Lokal konvexer topologischer Vektorraum - Locally convex topological vector space

In der Funktionalanalysis und verwandten Gebieten der Mathematik sind lokal konvexe topologische Vektorräume ( LCTVS ) oder lokal konvexe Räume Beispiele für topologische Vektorräume (TVS), die normierte Räume verallgemeinern . Sie können wie folgt definiert werden topologischen Vektorräume , dessen Topologie erzeugt durch Übersetzungen ausgewogen , saugfähige , konvexe Mengen . Alternativ können sie als Vektorraum mit einer Familie von Seminormen definiert werden , und eine Topologie kann in Bezug auf diese Familie definiert werden. Obwohl solche Räume im Allgemeinen nicht unbedingt normierbar sind , ist die Existenz einer konvexen lokalen Basis für den Nullvektor stark genug, um den Satz von Hahn-Banach zu halten, was zu einer ausreichend reichen Theorie stetiger linearer Funktionale führt .

Fréchet-Räume sind lokal konvexe Räume, die vollständig metrisierbar sind (mit einer Auswahl der vollständigen Metrik). Sie sind Verallgemeinerungen von Banach-Räumen , die vollständige Vektorräume in Bezug auf eine durch eine Norm erzeugte Metrik sind .

Geschichte

Metrisierbare Topologien auf Vektorräumen wurden seit ihrer Einführung in Maurice Fréchets Doktorarbeit von 1902 Sur quelques points du calcul fonctionnel (wo der Begriff einer Metrik erstmals eingeführt wurde) untersucht. Nachdem der Begriff eines allgemeinen topologischen Raums 1914 von Felix Hausdorff definiert wurde , obwohl lokal konvexe Topologien von einigen Mathematikern implizit verwendet wurden, scheint bis 1934 nur John von Neumann die schwache Topologie auf Hilberträumen und die starke Operatortopologie explizit definiert zu haben auf Operatoren auf Hilberträumen. Schließlich führte von Neumann 1935 die allgemeine Definition eines lokal konvexen Raums ( von ihm konvexer Raum genannt ) ein.

Ein bemerkenswertes Beispiel für ein Ergebnis, das auf die Entwicklung und Verbreitung allgemeiner lokalkonvexer Räume (neben anderen Begriffen und Ergebnissen wie Netzen , der Produkttopologie und dem Satz von Tychonoff ) warten musste, um in seiner vollen Allgemeinheit bewiesen zu werden, ist das Banach-Alaoglu Satz, den Stefan Banach erstmals 1932 durch ein elementares Diagonalargument für den Fall separierbarer normierter Räume aufgestellt hat (in diesem Fall ist die Einheitskugel des Dualen metrisierbar ).

Definition

Angenommen, X ist ein Vektorraum über einem Teilkörper der komplexen Zahlen (normalerweise selbst oder ). Ein lokal konvexer Raum wird entweder durch konvexe Mengen oder äquivalent durch Seminormen definiert. ${\displaystyle\mathbb{K},}$${\displaystyle\mathbb{C}}$${\displaystyle \mathbb{R}}$

Definition über konvexe Mengen

Eine Teilmenge C in X heißt

1. Konvexe , wenn für alle x , y in C und , tx + (1 - t ) y ist in C . Mit anderen Worten enthält C alle Liniensegmente zwischen Punkten in C .${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$
2. Eingekreist , wenn für alle x in C , & lgr; x ist in C , wenn | & lgr; | = 1 . Wenn dies bedeutet, dass C gleich seiner Spiegelung durch den Ursprung ist. Denn es bedeutet für jedes x in C , C enthält den auf den Ursprung zentrierten Kreis durch x in dem von x erzeugten eindimensionalen komplexen Unterraum .${\displaystyle \mathbb{K} =\mathbb{R},}$${\displaystyle \mathbb{K} =\mathbb{C},}$
3. Ein Kegel (wenn das zugrunde liegende Feld geordnet ist ), wenn für alle x in C und 0 ≤ λ ≤ 1 λx in C ist .
4. Ausgeglichen , wenn für alle x in C , & lgr; x ist in C , wenn | & lgr; | 1 . Wenn dies bedeutet, dass, wenn x in C ist , C das Liniensegment zwischen x und − x enthält . Denn es bedeutet für jedes x in C , C enthält die Scheibe mit x an ihrem Rand, zentriert auf den Ursprung, in dem von x erzeugten eindimensionalen komplexen Unterraum . Entsprechend ist ein ausgeglichener Satz ein eingekreister Kegel.${\displaystyle \mathbb{K} =\mathbb{R},}$${\displaystyle \mathbb{K} =\mathbb{C},}$
5. Absorbierend oder absorbierend, wenn für jedes x in X so existiert , dass x in tC für alle erfüllt ist. Die Menge C kann um jeden "großen" Wert skaliert werden, um jeden Punkt im Raum zu absorbieren. ${\displaystyle r>0}$${\displaystyle t\in\mathbb{K}}$${\displaystyle |t|>r.}$
   • In jedem TVS ist jede Umgebung des Ursprungs absorbierend.
6. Absolut konvex oder eine Scheibe, wenn sie sowohl ausbalanciert als auch konvex ist. Dies ist gleichbedeutend damit, dass sie unter Linearkombinationen abgeschlossen ist, deren Koeffizienten sich absolut zu summieren ; eine solche Menge ist absorbierend, wenn sie ganz X umfasst .${\displaystyle \leq 1}$

Ein topologischer Vektorraum heißt lokal konvex, wenn der Ursprung eine Nachbarschaftsbasis (dh eine lokale Basis) hat, die aus konvexen Mengen besteht.

