Unkorrektes Integral - Improper integral
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Infinitesimalrechnung |
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In der mathematischen Analyse ist ein unechtes Integral die Grenze eines bestimmten Integrals, da sich ein Endpunkt des Integrationsintervalls oder der Integrationsintervalle entweder einer bestimmten reellen Zahl oder einer positiven oder negativen Unendlichkeit nähert ; oder in einigen Fällen, wenn sich beide Endpunkte den Grenzen nähern. Ein solches Integral wird oft symbolisch wie ein bestimmtes Standardintegral geschrieben, in einigen Fällen mit Unendlich als Integrationsgrenze.
Insbesondere ist ein unechtes Integral ein Grenzwert der Form:
oder
bei dem man eine Grenze in dem einen oder anderen (oder manchmal auch in beiden) Endpunkten nimmt ( Apostol 1967 , §10.23).
Durch den Missbrauch der Notation werden unechte Integrale oft symbolisch geschrieben, genau wie Standard-Definite-Integrale, vielleicht mit Unendlichkeit zwischen den Grenzen der Integration. Wenn das bestimmte Integral existiert (im Sinne des Riemann-Integrals oder des fortgeschritteneren Lebesgue-Integrals ), wird diese Mehrdeutigkeit aufgelöst, da sowohl das richtige als auch das unechte Integral im Wert übereinstimmen.
Oftmals kann man Werte für uneigentliche Integrale berechnen, auch wenn die Funktion nicht im herkömmlichen Sinne integrierbar ist (z. B. als Riemann-Integral ), weil eine Singularität in der Funktion vorliegt oder eine der Integrationsgrenzen unendlich ist.
Beispiele
Die ursprüngliche Definition des Riemann-Integrals gilt nicht für eine Funktion wie auf dem Intervall [1, ∞) , da in diesem Fall der Integrationsbereich unbeschränkt ist . Das Riemann-Integral kann jedoch oft durch Stetigkeit erweitert werden , indem man stattdessen das uneigentliche Integral als Grenzwert definiert
Auch die enge Definition des Riemann-Integrals deckt die Funktion auf dem Intervall [0, 1] nicht ab . Das Problem hierbei ist, dass der Integrand im Integrationsbereich unbeschränkt ist (die Definition erfordert, dass sowohl der Integrationsbereich als auch der Integrand beschränkt sind). Das uneigentliche Integral existiert jedoch, wenn es als Grenzwert verstanden wird
Manchmal können Integrale zwei Singularitäten haben, wo sie uneigentlich sind. Betrachten wir zum Beispiel die Funktion 1/(( x + 1) √ x ) integriert von 0 bis ∞ (rechts gezeigt). An der unteren Schranke, wenn x gegen 0 geht, geht die Funktion zu ∞ , und die obere Schranke ist selbst ∞ , obwohl die Funktion gegen 0 geht. Dies ist also ein doppelt uneigentliches Integral. Integriert, sagen wir von 1 bis 3, reicht eine gewöhnliche Riemann-Summe aus, um ein Ergebnis von π /6 zu erhalten. Um von 1 bis ∞ zu integrieren , ist eine Riemann-Summe nicht möglich. Allerdings obere jede endliche gebunden, sagen t (mit t > 1 ), gibt einen gut definierten Ergebnis 2 arctan ( √ t ) - π / 2 . Dies hat eine endliche Grenze, wenn t gegen Unendlich geht, nämlich π /2. Ebenso erlaubt das Integral von 1/3 zu 1 auch eine Riemann-Summe, die zufällig wieder π /6 ergibt . Das Ersetzen von 1/3 durch einen beliebigen positiven Wert s (mit s < 1 ) ist ebenso sicher und ergibt π/2 − 2 arctan( √ s ) . Auch dies hat eine endliche Grenze, wenn s gegen Null geht, nämlich π /2. Kombiniert man die Grenzen der beiden Fragmente, ist das Ergebnis dieses uneigentlichen Integrals
Dieser Prozess garantiert keinen Erfolg; eine Grenze kann nicht existieren oder unendlich sein. Zum Beispiel konvergiert über das begrenzte Intervall von 0 bis 1 das Integral von 1/ x nicht; und über dem unbeschränkten Intervall von 1 bis ∞ konvergiert das Integral von 1/ √ x nicht.
