Satz der Riemannschen Reihe - Riemann series theorem

In der Mathematik , der Riemann - Serie Satz (das auch als Riemann - Theorem Umlagerung ), benannt nach dem 19. Jahrhundert deutscher Mathematiker Bernhard Riemann , sagt , dass , wenn eine unendliche Reihe von reellen Zahlen ist bedingt konvergent , dann können ihre Bedingungen in einer angeordnet seine Permutation , so dass die neue Reihe konvergiert gegen eine beliebige reelle Zahl oder divergiert . Dies impliziert, dass eine Reihe reeller Zahlen genau dann absolut konvergent ist, wenn sie unbedingt konvergent ist .

Als Beispiel konvergiert die Reihe 1 − 1 + 1/2 − 1/2 + 1/3 − 1/3 + ⋯ gegen 0 (bei einer genügend großen Anzahl von Termen nähert sich die Partialsumme beliebig an 0); aber das Ersetzen aller Terme durch ihre absoluten Werte ergibt 1 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1/3 + 1/3 + , was ins Unendliche summiert. Somit ist die ursprüngliche Reihe bedingt konvergent und kann umgeordnet werden (indem man die ersten beiden positiven Terme, gefolgt vom ersten negativen Term, gefolgt von den nächsten beiden positiven Termen und dann dem nächsten negativen Term usw. nimmt), um eine Reihe zu erhalten, die konvergiert zu einer anderen Summe: 1 + 1/2 − 1 + 1/3 + 1/4 − 1/2 + ⋯ = ln 2. Allgemeiner ausgedrückt ergibt die Verwendung dieses Verfahrens mit p positiven gefolgt von q negativen die Summe ln( p / q ). Andere Umordnungen ergeben andere endliche Summen oder konvergieren zu keiner Summe.

Definitionen

Eine Reihe konvergiert, wenn es einen Wert gibt, so dass die Folge der Teilsummen ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty}a_{n}}$ ${\displaystyle \ell}$

${\displaystyle (S_{1},S_{2},S_{3},\ldots),\quad S_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k},}$

konvergiert zu . Das heißt, für jede ε  > 0 ist , gibt es eine ganze Zahl N , so daß , wenn n  ≥  N , dann ${\displaystyle \ell}$

${\displaystyle \left\vert S_{n}-\ell \right\vert \leq \epsilon .}$

Eine Reihe konvergiert bedingt, wenn die Reihe konvergiert, aber die Reihe divergiert. ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty}a_{n}}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty}\left\vert a_{n}\right\vert }$

Eine Permutation ist einfach eine Bijektion aus der Menge der positiven ganzen Zahlen in sich selbst. Dies bedeutet, dass wenn eine Permutation ist, dann für jede positive ganze Zahl genau eine positive ganze Zahl existiert, so dass insbesondere wenn , dann . ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle b,}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \sigma (a)=b.}$${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle \sigma (x)\neq \sigma (y)}$

Aussage des Theorems

Angenommen, es handelt sich um eine Folge reeller Zahlen , die bedingt konvergent ist. Sei eine reelle Zahl. Dann gibt es eine Permutation mit ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots)}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty}a_{n}}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \sigma}$

${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{\sigma(n)}=M.}$

Es gibt auch eine Permutation, so dass ${\displaystyle \sigma}$

${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{\sigma(n)}=\infty.}$

Die Summe kann auch so angeordnet werden , dass sie zu einer endlichen oder unendlichen Grenze divergiert oder sich ihr nicht nähert. ${\displaystyle -\infty}$

Abwechselnde harmonische Reihe

Ändern der Summe

Die alternierende harmonische Reihe ist ein klassisches Beispiel für eine bedingt konvergente Reihe:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}$

konvergent ist, während

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}\left|{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\right|}$

ist die gewöhnliche harmonische Reihe , die divergiert. Obwohl in der Standarddarstellung die alternierende harmonische Reihe gegen ln(2) konvergiert, können ihre Terme so angeordnet werden, dass sie gegen eine beliebige Zahl konvergieren oder sogar divergieren. Ein Beispiel dafür ist wie folgt. Beginnen Sie mit der Reihe, die in der üblichen Reihenfolge geschrieben ist,

${\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots}$

und ordne die Begriffe neu:

