Kontinuierlicher Linearoperator - Continuous linear operator

In der Funktionsanalyse und verwandten Gebieten der Mathematik ist ein stetiger linearer Operator oder eine stetige lineare Abbildung eine stetige lineare Transformation zwischen topologischen Vektorräumen .

Ein Operator zwischen zwei normierten Räumen ist genau dann ein beschränkter linearer Operator, wenn er ein stetiger linearer Operator ist.

Kontinuierliche lineare Operatoren

Charakterisierungen der Kontinuität

Angenommen, dies ist ein linearer Operator zwischen zwei topologischen Vektorräumen (TVSs). Folgendes ist gleichwertig: ${\displaystyle F:X\to Y}$

1. ${\displaystyle F}$ ist stetig bei 0 in continuous ${\displaystyle X.}$
2. ${\displaystyle F}$ ist irgendwann kontinuierlich ${\displaystyle x_{0}\in X.}$
3. ${\displaystyle F}$ ist überall durchgehend in ${\displaystyle X}$

und wenn ist lokalkonvexe dann können wir zu dieser Liste hinzuzufügen: ${\displaystyle Y}$

4. zu jeder stetigen Seminorm auf gibt es eine stetige Seminorm auf mit${\displaystyle q}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle q\circ F\leq p.}$

und wenn und sind beide lokal konvexe Hausdorff-Räume, dann können wir dieser Liste hinzufügen: ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

5. ${\displaystyle F}$ist schwach stetig und seine transponieren Karten stetige Teilmengen von bis stetigen Teilmengen von${\displaystyle {}^{t}F:Y^{\prime}\to X^{\prime}}$${\displaystyle Y^{\prime}}$${\displaystyle X^{\prime}.}$

und wenn ist pseudometrizable (dh , wenn es eine zählbare hat Umgebungsbasis am Ursprung) , dann können wir zu dieser Liste hinzuzufügen: ${\displaystyle X}$

6. ${\displaystyle F}$ist ein beschränkter linearer Operator (dh er bildet beschränkte Teilmengen von auf beschränkte Teilmengen von ab ).${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

und wenn und seminormierte Räume sind, können wir dieser Liste hinzufügen: ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

7. für jedes existiert ein solches, das impliziert ;${\displaystyle r>0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle \|xy\|<\delta }$${\displaystyle \|Fx-Fy\|<r}$

und wenn ist lokal begrenzt dann können wir zu dieser Liste hinzuzufügen: ${\displaystyle Y}$

8. ${\displaystyle F}$ bildet eine Umgebung von 0 auf eine beschränkte Teilmenge von ab ${\displaystyle Y.}$

und wenn und sind Hausdorff lokal konvexe TVSs mit endlich-dimensionalen dann können wir dieser Liste hinzufügen: ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$

9. der Graph von ist abgeschlossen in${\displaystyle F}$${\displaystyle X\times Y.}$

Ausreichende Bedingungen für Kontinuität

Angenommen, dies ist ein linearer Operator zwischen zwei TVSs. ${\displaystyle F:X\to Y}$

• Existiert eine Umgebung von 0 in solchen, die eine beschränkte Teilmenge von ist, dann ist sie stetig.${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F(U)}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle F}$
• If ist ein pseudometrisierbares TVS und bildet begrenzte Teilmengen von auf beschränkte Teilmengen von dann ab .${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle F}$

Eigenschaften stetiger linearer Operatoren

Ein lokal konvexes metrisierbares TVS ist genau dann normierbar, wenn jedes lineare Funktional darauf stetig ist.

Ein stetiger linearer Operator bildet beschränkte Mengen in beschränkte Mengen ab.

Der Beweis verwendet die Tatsache, dass die Translation einer offenen Menge in einem linearen topologischen Raum wieder eine offene Menge ist, und die Gleichheit

${\displaystyle F^{-1}(D)+x_{0}=F^{-1}\left(D+F\left(x_{0}\right)\right)}$

für jede Teilmenge von und alle, die aufgrund der Additivität von wahr sind${\displaystyle D}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x_{0}\in X,}$${\displaystyle F.}$

Kontinuierliche lineare Funktionale

Jedes lineare Funktional auf einem TVS ist ein linearer Operator, sodass alle oben beschriebenen Eigenschaften für stetige lineare Operatoren auf sie zutreffen. Aufgrund ihrer speziellen Natur können wir jedoch über stetige lineare Funktionale noch mehr sagen als über allgemeinere stetige lineare Operatoren.