Es kann auch vorkommen, dass ein Integrand in der Nähe eines inneren Punktes unbeschränkt ist, in diesem Fall muss das Integral an diesem Punkt geteilt werden. Damit das Integral als Ganzes konvergiert, müssen die Grenzintegrale auf beiden Seiten existieren und beschränkt sein. Zum Beispiel:
Aber das ähnliche Integral
kann auf diese Weise kein Wert zugewiesen werden, da die Integrale über und unter Null nicht unabhängig voneinander konvergieren. (Siehe jedoch Cauchy-Hauptwert .)
Konvergenz des Integrals
Ein unechtes Integral konvergiert, wenn der Grenzwert existiert, der es definiert. So sagt man zum Beispiel, dass das uneigentliche Integral
existiert und ist gleich L, wenn die Integrale unter dem Grenzwert für alle hinreichend großen t existieren und der Wert des Grenzwerts gleich L ist .
Es ist auch möglich, dass ein unechtes Integral ins Unendliche divergiert. In diesem Fall kann man dem Integral den Wert von ∞ (oder −∞) zuordnen. Zum Beispiel
Andere uneigentliche Integrale können jedoch einfach in keine bestimmte Richtung divergieren, wie z
die nicht existiert, auch nicht als erweiterte reelle Zahl . Dies wird Divergenz durch Schwingung genannt.
Eine Einschränkung der Technik der unsachgemäßen Integration besteht darin, dass die Grenze jeweils in Bezug auf einen Endpunkt genommen werden muss. So ist zum Beispiel ein uneigentliches Integral der Form
kann durch zwei separate Grenzwerte definiert werden; nämlich
vorausgesetzt, die doppelte Grenze ist endlich. Es kann auch als ein Paar verschiedener uneigentlicher Integrale erster Art definiert werden:
wobei c ein beliebiger Punkt ist, an dem die Integration beginnen soll. Diese Definition gilt auch, wenn eines dieser Integrale unendlich ist, oder beide, wenn sie das gleiche Vorzeichen haben.
Ein Beispiel für ein unechtes Integral, bei dem beide Endpunkte unendlich sind, ist das Gauß-Integral . Ein Beispiel, das bis unendlich ausgewertet wird, ist . Aber man kann nicht einmal andere Integrale dieser Art eindeutig definieren, wie zum Beispiel , da der doppelte Grenzwert unendlich ist und die Zwei-Integral-Methode
ergibt . In diesem Fall kann man jedoch ein uneigentliches Integral im Sinne des Cauchy-Hauptwertes definieren :
Die Fragen, die man sich bei der Bestimmung eines uneigentlichen Integrals stellen muss, sind:
- Existiert die Grenze?
- Kann die Grenze berechnet werden?
Die erste Frage ist eine Frage der mathematischen Analyse . Der zweite kann durch Calculus-Techniken, aber in einigen Fällen auch durch Konturintegration , Fourier-Transformationen und andere fortschrittlichere Methoden angegangen werden.
Arten von Integralen
Es gibt mehr als eine Integrationstheorie . Aus der Sicht der Infinitesimalrechnung wird üblicherweise die Riemannsche Integraltheorie als Ausfalltheorie angenommen. Bei der Verwendung von uneigentlichen Integralen kann es von Bedeutung sein, welche Integrationstheorie im Spiel ist.
- Für das Riemann-Integral (oder das dazu äquivalente Darboux-Integral ) ist sowohl für unbeschränkte Intervalle (da man das Intervall nicht in endlich viele Teilintervalle endlicher Länge aufteilen kann) als auch für unbeschränkte Funktionen mit endlichem Integral (da angenommen, es ist nach oben unbeschränkt, dann ist das obere Integral unendlich, aber das untere Integral ist endlich).
- Das Lebesgue-Integral behandelt unbeschränkte Bereiche und unbeschränkte Funktionen unterschiedlich, so dass oft ein Integral, das nur als uneigentliches Riemann-Integral existiert, als (echtes) Lebesgue-Integral existiert, wie z . Andererseits gibt es auch Integrale, die ein uneigentliches Riemann-Integral haben, aber kein (echtes) Lebesgue-Integral, wie z . Die Lebesguesche Theorie sieht dies nicht als Mangel: aus der Sicht der Maßtheorie , und nicht in befriedigender Weise definiert werden. In manchen Situationen kann es jedoch zweckmäßig sein, unechte Lebesgue-Integrale zu verwenden, wie dies beispielsweise bei der Definition des Cauchy-Hauptwertes der Fall ist . Das Lebesgue-Integral ist bei der theoretischen Behandlung der Fourier-Transformation mehr oder weniger wesentlich , wobei Integrale über die gesamte reelle Linie durchdringend verwendet werden.
