Kontinuierliche Geometrie - Continuous geometry
In der Mathematik ist die kontinuierliche Geometrie ein Analogon der von Neumann ( 1936 , 1998 ) eingeführten komplexen projektiven Geometrie , bei der die Dimension eines Unterraums nicht in einer diskreten Menge 0, 1, ..., n liegt , sondern ein Element sein kann des Einheitsintervalls [0,1]. Von Neumann wurde durch seine Entdeckung von von Neumann-Algebren mit einer Dimensionsfunktion motiviert, die einen kontinuierlichen Dimensionsbereich annimmt, und das erste Beispiel einer kontinuierlichen Geometrie außer dem projektiven Raum waren die Projektionen des hyperfiniten Typ-II-Faktors .
Definition
Menger und Birkhoff gaben Axiome für die projektive Geometrie in Bezug auf das Gitter linearer Unterräume des projektiven Raums. Von Neumanns Axiome für stetige Geometrie sind eine abgeschwächte Form dieser Axiome.
Eine stetige Geometrie ist ein Gitter L mit den folgenden Eigenschaften
- L ist modular .
- L ist fertig .
- Die Gitteroperationen ∧, ∨ erfüllen eine bestimmte Stetigkeitseigenschaft,
- , wobei A eine gerichtete Menge ist und wenn α < β dann a α < a β , und die gleiche Bedingung mit und ∨ umgekehrt.
- Jedes Element in L hat ein Komplement (nicht unbedingt eindeutig). Eine Ergänzung eines Elements a ist ein Element , b mit einem ∧ b = 0 , a ∨ b = 1 , wobei 0 und 1 sind die minimalen und maximalen Elemente sind L .
- L ist irreduzibel: Dies bedeutet, dass die einzigen Elemente mit eindeutigen Komplementen 0 und 1 sind.
Beispiele
- Der endlichdimensionale komplexe projektive Raum, oder besser gesagt seine Menge linearer Unterräume, ist eine kontinuierliche Geometrie, deren Dimensionen Werte in der diskreten Menge {0, 1/ n , 2/ n , ..., 1} annehmen.
- Die Projektionen einer endlichen Typ-II-von-Neumann-Algebra bilden eine kontinuierliche Geometrie mit Dimensionen, die Werte im Einheitsintervall [0,1] annehmen.
- Kaplansky (1955) zeigte, dass jedes orthokomplementierte vollständige modulare Gitter eine kontinuierliche Geometrie ist.
- Wenn V ein Vektorraum über einem Körper (oder Divisionsring ) F ist , dann gibt es eine natürliche Abbildung vom Gitter PG( V ) der Unterräume von V auf das Gitter der Unterräume von V ⊗ F 2 , die die Dimensionen mit 2 multipliziert. So wir können ein direktes Limit von nehmen
- Dies hat eine Dimensionsfunktion, die alle dyadischen rationalen Werte zwischen 0 und 1 annimmt . Ihre Vervollständigung ist eine kontinuierliche Geometrie, die Elemente jeder Dimension in [0,1] enthält. Diese Geometrie wurde von Neumann (1936b) konstruiert und wird als kontinuierliche Geometrie über "F" bezeichnet.
Abmessungen
Dieser Abschnitt fasst einige der Ergebnisse von von Neumann (1998 , Teil I) zusammen . Diese Ergebnisse ähneln und wurden von Neumanns Arbeit über Projektionen in von Neumann-Algebren motiviert.
Zwei Elemente a und b von L genannt Perspektive , geschrieben ein \ b , wenn sie eine gemeinsame Ergänzung haben. Dies ist eine Äquivalenzrelation auf L ; der Beweis, dass es transitiv ist, ist ziemlich schwer.
Die Äquivalenzklassen A , B , ... von L insgesamt aufweisen , um den für sie definierten A ≤ B , wenn es einige ist eine in A und B in B mit einem ≤ b . (Dies muss nicht für alle a in A und b in B gelten .)
Die Dimensionsfunktion D von L zum Einheitsintervall ist wie folgt definiert.