Charakterisierung kontinuierlicher linearer Funktionale

Sei ein topologischer Vektorraum (TVS) (wir nehmen nicht an, dass er Hausdorff oder lokal konvex ist ) und sei ein lineares Funktional auf Folgende sind äquivalent: ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X.}$

1. ${\displaystyle f}$ ist kontinuierlich.
2. ${\displaystyle f}$ ist im Ursprung stetig.
3. ${\displaystyle f}$ ist an einem Punkt von . kontinuierlich ${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle f}$ ist gleichmäßig stetig auf ${\displaystyle X.}$
5. Es existiert eine Umgebung des Ursprungs, die begrenzt ist.${\displaystyle U}$${\displaystyle f(U)}$
6. Der Kern von ist abgeschlossen in${\displaystyle f}$${\displaystyle X.}$
7. Entweder oder aber der Kern ist nicht dicht in${\displaystyle f=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X.}$
8. ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$fortlaufend ist, wobei das bezeichnet Realteil von${\displaystyle \operatorname {Re} f}$${\displaystyle f.}$
9. Es existiert eine stetige Seminorm auf so dass${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle |f|\leq p.}$
10. Der Graph von ist geschlossen.${\displaystyle f}$

und wenn ist pseudometrizable (dh , wenn es eine zählbare hat Umgebungsbasis am Ursprung) , dann können wir zu dieser Liste hinzuzufügen: ${\displaystyle X}$

11. ${\displaystyle f}$ist lokal begrenzt (dh es bildet begrenzte Teilmengen auf beschränkte Teilmengen ab).

und wenn zusätzlich ein Vektorraum über den reellen Zahlen liegt (was insbesondere bedeutet, dass sie reellwertig sind), dann können wir dieser Liste hinzufügen: ${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

12. Es existiert eine stetige Seminorm auf so dass${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f\leq p.}$
13. Für einige reelle ist der Halbraum geschlossen.${\displaystyle r,}$${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq r\}}$
14. Die obige Aussage wurde jedoch mit dem Wort "some" durch "any" ersetzt.

und wenn es sich um einen komplexen topologischen Vektorraum (TVS) handelt, können wir dieser Liste hinzufügen: ${\displaystyle X}$

15. Der Imaginärteil von ist stetig.${\displaystyle f}$

Wenn also ein Komplex dann entweder alle drei und sind kontinuierlich (resp. Begrenzt ) oder auch alle drei sind diskontinuierlich (resp. Unbegrenzt). ${\displaystyle X}$${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f,}$${\displaystyle \operatorname {Im} f}$

Ausreichende Bedingungen für stetige lineare Funktionale

• Jede lineare Funktion auf einem endlichdimensionalen topologischen Hausdorff-Vektorraum ist stetig.
• Wenn ein TVS ist, dann ist jedes beschränkte lineare Funktional auf genau dann stetig, wenn jede beschränkte Teilmenge von in einem endlichdimensionalen Vektorteilraum enthalten ist.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Eigenschaften stetiger linearer Funktionale

Wenn ein Komplex ist normierter Raum und ist eine Linearfunktion auf dann (wobei insbesondere eine Seite unendlich ist, wenn und nur wenn die andere Seite ist unendlich). ${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \|f\|=\|\operatorname {Re} f\|}$

Jedes nicht-triviale stetige lineare Funktional auf einem TVS ist eine offene Abbildung . Beachten Sie, dass wenn ein reeller Vektorraum ist, ein lineares Funktional auf und eine Seminorm auf dann genau dann, wenn${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle |f|\leq p}$${\displaystyle f\leq p.}$

Siehe auch

• Begrenzter linearer Operator
• Diskontinuierliche lineare Karte
• Lineare Funktionen
• Lokalkonvexer topologischer Vektorraum  – Ein Vektorraum mit einer Topologie, die durch konvexe offene Mengen definiert ist
• Positives lineares Funktional
• Topologien auf Räumen linearer Abbildungen
• Topologischer Vektorraum  – Vektorraum mit dem Begriff der Nähe
• Unbegrenzter Operator

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