Tatsächlich hat jedes lokal konvexe TVS eine Nachbarschaftsbasis des Ursprungs, die aus absolut konvexen Mengen (dh Scheiben) besteht, wobei diese Nachbarschaftsbasis weiterhin so gewählt werden kann, dass sie auch vollständig aus offenen Mengen oder vollständig aus geschlossenen Mengen besteht. Jedes TVS hat eine Nachbarschaftsbasis im Ursprung, die aus ausgeglichenen Mengen besteht, aber nur ein lokal konvexes TVS hat eine Nachbarschaftsbasis im Ursprung, die aus Mengen besteht, die sowohl ausgeglichen als auch konvex sind. Es ist möglich, dass ein TVS einige Umgebungen des Ursprungs hat, die konvex und dennoch nicht lokal konvex sind.

Da die Translation (per Definition des "topologischen Vektorraums") stetig ist, sind alle Translationen Homöomorphismen , so dass jede Basis für die Umgebungen des Ursprungs in eine Basis für die Umgebungen eines beliebigen gegebenen Vektors übersetzt werden kann.

Definition über Seminormen

Eine Seminorm auf X ist eine Abbildung mit ${\displaystyle p:X\to\mathbb{R}}$

1. p ist positiv oder positiv semidefinit: ;${\displaystyle p(x)\geq 0}$
2. p ist positiv homogen oder positiv skalierbar: für jeden Skalar So insbesondere ;${\displaystyle p(sx)=|s|p(x)}$${\displaystyle s.}$${\displaystyle p(0)=0}$
3. p ist subadditiv. Es erfüllt die Dreiecksungleichung:${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y).}$

Wenn p erfüllen positive Bestimmtheit , die besagt , dass , wenn dann , dann p a norm . Während Seminormen im Allgemeinen keine Normen sein müssen, gibt es ein Analogon zu diesem Kriterium für Familien von Seminormen, die im Folgenden definierte Getrenntheit. ${\displaystyle p(x)=0}$${\displaystyle x=0}$

Definition : Wenn X ein Vektorraum und ist eine Familie von Halbnormen auf X dann eine Teilmenge von einer so genannten Basis von Halbnormen für , wenn für alle gibt es eine und eine echte , so dass${\displaystyle {\mathcal{P}}}$${\displaystyle {\mathcal{Q}}}$${\displaystyle {\mathcal{P}}}$${\displaystyle {\mathcal{P}}}$${\displaystyle p\in {\mathcal{P}}}$${\displaystyle q\in {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle p\leq rq.}$

Definition (zweite Version): Ein lokal konvexer Raum wird als Vektorraum X zusammen mit einer Familie von Seminormen auf X definiert .${\displaystyle {\mathcal{P}}}$

Seminorm-Topologie

Angenommen, X sei ein Vektorraum, über dem entweder die reellen oder die komplexen Zahlen sind, und es sei (bzw. bezeichne die offene (bzw. geschlossene) Kugel des Radius in einer Familie von Seminormen auf dem Vektorraum X eine kanonische Vektorraumtopologie auf X , die durch die Seminormen induzierte anfängliche Topologie genannt wird, macht sie zu einem topologischen Vektorraum (TVS) und ist per Definition die gröbste Topologie auf X, für die alle Abbildungen in stetig sind. ${\displaystyle\mathbb{K},}$${\displaystyle\mathbb{K}}$${\displaystyle B_{r}}$${\displaystyle B_{\leq r}}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle \mathbb{K}.}$${\displaystyle {\mathcal{P}}}$${\displaystyle {\mathcal{P}}}$

Dass die Vektorraumoperationen in dieser Topologie stetig sind, folgt aus den obigen Eigenschaften 2 und 3. Es ist leicht zu erkennen, dass der resultierende topologische Vektorraum "lokal konvex" im Sinne der ersten oben gegebenen Definition ist, weil jeder absolut konvex und absorbierend ist (und weil letztere Eigenschaften durch Translationen erhalten bleiben). ${\displaystyle U_{B,r}(0)}$

Es ist möglich , dass eine lokal konvexe Topologie auf einen Raum X durch eine Familie von Normen induziert werden , sondern für X auf nicht sein normierbar (die, zu haben , ist seine Topologie von einer einzigen Norm induziert werden).

