Bedingte Konvergenz - Conditional convergence

In der Mathematik , eine Serie oder Integral wird gesagt, dass bedingt konvergent , wenn sie konvergiert, aber nicht konvergieren absolut .

Definition

Genauer gesagt, eine Reihe von reellen Zahlen wird gesagt, bedingt konvergieren , wenn (als endliche reelle Zahl, also nicht existiert oder ), aber${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty}a_{n}}$${\textstyle \lim_{m\rightarrow\infty}\,\sum_{n=0}^{m}a_{n}}$${\displaystyle\infty}$${\displaystyle -\infty}$${\textstyle \sum_{n=0}^{\infty}\left|a_{n}\right|=\infty .}$

Ein klassisches Beispiel ist die alternierende harmonische Reihe gegeben durch

die gegen konvergiert , aber nicht absolut konvergent ist (siehe Harmonische Reihe ). ${\displaystyle \ln(2)}$

Bernhard Riemann bewies, dass eine bedingt konvergente Reihe so umgeordnet werden kann, dass sie gegen jeden beliebigen Wert, einschließlich ∞ oder −∞, konvergiert; siehe Riemann-Reihensatz . Der Satz von Lévy-Steinitz identifiziert die Menge von Werten, gegen die eine Reihe von Termen in R ⁿ konvergieren können.

Ein typisches bedingt konvergentes Integral ist das auf der nicht-negativen reellen Achse von (siehe

Fresnel-Integral ). ${\textstyle \sin(x^{2})}$

Siehe auch

• Absolute Konvergenz
• Bedingungslose Konvergenz

Verweise

• Walter Rudin, Prinzipien der mathematischen Analyse (McGraw-Hill: New York, 1964).