${\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}-{ \frac{1}{8}}+{\frac{1}{5}}-{\frac{1}{10}}-{\frac{1}{12}}+\cdots}$

wobei das Muster ist: Die ersten beiden Terme sind 1 und −1/2, deren Summe 1/2 ist. Der nächste Term ist −1/4. Die nächsten beiden Terme sind 1/3 und −1/6, deren Summe 1/6 ist. Der nächste Term ist −1/8. Die nächsten beiden Terme sind 1/5 und −1/10, deren Summe 1/10 ist. Im Allgemeinen setzt sich die Summe aus Dreierblöcken zusammen:

${\displaystyle {\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2(2k-1)}}-{\frac {1}{4k}},\quad k=1,2 ,\Punkte.}$

Dies ist in der Tat eine Neuordnung der alternierenden harmonischen Reihe: Jede ungerade ganze Zahl kommt einmal positiv vor und die geraden ganzen Zahlen kommen je einmal negativ vor (die Hälfte davon als Vielfaches von 4, die andere Hälfte als zweimal ungerade ganze Zahlen). Schon seit

${\displaystyle {\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2(2k-1)}}={\frac {1}{2(2k-1)}},}$

diese Reihe kann tatsächlich geschrieben werden:

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}&{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{ 8}}+{\frac {1}{10}}+\cdots +{\frac {1}{2(2k-1)}}-{\frac {1}{2(2k)}}+\cdots \\={}&{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-\cdots \right)={ \frac {1}{2}}\ln(2)\end{ausgerichtet}}}$

Das ist die Hälfte der üblichen Summe.

Eine beliebige Summe erhalten

Eine effiziente Möglichkeit, das Ergebnis des vorherigen Abschnitts wiederherzustellen und zu verallgemeinern, besteht darin, die Tatsache zu nutzen, dass

${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+\cdots +{1 \over n}=\gamma +\ln n+o(1),}$

wobei γ die Euler-Mascheroni-Konstante ist und wobei die Notation o (1) eine Größe bezeichnet, die von der aktuellen Variablen (hier ist die Variable n ) so abhängt  , dass diese Größe gegen 0 geht, wenn die Variable gegen Unendlich geht .

Daraus folgt, dass die Summe von q geraden Termen erfüllt

${\displaystyle {1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 6}+\cdots +{1 \over 2q}={1 \over 2}\,\gamma +{1 \over 2 }\ln q+o(1),}$

und wenn man die Differenz bildet, sieht man, dass die Summe von p ungeraden Termen erfüllt

${\displaystyle {1}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+\cdots +{1 \over 2p-1}={1 \over 2}\,\gamma +{1 \over 2} \ln p+\ln 2+o(1).}$

Nehmen wir an, dass zwei positive ganze Zahlen a und b gegeben sind, und dass eine Neuordnung der alternierenden harmonischen Reihe gebildet wird, indem der Reihe nach ein positiver Term aus der alternierenden harmonischen Reihe genommen wird, gefolgt von b negativen Termen, und dieses Muster im Unendlichen wiederholt wird ( die alternierende Reihe selbst entspricht a = b = 1 , das Beispiel im vorherigen Abschnitt entspricht a  = 1, b  = 2):

${\displaystyle {1}+{1 \over 3}+\cdots +{1 \over 2a-1}-{1 \over 2}-{1 \over 4}-\cdots -{1 \over 2b}+ {1 \over 2a+1}+\cdots +{1 \over 4a-1}-{1 \over 2b+2}-\cdots}$

Dann enthält die Teilsumme der Ordnung ( a + b ) n dieser umgeordneten Reihe p = a  n positive ungerade Terme und q = b  n negative gerade Terme, also

${\displaystyle S_{(a+b)n}={1 \over 2}\ln p+\ln 2-{1 \over 2}\ln q+o(1)={1 \over 2}\ln( a/b)+\ln 2+o(1).}$

Daraus folgt, dass die Summe dieser umgeordneten Reihe

${\displaystyle {1 \over 2}\ln(a/b)+\ln 2=\ln \left(2{\sqrt {a/b}}\right).}$

Nehmen wir nun allgemein an, dass eine umgeordnete Reihe der alternierenden harmonischen Reihe so organisiert ist, dass das Verhältnis p _n  /  q _n zwischen der Anzahl der positiven und negativen Terme in der Teilsumme der Ordnung n gegen einen positiven Grenzwert r . Dann ist die Summe einer solchen Umordnung

${\displaystyle \ln \left(2{\sqrt {r}}\right),}$

und dies erklärt, dass jede reelle Zahl x als Summe einer umgeordneten Reihe der alternierenden harmonischen Reihe erhalten werden kann: es genügt, eine Umordnung zu bilden, für die der Grenzwert r gleich e ^{2 x}  / 4 ist .