Basis und Unterbasis

Angenommen, das ist eine Familie von Seminormen auf X , die eine lokal konvexe Topologie 𝜏 auf X induziert . Eine Unterbasis im Ursprung wird von allen Mengen der Form als p- Bereiche über und r- Bereiche über die positiven reellen Zahlen angegeben. Eine Basis im Ursprung ist durch die Sammlung aller möglichen endlichen Schnittmengen solcher Unterbasismengen gegeben. ${\displaystyle {\mathcal{P}}}$${\displaystyle p^{-1}\left(B_{<r}\right)=\left\{x\in X:p(x)<r\right\}}$${\displaystyle {\mathcal{P}}}$

Denken Sie daran, dass die Topologie eines TVS translationsinvariant ist, was bedeutet, dass, wenn S eine Teilmenge von X ist, die den Ursprung enthält, für jedes S eine Umgebung von 0 genau dann eine Umgebung von x ist ; es genügt also, die Topologie am Ursprung zu definieren. Eine Basis von Umgebungen von y für diese Topologie erhält man auf folgende Weise: für jede endliche Teilmenge F von und jedes let ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x+S}$${\displaystyle {\mathcal{P}}}$${\displaystyle r>0,}$

${\displaystyle U_{F,r}(y):=\left\{x\in X:p(xy)<r\ {\text{ für alle }}p\in F\right\}.}$

Basen von Seminormen und gesättigten Familien

Wenn X ein lokal konvexer Raum und eine Sammlung stetiger Seminormen auf X ist , dann heißt sie Basis stetiger Seminormen, wenn sie eine Basis von Seminormen für die Menge aller stetigen Seminormen auf X ist . Explizit bedeutet dies, dass es für alle stetigen Seminormen p auf X ein und ein reelles gibt, so dass${\displaystyle {\mathcal{P}}}$${\displaystyle {\mathcal{P}}}$${\displaystyle q\in {\mathcal {P}}}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle p\leq rq.}$

Wenn eine Base der kontinuierlichen Halbnormen für eine lokal konvexe TVS X dann ist die Familie aller Mengen der Form als q variiert und r variiert über die positiven reellen Zahlen, ist eine Basis der Nachbarschaften des Ursprungs in X (nicht nur eine Subbasis , es ist also nicht notwendig, endliche Schnittmengen solcher Mengen zu nehmen). ${\displaystyle {\mathcal{P}}}$${\displaystyle \left\{x\in X:q\left(x\right)<r\right\}}$${\displaystyle {\mathcal{P}}}$

Eine Familie von Seminormen auf einem Vektorraum X heißt gesättigt, wenn für jedes p und q in die durch definierte Seminorm zu gehört . ${\displaystyle {\mathcal{P}}}$${\displaystyle {\mathcal{P}}}$${\displaystyle x\mapsto\max\{p(x),q(x)\}}$${\displaystyle {\mathcal{P}}}$

Ist eine gesättigte Familie stetiger Seminormen, die die Topologie auf X induziert, dann bildet die Sammlung aller Mengen der Form als p Bereiche über und r Bereiche über alle positiven reellen Zahlen, eine Nachbarschaftsbasis im Ursprung bestehend aus konvexen offenen Mengen; Dies bildet eine Basis am Ursprung und nicht nur eine Unterbasis, so dass insbesondere keine endlichen Schnittmengen solcher Mengen genommen werden müssen. ${\displaystyle {\mathcal{P}}}$${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$${\displaystyle {\mathcal{P}}}$

Grundlage von Normen

Der folgende Satz impliziert, dass, wenn X ein lokal konvexer Raum ist, die Topologie von X genau dann durch eine Familie stetiger Normen auf X definiert werden kann (eine Norm ist eine Seminorm, wo impliziert ), wenn und nur dann, wenn es mindestens eine stetige Norm auf gibt X . Dies liegt daran, dass die Summe einer Norm und einer Seminorm eine Norm ist. Wenn also ein lokal konvexer Raum durch eine Familie von Seminormen (jede ist notwendigerweise stetig) definiert ist, dann wird die Familie von (auch stetigen) Normen durch Addieren einiger gegebener stetiger Norm zu jedem Element, wird notwendigerweise eine Familie von Normen sein, die dieselbe lokal konvexe Topologie definiert. Existiert auf einem topologischen Vektorraum X eine stetige Norm, dann ist X notwendigerweise Hausdorff, aber das Umgekehrte gilt im Allgemeinen nicht (auch nicht für lokal konvexe Räume oder Fréchet-Räume ). ${\displaystyle s}$${\displaystyle s(x)=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle {\mathcal{P}}}$${\displaystyle {\mathcal{P}}+n:=\left\{p+n:p\in {\mathcal{P}}\right\}}$${\displaystyle n}$

Netze

Angenommen, die Topologie eines lokal konvexen Raums X wird durch eine Familie stetiger Seminormen auf X induziert . Wenn und wenn ein Netz in X ist , dann in X genau dann, wenn für alle Außerdem, wenn Cauchy in X ist , dann gilt auch für alle${\displaystyle {\mathcal{P}}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x_{\bullet}=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle x_{\bullet}\to x}$${\displaystyle p\in {\mathcal{P}},}$ ${\displaystyle p\left(x_{\bullet}-x\right)=\left(p\left(x_{i}\right)-x\right)_{i\in I}.}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle p\left(x_{\bullet}\right)=\left(p\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}}$${\displaystyle p\in {\mathcal{P}}.}$

Gleichwertigkeit der Definitionen

Obwohl die Definition in Form einer Nachbarschaftsbasis ein besseres geometrisches Bild ergibt, ist die Definition in Form von Seminormen in der Praxis einfacher zu handhaben. Die Äquivalenz der beiden Definitionen folgt aus einer Konstruktion, die als Minkowski-Funktional oder Minkowski-Eichmaß bekannt ist. Das Hauptmerkmal der Halbnormen , die die Konvexität der gewährleistet , ε - Kugeln ist die Dreiecksungleichung .