- Wenn Äquivalenzklassen A und B enthalten Elemente a und b mit a ∧ b = 0 dann ihrer Summe A + B ist definiert als die Äquivalenzklasse seiner ein ∨ b . Andernfalls ist die Summe A + B nicht definiert. Für eine positive ganze Zahl n ist das Produkt nA als die Summe von n Kopien von A definiert , wenn diese Summe definiert ist.
- Für die Äquivalenzklassen A und B mit A nicht {0} wird die ganze Zahl [ B : A ] als die eindeutige ganze Zahl n ≥ 0 definiert, so dass B = nA + C mit C < B ist .
- Für die Äquivalenzklassen A und B mit A nicht {0} wird die reelle Zahl ( B : A ) als Grenzwert von [ B : C ] / [ A : C ] definiert, da C eine minimale Folge durchläuft: das bedeutet, dass entweder C enthält ein minimales Element ungleich null oder eine unendliche Folge von Elementen ungleich null, von denen jedes höchstens die Hälfte des vorhergehenden ist.
- D ( a ) ist definiert als ({ a } : {1}) , wobei { a } und {1} die Äquivalenzklassen sind, die a und 1 enthalten.
Das Bild von D kann das ganze Einheitsintervall oder die Menge der Zahlen 0, 1/ n , 2/ n , ..., 1 für eine positive ganze Zahl n sein . Zwei Elemente von L haben genau dann das gleiche Bild unter D, wenn sie perspektivisch sind, also gibt es eine Injektion aus den Äquivalenzklassen in eine Teilmenge des Einheitsintervalls. Die Dimensionsfunktion D hat die Eigenschaften:
- Wenn a < b dann D ( a ) < D ( b )
- D ( a ∨ b ) + D ( a ∧ b ) = D ( a ) + D ( b )
- D ( a ) = 0 genau dann wenn a = 0 und D ( a ) = 1 genau dann wenn a = 1
- 0 ≤ D ( a ) ≤ 1
Koordinatensatz
In der projektiven Geometrie besagt der Satz von Veblen-Young , dass eine projektive Geometrie der Dimension mindestens 3 isomorph zur projektiven Geometrie eines Vektorraums über einem Teilungsring ist. Dies kann so umformuliert werden, dass die Unterräume in der projektiven Geometrie den Hauptidealen einer Matrixalgebra über einem Teilungsring entsprechen.
Neumann verallgemeinerte dies auf kontinuierliche Geometrien und allgemeiner auf ergänzte modulare Gitter wie folgt ( Neumann 1998 , Teil II). Sein Satz besagt, dass, wenn ein komplementiertes modulares Gitter L eine Ordnung von mindestens 4 hat, die Elemente von L den Hauptidealen eines regulären von Neumann-Rings entsprechen . Genauer gesagt, wenn das Gitter die Ordnung n hat, dann kann der reguläre von-Neumann-Ring als ein n- mal- n- Matrixring M n ( R ) über einem anderen regulären von-Neumann-Ring R angesehen werden . Hier hat ein komplementiertes modulares Gitter die Ordnung n, wenn es eine homogene Basis aus n Elementen hat, wobei eine Basis aus n Elementen a 1 , ..., a n besteht, so dass a i ∧ a j = 0 wenn i ≠ j , und a 1 ∨ ... ∨ a n = 1 , und eine Basis heißt homogen, wenn zwei beliebige Elemente perspektivisch sind. Die Ordnung eines Gitters muss nicht eindeutig sein; zum Beispiel hat jedes Gitter Ordnung 1. Die Bedingung, dass das Gitter eine Ordnung von mindestens 4 hat, entspricht der Bedingung, dass die Dimension mindestens 3 im Satz von Veblen-Young ist, da ein projektiver Raum genau dann eine Dimension von mindestens 3 hat, wenn es hat einen Satz von mindestens 4 unabhängigen Punkten.
Umgekehrt bilden die Hauptideale eines regulären von Neumann-Rings ein komplementiertes modulares Gitter ( Neumann 1998 , Teil II Satz 2.4).
Nehmen wir an, R sei ein regulärer von Neumann-Ring und L sein Gitter von Hauptrechtsidealen, so dass L ein komplementiertes modulares Gitter ist. Neumann zeigte, dass L genau dann eine stetige Geometrie ist, wenn R ein irreduzibler vollständiger Rangring ist .
Verweise
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