Nachweisen

Existenz einer Umordnung, die sich zu jedem positiven reellen M . summiert

Der Einfachheit halber nimmt dieser Beweis zunächst an, dass a _n  ≠ 0 für jedes n . Der allgemeine Fall erfordert eine einfache Modifikation, die unten angegeben ist. Denken Sie daran, dass eine bedingt konvergente Reihe reeller Terme sowohl unendlich viele negative Terme als auch unendlich viele positive Terme hat. Definieren Sie zunächst zwei Größen und durch: ${\displaystyle a_{n}^{+}}$${\displaystyle a_{n}^{-}}$

${\displaystyle a_{n}^{+}={\frac {a_{n}+|a_{n}|}{2}},\quad a_{n}^{-}={\frac {a_{ n}-|a_{n}|}{2}}.}$

Das heißt, die Reihe enthält alle a _n positiv, wobei alle negativen Terme durch Nullen ersetzt sind, und die Reihe enthält alle a _n negativ, wobei alle positiven Terme durch Nullen ersetzt sind. Da bedingt konvergent ist, divergieren sowohl die positive als auch die negative Reihe. Sei M eine positive reelle Zahl. Nehmen Sie der Reihe nach gerade so viele positive Terme , dass ihre Summe M überschreitet  . Angenommen, wir benötigen p Terme – dann ist die folgende Aussage wahr: ${\textstyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{+}}$${\textstyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{-}}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty}a_{n}}$${\displaystyle a_{n}^{+}}$

${\displaystyle \sum_{n=1}^{p-1}a_{n}^{+}\leq M<\sum_{n=1}^{p}a_{n}^{+}. }$

Dies ist für jedes M  > 0 möglich, da die Partialsummen von zu tendieren . Die Null-Terme verwerfen, die man schreiben könnte ${\displaystyle a_{n}^{+}}$${\displaystyle +\infty}$

${\displaystyle \sum_{n=1}^{p}a_{n}^{+}=a_{\sigma (1)}+\cdots +a_{\sigma (m_{1})},\quad a_{\sigma (j)}>0,\ \ \sigma (1)<\dots <\sigma (m_{1})=p.}$

Jetzt fügen wir gerade genug negative Terme hinzu , sagen wir q davon, so dass die resultierende Summe kleiner als M ist . Dies ist immer möglich, da die Teilsummen von tendenziell sind . Jetzt haben wir: ${\displaystyle a_{n}^{-}}$${\displaystyle a_{n}^{-}}$${\displaystyle -\infty}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{p}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q}a_{n}^{-}<M\leq \sum _{n=1}^{p}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q-1}a_{n}^{-}.}$

Auch hier darf man schreiben

${\displaystyle \sum_{n=1}^{p}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q}a_{n}^{-}=a_{\sigma ( 1)}+\cdots +a_{\sigma (m_{1})}+a_{\sigma (m_{1}+1)}+\cdots +a_{\sigma (n_{1})},}$

mit

${\displaystyle \sigma (m_{1}+1)<\dots <\sigma (n_{1})=q.}$

Die Abbildung σ ist injektiv, und 1 gehört zum Bereich von σ , entweder als Bild von 1 (wenn a ₁  > 0) oder als Bild von m  ₁ + 1 (wenn a ₁  < 0). Wiederholen Sie nun den Vorgang, gerade genug positive Terme hinzuzufügen, um M zu überschreiten  , beginnend mit n = p + 1 , und dann fügen Sie gerade genug negative Terme hinzu, um kleiner als  M zu sein , beginnend mit n = q + 1 . Erweitern Sie σ injektiv, um alle bisher gewählten Terme abzudecken, und beachten Sie, dass jetzt oder vorher eine _{2 gewählt worden sein} muss, also 2 zum Bereich dieser Erweiterung gehört. Der Prozess wird unendlich viele solcher " Richtungsänderungen " haben. Ein schließlich erhält eine Umlagerung  Σ  ein _{σ  ( n )} . Nach der ersten Richtungsänderung, wobei jede Teilsumme von  Σ  a _{σ  ( n )} unterscheidet sich von M von höchstens der Absolutwert oder der Laufzeit , daß spätestens Richtungswechsel erschien. Aber Σ  a _n konvergiert, so wie n gegen unendlich geht, die jeweils ein _n , und somit auf 0 gehen, die Teilsumme von  Σ  einer _{σ  ( n )} sind in der Regel M , so dass die folgenden Bedingungen erfüllt ist: ${\displaystyle a_{p_{j}}^{+}}$${\displaystyle |a_{q_{j}}^{-}|}$${\displaystyle a_{p_{j}}^{+}}$${\displaystyle a_{q_{j}}^{-}}$

${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{\sigma(n)}=M.}$

Das gleiche Verfahren kann verwendet werden, um die Konvergenz zu M negativ oder null zu zeigen .