Für einen absorbierenden Satz C , so daß , wenn x in ist C , dann tx in ist C , wenn , definieren die Minkowski Funktional von C zu sein ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$

${\displaystyle \mu_{C}(x)=\inf\{\lambda >0:x\in\lambda C\}.}$

Aus dieser Definition folgt, dass es eine Seminorm ist, wenn C balanciert und konvex ist (es ist nach Annahme auch absorbierend). Umgekehrt sind für eine Familie von Seminormen die Mengen ${\displaystyle \mu_{C}}$

${\displaystyle \left\{x:p_{\alpha_{1}}(x)<\varepsilon_{1},\ldots ,p_{\alpha_{n}}(x)<\varepsilon_{n }\rechts\}}$

bilden eine Basis aus konvex absorbierenden, ausgewogenen Sets.

Möglichkeiten zur Definition einer lokal konvexen Topologie

Weitere Definitionen

• Eine Familie von Halbnormen heißt insgesamt oder getrennt oder gesagt wird , getrennte Punkte , wenn immer dann , wenn für jeden hält α dann x notwendigerweise 0 . Ein lokal konvexer Raum ist genau dann Hausdorff, wenn er eine separierte Familie von Seminormen besitzt. Viele Autoren verwenden das Hausdorff-Kriterium in der Definition.${\displaystyle \left(p_{\alpha}\right)_{\alpha}}$${\displaystyle p_{\alpha}(x)=0}$
• Eine Pseudometrik ist eine Verallgemeinerung einer Metrik, die nicht die Bedingung erfüllt, dass nur dann ein lokal konvexer Raum pseudometrisierbar ist, d. Tatsächlich ist eine Pseudometrik, die dieselbe Topologie induziert, dann gegeben durch${\displaystyle d(x,y)=0}$${\displaystyle x=y.}$
  $${\displaystyle d(x,y)=\sum _{n}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}{\frac {p_{n}(xy)}{1+ p_{n}(xy)}}}$$

  
  (wobei 1/2 ⁿ durch jede positive summierbare Folge ersetzt werden kann ). Diese Pseudometrik ist translationsinvariant, aber nicht homogen und definiert daher keine (Pseudo-)Norm. Die Pseudometrik ist genau dann eine ehrliche Metrik, wenn die Familie der Seminormen getrennt ist, da dies genau dann der Fall ist, wenn der Raum Hausdorff ist. Ist der Raum außerdem vollständig, heißt der Raum Fréchet-Raum .${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle d(kx,ky)\neq |k|d(x,y),}$
• Wie jeder topologische Vektorraum ist auch ein lokal konvexer Raum ein einheitlicher Raum . Man kann also von gleichförmiger Stetigkeit , gleichförmiger Konvergenz und Cauchy-Folgen sprechen .
• Ein Cauchy-Netz in einem lokal konvexen Raum ist ein Netz { x _κ } _κ so dass für jedes ε > 0 und jede Seminorm p _α ein κ existiert mit für alle λ , μ > κ , p _α ( x _λ − x _μ ) < ε . Mit anderen Worten, das Netz muss in allen Seminormen gleichzeitig Cauchy sein. Die Definition der Vollständigkeit wird hier in Form von Netzen anstelle der bekannteren Folgen angegeben, da im Gegensatz zu Fréchet-Räumen, die metrisierbar sind, allgemeine Räume durch eine unzählbare Familie von Pseudometriken definiert werden können. Folgen, die per Definition abzählbar sind, können die Konvergenz in solchen Räumen nicht charakterisieren. Ein lokal konvexer Raum ist genau dann vollständig, wenn jedes Cauchy-Netz konvergiert.
• Eine Familie von Halbnormen wird zu einem Vorbestelltes Satz nach der Beziehung p _α ≤ p _β , wenn und nur wenn es vorhanden ist eine M > 0 , so dass für alle x , P _α ( x ) ≤ Mp _β ( x ) . Man sagt , es ist eine gerichtete Familie von Halbnormen , wenn die Familie a gerichtet Satz mit Zusatz wie die beitreten , mit anderen Worten , wenn für jede α und β gibt es einen γ , so dass p _α + p _β & le; p _γ . Jede Familie von Seminormen hat eine äquivalente gerichtete Familie, dh eine, die dieselbe Topologie definiert. Tatsächlich gegeben eine Familie { p _α } _{α & egr ; I} , lassen Φ die Menge der endlichen Teilmengen von sein ich , dann für jeden F in Φ definieren
  $${\displaystyle q_{F}=\sum _{\alpha\in F}p_{\alpha}.}$$

  
  Man kann prüfen, dass { q _F } _{F ∈ Φ} eine äquivalente gerichtete Familie ist.
• Wird die Topologie des Raumes aus einer einzigen Seminorm induziert, dann ist der Raum seminormierbar . Jeder lokal konvexe Raum mit einer endlichen Familie von Seminormen ist seminormierbar. Wenn der Raum außerdem Hausdorff ist (die Familie ist getrennt), dann ist der Raum normierbar, wobei die Norm durch die Summe der Seminormen gegeben ist. Hinsichtlich der offenen Mengen ist ein lokal konvexer topologischer Vektorraum genau dann seminormierbar, wenn 0 eine beschränkte Umgebung hat.