- Für das Henstock-Kurzweil-Integral ist eine uneigentliche Integration nicht notwendig , was als Stärke der Theorie angesehen wird: Es umfasst alle Lebesgue-integrierbaren und uneigentlichen Riemann-Integrierbaren Funktionen.
Unechte Riemann-Integrale und Lebesgue-Integrale
In einigen Fällen ist das Integral
kann als Integral ( z. B. ein Lebesgue-Integral ) ohne Bezug auf den Grenzwert definiert werden
aber sonst nicht bequem zu berechnen. Dies geschieht oft, wenn die von a nach c integrierte Funktion f eine vertikale Asymptote bei c hat oder wenn c = ∞ ist (siehe Abbildungen 1 und 2). In solchen Fällen erlaubt das uneigentliche Riemann-Integral die Berechnung des Lebesgue-Integrals der Funktion. Konkret gilt folgender Satz ( Apostol 1974 , Satz 10.33):
- Ist eine Funktion f auf [ a , b ] für jedes b ≥ a Riemann-integrierbar und die Teilintegrale
- beschränkt sind als b → ∞, dann sind die uneigentlichen Riemann-Integrale
- beides existiert. Außerdem ist f Lebesgue-integrierbar auf [ a , ∞), und sein Lebesgue-Integral ist gleich seinem uneigentlichen Riemann-Integral.
Zum Beispiel das Integral
kann alternativ als uneigentliches Integral interpretiert werden
oder es kann stattdessen als ein Lebesgue-Integral über die Menge (0, ∞) interpretiert werden . Da beide Arten von Integralen übereinstimmen, kann man die erste Methode zur Berechnung des Wertes des Integrals frei wählen, auch wenn man es letztendlich als Lebesgue-Integral betrachten möchte. Somit sind unechte Integrale eindeutig nützliche Werkzeuge, um die tatsächlichen Werte von Integralen zu erhalten.
In anderen Fällen jedoch kann ein Lebesgue-Integral zwischen endlichen Endpunkten nicht einmal definiert werden, weil die Integrale des positiven und des negativen Teils von f beide unendlich sind, aber das uneigentliche Riemann-Integral kann immer noch existieren. Solche Fälle sind "eigentlich unechte" Integrale, dh ihre Werte können nur als solche Grenzen definiert werden. Zum Beispiel,
kann nicht als Lebesgue-Integral interpretiert werden, da
Ist aber dennoch zwischen zwei beliebigen endlichen Endpunkten integrierbar, und sein Integral zwischen 0 und ∞ wird üblicherweise als Grenzwert des Integrals verstanden:
Singularitäten
Man kann von den Singularitäten eines uneigentlichen Integrals sprechen , also jener Punkte der erweiterten reellen Zahlengeraden, an denen Grenzwerte verwendet werden.
Cauchy-Hauptwert
Betrachten Sie den Unterschied der Werte von zwei Grenzwerten:
Ersteres ist der Cauchy-Hauptwert des ansonsten schlecht definierten Ausdrucks
Ebenso haben wir
aber
Ersteres ist der Hauptwert des ansonsten schlecht definierten Ausdrucks
Alle obigen Grenzwerte sind Fälle der unbestimmten Form ∞ − ∞.
Diese Erkrankungen wirken sich nicht auf „Lebesgue-integrierbaren“ Funktionen, dh Funktionen die Integrale von deren absoluten Werte endlich sind.
Summierbarkeit
Ein unechtes Integral kann in dem Sinne divergieren, dass die Grenze, die es definiert, möglicherweise nicht existiert. In diesem Fall gibt es komplexere Definitionen des Grenzwerts, die einen konvergenten Wert für das unechte Integral erzeugen können. Diese werden Summierbarkeitsmethoden genannt .