Man kann nun eine formale induktive Definition der Umlagerung σ geben , die im Allgemeinen funktioniert. Für jede ganze Zahl k  ≥ 0 ist , eine endliche Menge A _k aus ganzen Zahlen und eine reelle Zahl S _k definiert. Für jedes k  > 0 definiert die Induktion den Wert σ ( k ), die Menge A _k besteht aus den Werten σ ( j ) für j  ≤ k und S _k ist die Teilsumme der umgeordneten Reihe. Die Definition lautet wie folgt:

• Für k  = 0 beginnt die Induktion mit A ₀ leer und S ₀  = 0.
• Für jeden k  ≥ 0 ist , gibt es zwei Fälle: wenn S _k  ≤ M , dann σ ( k + 1) ist die kleinste ganze Zahl n  ≥ 1 , so dass n nicht ist A _k und ein _n  ≥ 0; wenn S _k  > M , dann σ ( k + 1) ist die kleinste ganze Zahl n  ≥ 1 , so dass n nicht ist A _k und a _n  <0. In beiden Fällen setzt man
  $${\displaystyle A_{k+1}=A_{k}\cup \{\sigma (k+1)\}\,;\quad S_{k+1}=S_{k}+a_{\sigma (k +1)}.}$$

  

Mit den obigen Überlegungen kann bewiesen werden, dass σ eine Permutation der ganzen Zahlen ist und dass die permutierte Reihe gegen die gegebene reelle Zahl M konvergiert  .

Existenz einer ins Unendliche divergierenden Umordnung

Sei eine bedingt konvergente Reihe. Das Folgende ist ein Beweis dafür, dass es eine Umordnung dieser Reihe gibt, die dazu tendiert (ein ähnliches Argument kann verwendet werden, um zu zeigen, dass auch erreicht werden kann). ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty}a_{i}}$${\displaystyle\infty}$${\displaystyle -\infty}$

Sei die Folge von Indizes, bei denen jeder positiv ist, und definieren Sie die Indizes, bei denen jeder negativ ist (wieder unter der Annahme, dass dies niemals 0 ist). Jede natürliche Zahl erscheint in genau einer der Sequenzen und${\displaystyle p_{1}<p_{2}<p_{3}<\cdots}$${\displaystyle a_{p_{i}}}$${\displaystyle n_{1}<n_{2}<n_{3}<\cdots}$${\displaystyle a_{n_{i}}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle (p_{i})}$${\displaystyle (n_{i}).}$

Sei die kleinste natürliche Zahl, so dass ${\displaystyle b_{1}}$

${\displaystyle \sum_{i=1}^{b_{1}}a_{p_{i}}\geq |a_{n_{1}}|+1.}$

Ein solcher Wert muss existieren, da die Teilfolge der positiven Terme divergiert. In ähnlicher Weise sei die kleinste natürliche Zahl, so dass: ${\displaystyle (a_{p_{i}}),}$${\displaystyle (a_{i}),}$${\displaystyle b_{2}}$

${\displaystyle \sum_{i=b_{1}+1}^{b_{2}}a_{p_{i}}\geq |a_{n_{2}}|+1,}$

und so weiter. Dies führt zur Permutation

${\displaystyle (\sigma (1),\sigma (2),\sigma (3),\ldots )=(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{b_{1}},n_{ 1},p_{b_{1}+1},p_{b_{1}+2},\ldots ,p_{b_{2}},n_{2},\ldots).}$

Und die neu geordnete Reihe weicht dann zu . ${\textstyle \sum_{i=1}^{\infty}a_{\sigma (i)},}$${\displaystyle\infty}$

Aus der Wahl der Terme folgt, dass die Summe der ersten Terme der umgeordneten Reihe mindestens 1 ist und keine Teilsumme in dieser Gruppe kleiner als 0 ist. Ebenso ist die Summe der nächsten Terme ebenfalls mindestens 1 , und auch in dieser Gruppe ist keine Teilsumme kleiner als 0. Im weiteren Verlauf genügt dies, um zu beweisen, dass diese umgeordnete Summe tatsächlich dazu tendiert,${\displaystyle b_{i}}$${\displaystyle b_{1}+1}$${\displaystyle b_{2}-b_{1}+1}$${\displaystyle\infty.}$