Ausreichende Bedingungen

Erweiterungsobjekt Hahn–Banach

Sei X ein TVS. Angenommen, ein Vektorunterraum M von X hat die Erweiterungseigenschaft, wenn jedes stetige lineare Funktional auf M zu einem stetigen linearen Funktional auf X erweitert werden kann . Angenommen , X hat die Hahn-Banach- Erweiterungseigenschaft ( HBEP ), wenn jeder Vektorunterraum von X die Erweiterungseigenschaft besitzt.

Der Satz von Hahn-Banach garantiert, dass jeder lokal konvexe Hausdorff-Raum den HBEP hat. Für vollständig metrisierbare TVSs gibt es eine Umkehrung:

Wenn ein Vektorraum X überabzählbare Dimensionen hat und wir ihn mit der feinsten Vektortopologie ausstatten, dann ist dies ein TVS mit dem HBEP, der weder lokal konvex noch metrisierbar ist.

Eigenschaften

Durchgehend ist eine Familie von stetigen Seminormen, die die Topologie von X erzeugen . ${\displaystyle {\mathcal{P}}}$

Topologische Eigenschaften

• Angenommen, Y ist eine TVS (nicht unbedingt lokal konvex oder Hausdorff) über den reellen oder komplexen Zahlen. Dann sind die offenen konvexen Teilmengen von Y genau diejenigen, die für einige und einige positiv stetige sublineare Funktionale p auf Y die Form haben .${\displaystyle z+\{y\in Y:p(y)<1\}=\{y\in Y:p(yz)<1\}}$${\displaystyle z\in Y}$
• Wenn und dann genau dann, wenn für jede endliche Sammlung eine solche existiert , die${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x\in\operatorname {cl} S}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle p_{1},\ldots,p_{n}\in {\mathcal{P}}}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle \sum_{i=1}^{n}p_{i}(xs)<r.}$
• Der Abschluss von in X ist gleich${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle \bigcap _{p\in {\mathcal {P}}}p^{-1}(0).}$
• Jedes Hausdorff-lokalkonvexe TVS ist homöomorph zu einem Unterraum eines Produkts von Banachräumen .

Topologische Eigenschaften konvexer Teilmengen

• Das Innere und der Abschluss einer konvexen Teilmenge eines TVS ist wieder konvex.
• Die Minkowski-Summe zweier konvexer Mengen ist konvex; außerdem ist das skalare Vielfache einer konvexen Menge wieder konvex.
• Ist C eine konvexe Menge mit nichtleerem Inneren, dann ist der Abschluss von C gleich dem Abschluss des Inneren von C ; außerdem ist das Innere von C gleich dem Inneren des Abschlusses von C .
  • Wenn also eine konvexe Menge C ein nicht-leeres Inneres hat, dann ist C eine abgeschlossene (bzw. offene) Menge genau dann, wenn es eine regulär abgeschlossene (bzw. regulär offene) Menge ist.
• Ist C eine konvexe Teilmenge eines TVS X (nicht notwendigerweise Hausdorff), gehört x zum Inneren von S und y zum Abschluss von S , dann gehört die offene Liniensegmentverbindung x und y (d. h. ) zum Innere von S .${\displaystyle \{tx+(1-t)y:0<t<1\}}$
• Ist X ein lokal konvexer Raum (nicht notwendigerweise Hausdorff), M ist ein abgeschlossener Vektorunterraum von X , V ist eine konvexe Umgebung von 0 in M , und ist ein Vektor nicht in V , dann existiert eine konvexe Umgebung U von 0 in X so dass und${\displaystyle z\in X}$${\displaystyle V=U\cap M}$${\displaystyle z\not\in U.}$
• Der Abschluss einer konvexen Teilmenge eines lokalkonvexen Hausdorff-TVS X ist für alle lokalkonvexen Hausdorff-TVS-Topologien auf X gleich , die mit der Dualität zwischen X und seinem stetigen dualen Raum kompatibel sind .
• In einem lokal konvexen Raum ist die konvexe Hülle und die scheibenförmige Hülle einer total beschränkten Menge total beschränkt.
• In einem vollständigen lokal konvexen Raum sind sowohl die konvexe Hülle als auch die scheibenförmige Hülle einer kompakten Menge kompakt.
  • Allgemeiner gesagt , wenn K eine kompakte Teilmenge eines lokal konvexen Raums ist, dann ist die konvexe Hülle (bzw. die scheibenförmige Hülle ) genau dann kompakt, wenn sie vollständig ist.${\displaystyle \operatorname {co} K}$${\displaystyle \operatorname {cobal} K}$
• In einem lokal konvexen Raum sind konvexe Hüllen beschränkter Mengen beschränkt. Dies gilt nicht für TVS im Allgemeinen.
• In einem Fréchet-Raum ist die geschlossene konvexe Hülle einer kompakten Menge kompakt.
• In einem lokal konvexen Raum ist jede Linearkombination von total beschränkten Mengen total beschränkt.