Eine in der Fourier-Analyse beliebte Summierbarkeitsmethode ist die Cesàro-Summation . Das Integral
ist Cesàro summierbar (C, α), falls
existiert und ist endlich ( Titchmarsh 1948 , §1.15). Der Wert dieser Grenze, falls vorhanden, ist die (C, α)-Summe des Integrals.
Ein Integral ist (C, 0) genau dann summierbar, wenn es als uneigentliches Integral existiert. Es gibt jedoch Integrale, die für α > 0 (C, α) summierbar sind und nicht als uneigentliche Integrale (im Sinne von Riemann oder Lebesgue) konvergieren. Ein Beispiel ist das Integral
die nicht als uneigentliches Integral existiert, aber (C, α ) für jedes α > 0 summierbar ist . Dies ist eine ganzzahlige Version von Grandis Reihe .
Multivariable uneigentliche Integrale
Das uneigentliche Integral kann auch für Funktionen mehrerer Variablen definiert werden. Die Definition ist etwas anders, je nachdem, ob man eine Integration über einen unbeschränkten Bereich erfordert, wie zum Beispiel , oder eine Funktion mit Singularitäten integriert, wie zum Beispiel .
Unechte Integrale über beliebige Domänen
Wenn eine nicht negative Funktion ist, die über jeden kompakten Würfel der Form , für , Riemann-integrierbar ist , dann ist das uneigentliche Integral von f over definiert als der Grenzwert
sofern es existiert.
Eine Funktion auf einem beliebigen Gebiet A in wird zu einer Funktion auf um Null außerhalb von A erweitert :
Das Riemann-Integral einer Funktion über ein beschränktes Gebiet A ist dann definiert als das Integral der erweiterten Funktion über einen Würfel , der A enthält :
Allgemeiner gesagt , wenn A unbeschränkt ist, dann wird das uneigentliche Riemann-Integral über ein beliebiges Gebiet in als Grenzwert definiert:
Unechte Integrale mit Singularitäten
Wenn f eine nicht negative Funktion ist, die in einem Bereich A unbeschränkt ist , dann wird das uneigentliche Integral von f definiert, indem f an einer bestimmten Grenze M abgeschnitten wird , die resultierende Funktion integriert wird und dann der Grenzwert genommen wird, da M gegen Unendlich strebt. Das ist für , eingestellt . Dann definiere
sofern diese Grenze existiert.
Funktionen mit positiven und negativen Werten
Diese Definitionen gelten für Funktionen, die nicht negativ sind. Eine allgemeinere Funktion f kann als Differenz ihres positiven und negativen Teils zerlegt werden , also
mit und beiden nichtnegativen Funktionen. Die Funktion f hat ein uneigentliches Riemann-Integral, wenn jedes von und eins hat, in welchem Fall der Wert dieses uneigentlichen Integrals definiert ist durch
Um in diesem Sinne zu existieren, konvergiert das uneigentliche Integral notwendigerweise absolut, da
Anmerkungen
- ^ Cooper 2005 , p. 538: "Wir müssen diese stärkere Definition der Konvergenz in Bezug auf | f ( x )| machen, weil die Aufhebung in den Integralen auf so viele verschiedene Arten in höheren Dimensionen auftreten kann."
- ^ Ghorpade & Limaye 2010 , S. 448: "Der relevante Begriff ist hier der der unbedingten Konvergenz." ... "Tatsächlich erweist sich für uneigentliche Integrale solcher Funktionen die unbedingte Konvergenz als äquivalent zur absoluten Konvergenz."
Literaturverzeichnis
- Apostol, T (1974), Mathematische Analyse , Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-00288-1.
- Apostol, T. (1967), Calculus, Bd. 2 , No. 1 (2. Aufl.), Jon Wiley & Sons.
- Autar Kaw, Egwu Kalu (2008), Numerische Methoden mit Anwendungen (1. Aufl.), autarkaw.com
- Titchmarsh, E (1948), Einführung in die Theorie der Fourier-Integrale (2. Aufl.), New York, NY: Chelsea Pub. Co. (veröffentlicht 1986), ISBN 978-0-8284-0324-5.
- Cooper, Jeffery (2005), Arbeitsanalyse , Gulf Professional
- Ghorpade, Sudhir; Limaye, Balmohan (2010), Ein Kurs in multivariabler Analysis und Analysis , Springer
Externe Links
- Numerische Methoden zur Lösung falscher Integrale am Institut für ganzheitliche Numerische Methoden