle Zahlen, oder in der komplexen Ebene, für komplexe Zahlen, und allgemeiner gesagt , der Absolutwert die Differenz von zwei realen oder komplexen Zahlen ist der Abstand zwischen ihnen.

Der Standard - euklidische Abstands zwischen zwei Punkten

und

in euklidischen n -Raum definiert ist als:

Dies kann als eine Verallgemeinerung zu sehen ist, da für und real, also in einem 1-Raum gemäß der alternativen Definition des Absolutwertes,

und und komplexe Zahlen, dh in einem 2-space,

Die obige zeigt, dass die „Absolutwert“ -Entfernung, für reale und komplexe Zahlen, mit der Norm euklidischen Abstand übereinstimmt, die sie als Folge erben von ihnen als ein und zweidimensionalen euklidischen Räume bedenken, respectively.

Die Eigenschaften des absoluten Werts des Unterschieds von zwei reellen oder komplexen Zahlen: Nicht-Negativität Identität Ununterscheidbaren, Symmetrie und die vorstehend genannten Dreieckungleichheit können den allgemeinere Begriff eines zu motivieren , zu sehen Entfernungsfunktion , wie folgt:

Eine reellwertige Funktion d auf einem Satz X  ×  X ist ein sogenannter metric (oder eine Abstandsfunktion ) auf  X , wenn sie die folgenden vier Axiome erfüllt:

Nichtnegativität
Identität von Ununterscheidbaren
Symmetrie
Dreiecksungleichung

Verallgemeinerungen

bestellte Ringe

Die Definition der absoluten Wertes für reelle Zahlen oben angegebenen können beliebigen verlängert geordneten Ring . Das heißt, wenn  ein ein Element einer geordneten Ring  R , so wird der Absolutwert von  a , bezeichnet durch | a | Sein soll, wird festgelegt:

wo - ein das ist additive Inverse von  a , 0 ist das additive neutrale Element und <und ≥ die übliche Bedeutung in Bezug auf die Bestellung im Ring hat.

Felder

Die vier grundlegenden Eigenschaften des absoluten Werts für reelle Zahlen können die Idee des absoluten Wertes auf einen beliebigen Bereich zu verallgemeinern verwendet werden, wie folgt.

Eine reelle Funktion  V auf einem Feld  F wird ein genannt absoluter Wert (auch eine Modulus , Größe , Wert oder Schätzung ) , wenn es erfüllt die folgenden vier Axiome:

Nichtnegativität
Positiver-Bestimmt
Multiplikativität
Subadditivität oder Dreiecksungleichung

Wo 0 bezeichnet die additive Identität Bestandteil von  F . Es folgt aus Positiv-Bestimmtheit und Multiplikativität daß V ( 1 ) = 1 , wobei 1 die zeigen multiplikative Identität Bestandteil  F . Die realen und komplexen Absolutwerte oben definiert sind Beispiele für absolute Werte für ein beliebiges Feld.

Wenn v ist ein absoluter Wert auf  F , dann die Funktion  D auf F  ×  F , definiert durch d ( a ,  b ) = v ( a - b ) , ist eine Metrik und die folgenden sind äquivalent:

  • d erfüllt die ultrametrischen Ungleichheit für alle x , y , z in  F .
  • ist begrenzt in  R .
  • für jeden
  • für alle
  • für alle

Ein absoluter Wert , die jeder (daher alle) der obigen Bedingungen erfüllt sein soll nichtarchimedisch , ansonsten soll zu archimedischen .

Vektorräume

Wiederum ist die grundlegenden Eigenschaften des absoluten Wertes für reelle Zahlen können, mit einer leichten Modifikation verwendet werden, den Begriff zu einem willkürlichen Vektorraum zu verallgemeinern.

Eine reelle Funktion auf einem Vektorraum  V über ein Feld  F , dargestellt als ‖ · ‖ wird ein aufgerufen absoluter Wert , aber in der Regel eine norm , wenn sie die folgenden Axiome erfüllt:

Aus all  a in  F , und v , u in  V ,

Nichtnegativität
Positiver-Bestimmt
Positive Homogenität oder positive Skalierbarkeit
Subadditivität oder Dreiecksungleichung

Die Norm eines Vektors wird auch seinen Namen Länge oder Größe .

Im Fall von Raum euklidischer  R n , definiert durch die Funktion

die gerufene ist eine Norm euklidische Norm . Wenn die reellen Zahlen  R als eindimensionaler Vektorraum betrachtet wird  R 1 , ist der absolute Wert eine Norm , und ist die P -Norm (s L P Raum für jeden)  P . In der Tat ist der absolute Wert der "nur" norm auf R 1 , in dem Sinne , dass für jede Norm ‖ · ‖ auf  R 1 , x ‖ = ‖1‖ ⋅ | x | . Der Komplex absolute Wert ist ein Spezialfall des norm in einem inneren Produktraum . Es ist identisch mit der euklidischen Norm, wenn die komplexe Ebene mit der identifizierten ist euklidische Ebene  R 2 .

Zusammensetzung algebras

Jede Komposition Algebra A hat eine Involution xx * seine aufgerufen Konjugation . Das Produkt in A eines Elementes x und ihrer konjugierten x * wird N ( x ) = xx * und rief die Norm von x .

Die reellen Zahlen r, Komplexe Zahlen c und quaternions h sind alle Zusammensetzungs Algebren mit von bestimmten Normen definite quadratischen Formen . Der Absolutwert in dieser Abteilung algebras wird durch die gegebene Quadratwurzel der Mittel Algebra norm.

Im Allgemeinen kann die Norm einer Zusammensetzung Algebra sein , quadratische Form , die nicht eindeutig ist und null Vektoren . Jedoch, wie in dem Fall der Spaltung algebras, wenn ein Element x eine von Null verschiedenen Norm hat, dann x a hat multiplikative Inverse gegeben durch x * / N ( x ).

Anmerkungen

Verweise

Externe Links