Eigenschaften konvexer Hüllen

Für jede Teilmenge S einem TVS X , die konvexe Hülle (resp. Geschlossene konvexe Hülle , ausgeglichen Rumpf , resp. Konvexe ausgeglichener Rumpf ) von S , bezeichnet durch (resp. , ) Ist die kleinste konvexe (resp. Geschlossene konvexe ausgeglichen , konvex ausgeglichen) Teilmenge von X, die S enthält . ${\displaystyle \operatorname {co} S}$${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}S,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S}$${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$

• In einem quasi-vollständigen lokal konvexen TVS ist der Abschluss der konvexen Hülle einer kompakten Teilmenge wieder kompakt.
• In einem lokal konvexen TVS nach Hausdorff ist die konvexe Hülle einer vorkompakten Menge wieder vorkompakt. Folglich ist in einer vollständigen lokalkonvexen Hausdorff-TVS die geschlossene konvexe Hülle einer kompakten Teilmenge wieder kompakt.
• In jeder TVS ist die konvexe Hülle einer endlichen Vereinigung kompakter konvexer Mengen kompakt (und konvex).
  • Dies impliziert, dass in jedem Hausdorff-TVS die konvexe Hülle einer endlichen Vereinigung kompakter konvexer Mengen abgeschlossen ist (zusätzlich dazu, dass sie kompakt und konvex ist); insbesondere ist die konvexe Hülle einer solchen Vereinigung gleich der geschlossenen konvexen Hülle dieser Vereinigung.
  • Im Allgemeinen ist die geschlossene konvexe Hülle einer kompakten Menge nicht unbedingt kompakt.
  • In jedem Nicht-Hausdorff-TVS gibt es Untermengen, die kompakt (und damit vollständig) aber nicht abgeschlossen sind.
• Der bipolare Satz besagt, dass die Bipolare (dh die Polare der Polaren) einer Teilmenge einer lokal konvexen Hausdorff-TVS gleich der geschlossenen konvexen balancierten Hülle dieser Menge ist.
• Die balancierte Hülle einer konvexen Menge ist nicht unbedingt konvex.
• Wenn C und D konvexe Teilmengen eines topologischen Vektorraums (TVS) X sind und falls , dann gibt es eine reelle Zahl r, die erfüllt ist mit${\displaystyle \operatorname {co} \left(C\cup D\right)}$${\displaystyle c\in C,}$ ${\displaystyle d\in D,}$${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$${\displaystyle x=rc+(1-r)d.}$
• Wenn M ein Vektorteilraum eines TVS X ist , C eine konvexe Teilmenge von M und D eine konvexe Teilmenge von X, so dass , dann .${\displaystyle D\cap M\subseteq C}$${\displaystyle C=M\cap \operatorname {co} \left(C\cup D\right)}$
• Recall , dass die kleinste ausgewogene Teilmenge von X eine Gruppe , enthaltend S wird der genannte ausgeglichene Rumpf von S und gekennzeichnet ist Für jede Teilmenge S von X , die konvex ausgeglichenen Rumpf von S , bezeichnet durch , ist die kleinste Teilmenge von X enthalten , S , die ist konvex und ausgewogen. Die konvexe balancierte Hülle von S ist gleich der konvexen Hülle der balancierten Hülle von S (dh ), aber die konvexe balancierte Hülle von S ist nicht notwendigerweise gleich der balancierten Hülle der konvexen Hülle von S (dh ist nicht notwendigerweise gleich ).${\displaystyle \operatorname {bal} S.}$${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} \left(\operatorname {bal} S\right)}$${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$${\displaystyle \operatorname {bal} \left(\operatorname {co} S\right)}$
• Wenn A und B Teilmengen eines TVS X sind und wenn r ein Skalar ist, dann , , und Wenn außerdem kompakt ist, dann${\displaystyle \operatorname {co} \left(A\cup B\right)=\operatorname {co} (A)\cup \operatorname {co} (B)}$${\displaystyle \operatorname {co} (rA)=r\operatorname {co} A}$${\displaystyle {\overline {\operatorname {co}}}(rA)=r{\overline {\operatorname {co}}}(A).}$${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(A)}$${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(A+B)={\overline {\operatorname {co} }}(A)+{\overline {\operatorname {co} }}(B)}$
• Wenn A und B Teilmengen einer TVS X sind, deren geschlossene konvexe Hüllen kompakt sind, dann${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(A\cup B)={\overline {\operatorname {co} }}\left({\overline {\operatorname {co} }}(A)\ Tasse {\overline {\operatorname {co}}}(B)\right).}$
• Wenn S eine konvexe Menge in einem komplexen Vektorraum X und es gibt einige , so dass dann für alle reellen , so daß insbesondere für alle Skalare ein , so dass${\displaystyle z\in X}$${\displaystyle z,iz,-z,-iz\in S,}$${\displaystyle rz+siz\in S}$${\displaystyle r,s}$${\displaystyle |r|+|s|\leq 1.}$${\displaystyle az\in S}$${\displaystyle |a|^{2}\leq {\frac {1}{2}}.}$

Beispiele und Nicht-Beispiele

Feinste und gröbste lokal konvexe Topologie

Grobste Vektortopologie

Jeder Vektorraum X, der mit der trivialen Topologie (dh der indiskreten Topologie) ausgestattet ist, ist eine lokal konvexe TVS (und natürlich die gröbste dieser Topologie). Diese Topologie ist genau dann Hausdorff. Die indiskrete Topologie macht jeden Vektorraum zu einem vollständigen pseudometrisierbaren lokal konvexen TVS. ${\displaystyle X=\{0\}.}$