Existenz einer Umordnung, die sich keiner Grenze nähert, endlich oder unendlich

Tatsächlich, wenn bedingt konvergent ist, dann gibt es eine Umordnung davon, so dass die Teilsummen der umgeordneten Reihe eine dichte Teilmenge von bilden${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty}a_{n}}$${\displaystyle\mathbb{R}.}$

Verallgemeinerungen

Satz von Sierpiński

Im Satz von Riemann kann die Permutation, die zum Umordnen einer bedingt konvergenten Reihe verwendet wird, um einen gegebenen Wert in zu erhalten, beliebig viele nicht fixierte Punkte haben, dh alle Indizes der Terme der Reihe können umgeordnet werden. Man kann sich fragen, ob es möglich ist, nur die Indizes in einer kleineren Menge so umzuordnen, dass eine bedingt konvergente Reihe gegen eine willkürlich gewählte reelle Zahl konvergiert oder gegen (positiv oder negativ) unendlich divergiert. Die Antwort auf diese Frage ist ja, aber nur für kleinere Werte: Sierpiński hat bewiesen, dass man durch Neuordnung nur der positiven Terme eine Reihe erhalten kann, die gegen jeden vorgeschriebenen Wert kleiner oder gleich der Summe der ursprünglichen Reihe konvergiert, aber größere Werte im Allgemeinen nicht erreicht werden. Diese Frage wurde auch mit dem Begriff der Ideale untersucht : Wilczyński hat beispielsweise bewiesen, dass es ausreicht, Umordnungen zu betrachten, deren Menge nicht fester Indizes zum Ideal der asymptotischen Dichte Null gehört (d. h. es genügt, eine Menge umzuordnen von Indizes der asymptotischen Dichte Null). Filipów und Szuca haben bewiesen, dass auch andere Ideale diese Eigenschaft haben. ${\displaystyle \mathbb{R}\cup\{\infty ,-\infty\}}$

Satz von Steinitz

Bei einer konvergierenden Reihe & sgr;  a _n der komplexen Zahlen können mehrere Fälle auftreten , wenn die Menge der möglichen Summen Berücksichtigung für alle Serien & Sgr;  eine _{σ  ( n )} , erhalten durch Umordnen (Permutieren) , um die Bedingungen dieser Reihe:

• die Reihe ∑  a _n kann unbedingt konvergieren; dann konvergieren alle umgeordneten Reihen und haben dieselbe Summe: die Summenmenge der umgeordneten Reihe reduziert sich auf einen Punkt;
• die Reihe ∑  a _n konvergiert möglicherweise nicht unbedingt; wenn S die Menge der Summen der umgeordneten Reihen bezeichnet, die konvergieren, dann ist entweder die Menge S eine Gerade L in der komplexen Ebene  C , der Form
  $${\displaystyle L=\{a+tb:t\in\mathbb{R}\},\quad a,b\in\mathbb{C},\b\neq 0,}$$

  
  oder die Menge S ist die ganze komplexe Ebene  C .

Allgemeiner ist eine konvergierende Reihe von Vektoren in einem endlichen dimensionalen realen gegeben, Vektorraum E , ist der Satz von Summen von neu angeordneten Reihe Konvergieren ein affiner Unterraum von  E .

Siehe auch

• Absolute Konvergenz § Umordnungen und unbedingte Konvergenz

Verweise

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• Kadetten, VM; Kadets, MI (1991). "Kapitel 1.1 Der Riemann-Satz, Kapitel 6 Der Steinitz-Satz und B -Konvexität". Reihenumlagerungen in Banachräumen . Übersetzungen mathematischer Monographien. 86 (Übersetzt von Harold H. McFaden aus dem Russischen (Tartu) 1988 ed.). Providence, RI: Amerikanische Mathematische Gesellschaft. S. iv+123. ISBN 0-8218-4546-2. MR  1.108.619 .
• Kadetten, Michail I.; Kadets, Vladimir M. (1997). „Kapitel 1.1 Der Satz von Riemann, Kapitel 2.1 Der Satz von Steinitz über den Summenbereich einer Reihe, Kapitel 7 Der Satz von Steinitz und die B- Konvexität“. Reihen in Banachräumen: Bedingte und unbedingte Konvergenz . Operatortheorie: Fortschritte und Anwendungen. 94 . Übersetzt von Andrei Iacob aus dem Russischen. Basel: Birkhäuser Verlag. S. viii+156. ISBN 3-7643-5401-1. MR  1.442.255 .
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