Verbundene Kategorie - Connected category

In der Kategorietheorie , einem Zweig der Mathematik , ist eine verbundene Kategorie eine Kategorie, in der für jeweils zwei Objekte X und Y eine endliche Folge von Objekten existiert

${\ displaystyle X = X_ {0}, X_ {1}, \ ldots, X_ {n-1}, X_ {n} = Y}$

mit Morphismen

${\ displaystyle f_ {i}: X_ {i} \ bis X_ {i + 1}}$

oder

${\ displaystyle f_ {i}: X_ {i + 1} \ bis X_ {i}}$

für jede 0 ≤ i < n (beide Richtungen sind in derselben Reihenfolge zulässig). Entsprechend ist eine Kategorie J verbunden, wenn jeder Funktor von J zu einer diskreten Kategorie konstant ist. In einigen Fällen ist es zweckmäßig, die zu verbindende leere Kategorie nicht zu berücksichtigen.

Ein stärkerer Begriff der Konnektivität wäre, mindestens einen Morphismus f zwischen einem Paar von Objekten X und Y zu erfordern . Jede Kategorie mit dieser Eigenschaft ist im obigen Sinne verbunden.

Eine kleine Kategorie ist genau dann verbunden , wenn ihr zugrunde liegender Graph schwach verbunden ist , was bedeutet, dass sie verbunden ist, wenn man die Richtung der Pfeile ignoriert.

Jede Kategorie J kann als disjunkte Vereinigung (oder Nebenprodukt ) einer Sammlung verbundener Kategorien geschrieben werden, die als verbundene Komponenten von J bezeichnet werden . Jede angeschlossene Komponente ist eine volle Unterkategorie von J .

Verweise

• Mac Lane, Saunders (1998). Kategorien für den Arbeitsmathematiker . Diplomtexte in Mathematik 5 (2. Aufl.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8.

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