Im Gegensatz dazu ist die diskrete Topologie bildet eine Vektor Topologie auf X , wenn und nur folgt dies aus der Tatsache , dass jeder topologische Vektorraum ist ein zusammenhängender Raum . ${\displaystyle X=\{0\}.}$

Feinste lokal konvexe Topologie

Wenn X ein reeller oder komplexer Vektorraum und die Menge aller Seminormen auf X ist, dann wird die lokal konvexe TVS-Topologie, bezeichnet mit 𝜏 _lc , die auf X induziert , die feinste lokal konvexe Topologie auf X genannt . Diese Topologie kann auch als TVS-Topologie auf X beschrieben werden , die als Nachbarschaftsbasis bei 0 die Menge aller absorbierenden Scheiben in X hat . Jede lokal konvexe TVS-Topologie auf X ist notwendigerweise eine Teilmenge von 𝜏 _lc . ( X , _𝜏lc ) ist Hausdorff . Jede lineare Abbildung von ( X , 𝜏 _lc ) in eine andere lokal konvexe TVS ist notwendigerweise stetig. Insbesondere ist jedes lineare Funktional auf ( X , _lc ) stetig und jeder Vektorunterraum von X ist abgeschlossen in ( X , 𝜏 _lc ) .; daher, wenn X unendlich dimensional ist, ist ( X , _lc ) nicht pseudometrisierbar (und somit nicht metrisierbar). Außerdem ist 𝜏 _lc die einzige lokal konvexe Hausdorff-Topologie auf X mit der Eigenschaft, dass jede lineare Abbildung von ihr in einen beliebigen lokal konvexen Hausdorff-Raum stetig ist. Der Raum ( X , 𝜏 _lc ) ist ein Bornologischer Raum . ${\displaystyle {\mathcal{P}}}$${\displaystyle {\mathcal{P}}}$

Beispiele für lokal konvexe Räume

Jeder normierte Raum ist ein lokal konvexer Hausdorff-Raum, und ein Großteil der Theorie lokal konvexer Räume verallgemeinert Teile der Theorie normierter Räume. Die Familie der Seminormen kann als die einzige Norm angesehen werden. Jeder Banachraumes ist eine komplette Hausdorff lokalkonvexer Raum, insbesondere die L ^p Räume mit p ≥ 1 sind lokalkonvexe.

Allgemeiner gesagt ist jeder Fréchet-Raum lokal konvex. Ein Fréchet-Raum kann als vollständiger lokal konvexer Raum mit einer getrennten abzählbaren Familie von Seminormen definiert werden.

Der Raum der reellwertigen Folgen mit der Familie der Seminormen gegeben durch ${\displaystyle\mathbb{R}^{\omega}}$

${\displaystyle p_{i}\left(\left\{x_{n}\right\}_{n}\right)=\left|x_{i}\right|,\qquad i\in\mathbf {N } }$

ist lokal konvex. Die abzählbare Familie von Seminormen ist vollständig und trennbar, also ist dies ein Fréchet-Raum, der nicht normierbar ist. Dies ist auch die Grenztopologie der Räume , die auf natürliche Weise eingebettet ist , indem man endliche Folgen mit unendlich vielen vervollständigt . ${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle\mathbb{R}^{\omega}}$${\displaystyle 0}$

Gegeben irgendein Vektorraum X und eine Sammlung F linearer Funktionale darauf, kann X in einen lokal konvexen topologischen Vektorraum umgewandelt werden, indem man ihm die schwächste Topologie gibt, die alle linearen Funktionale in F stetig macht. Dies ist als schwache Topologie oder die durch F bestimmte Anfangstopologie bekannt . Die Sammlung F kann das algebraische Dual von X oder jede andere Sammlung sein. Die Familie der Seminormen ist in diesem Fall für alle f in F gegeben . ${\displaystyle p_{f}(x)=|f(x)|}$

Räume differenzierbarer Funktionen geben andere nicht normierbare Beispiele. Betrachten Sie den Raum der glatten Funktionen , so dass , wo ein und b sind multiindices . Die durch definierte Familie der Seminormen ist getrennt und abzählbar, und der Raum ist vollständig, so dass dieser metrisierbare Raum ein Fréchet-Raum ist. Er ist als Schwartz-Raum oder als Raum der Funktionen der schnellen Abnahme bekannt, und sein dualer Raum ist der Raum der temperierten Verteilungen . ${\displaystyle f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{C}}$${\displaystyle \sup_{x}\left|x^{a}D_{b}f\right|<\infty}$${\displaystyle p_{a,b}(f)=\sup_{x}\left|x^{a}D_{b}f(x)\right|}$

Ein wichtiger Funktionsraum in der Funktionalanalysis ist der Raum D ( U ) von glatten Funktionen mit kompaktem Träger in Für die Topologie dieses Raums ist eine detailliertere Konstruktion erforderlich, da der Raum C${\displaystyle U\subseteq\mathbb{R}^{n}.}$^∞
₀( U ) ist in der einheitlichen Norm nicht vollständig. Die Topologie auf D ( U ) ist wie folgt definiert: Für jede feste kompakte Menge K ⊂ U ist der Funktionsraum f ∈ C${\displaystyle C_{0}^{\infty}(K)}$^∞
₀( U ) mit supp(  f  ) ⊂ K ist ein Fréchet-Raum mit abzählbarer Familie von Seminormen || f || _m = sup _k≤m sup _x | D ^k f  ( x ) |    (das sind eigentlich Normen, und die Vervollständigung des Raumes mit der ||  ⋅  || _m Norm ist ein Banachraum D ^m ( K ) ). Gegeben eine beliebige Sammlung { K _λ } _λ kompakter Mengen, die durch Inklusion gerichtet sind und deren Vereinigung gleich U ist , ist die C${\displaystyle C_{0}^{\infty}(K)}$^∞
₀( K _λ ) bilden ein direktes System und D ( U ) ist als Grenzwert dieses Systems definiert. Ein solcher Grenzwert von Fréchet-Räumen wird als LF-Raum bezeichnet . Konkreter ist D ( U ) die Vereinigung aller C^∞
₀( K _λ ) mit der stärksten lokal konvexen Topologie, die jede Inklusionsabbildung C^∞
₀( K _λ ) ↪ D ( U ) stetig. Dieser Raum ist lokal konvex und vollständig. Er ist jedoch nicht metrisierbar und somit kein Fréchet-Raum. Der duale Raum von ist der Raum der Verteilungen auf${\displaystyle D\left(\mathbb{R}^{n}\right)}$${\displaystyle \mathbb{R}^{n}.}$

Abstrakter ausgedrückt kann bei einem gegebenen topologischen Raum X dem Raum stetiger (nicht unbedingt beschränkter) Funktionen auf X die Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf kompakten Mengen gegeben werden. Diese Topologie ist definiert durch Seminormen φ _K (  f  ) = max{| f  ( x ) | : x ∈ K } (da K über die gerichtete Menge aller kompakten Teilmengen von X variiert ). Wenn X lokal kompakt ist (zB eine offene Menge in ), gilt der Satz von Stone-Weierstrass – im Fall von reellwertigen Funktionen ist jede Teilalgebra davon , die Punkte trennt und die konstanten Funktionen enthält (zB die Teilalgebra von Polynomen) dicht . ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle C(X)}$

Beispiele für Räume ohne lokale Konvexität

Viele topologische Vektorräume sind lokal konvex. Beispiele für Räume ohne lokale Konvexität sind die folgenden:

• Die Räume L ^p ([0, 1]) für sind mit der F-Norm${\displaystyle 0<p<1}$
  $${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}=\int _{0}^{1}|f(x)|^{p}\,dx.}$$

  
  Sie sind nicht lokal konvex, da die einzige konvexe Umgebung von Null der gesamte Raum ist. Allgemeiner gesagt sind die Räume L ^p ( μ ) mit einem atomlosen endlichen Maß μ und nicht lokal konvex.${\displaystyle 0<p<1}$
• Der Raum der messbaren Funktionen auf dem Einheitsintervall (wo wir zwei Funktionen identifizieren, die fast überall gleich sind ) hat eine Vektorraumtopologie, die durch die translationsinvariante Metrik definiert ist: (die die Konvergenz im Maß messbarer Funktionen induziert ; für Zufallsvariablen , Konvergenz im Maß ist Konvergenz in der Wahrscheinlichkeit )${\displaystyle [0,1]}$
  $${\displaystyle d(f,g)=\int _{0}^{1}{\frac {|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)| }}\,dx.}$$

  
  Dieser Raum wird oft bezeichnet ${\displaystyle L_{0}.}$

Beide Beispiele haben die Eigenschaft , dass jede stetige lineare Abbildung der reellen Zahlen ist 0 . Insbesondere ist ihr Dualraum trivial, dh er enthält nur das Nullfunktional.

• Der Folgenraum ℓ ^p ( N ) , , ist nicht lokal konvex.${\displaystyle 0<p<1}$

Kontinuierliche Zuordnungen

Da lokal konvexe Räume sowohl topologische Räume als auch Vektorräume sind, sind die zwischen zwei lokal konvexen Räumen zu berücksichtigenden natürlichen Funktionen stetige lineare Abbildungen . Mit den Seminormen kann ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Stetigkeit einer linearen Abbildung angegeben werden, das der bekannteren Beschränktheitsbedingung für Banachräume sehr ähnlich ist.

Gegeben lokalkonvexe Räume X und Y mit Familien von Halbnormen { p _α } _α und { q _β } _ß jeweils eine lineare Karte ist kontinuierlich , wenn und nur wenn für jedes β existiert α ₁ , α ₂ , ..., α _n und M > 0, so dass für alle v in X${\displaystyle T:X\to Y}$

${\displaystyle q_{\beta}(Tv)\leq M\left(p_{\alpha_{1}}(v)+\dotsb+p_{\alpha_{n}}(v)\right).}$

Mit anderen Worten, jede Halbnorm des Bereichs von T ist begrenzt oben in der durch eine endliche Summe von Halbnormen Domäne . Wenn die Familie { p _α } _α eine gerichtete Familie ist und sie wie oben erläutert immer gerichtet gewählt werden kann, dann wird die Formel noch einfacher und vertrauter:

${\displaystyle q_{\beta}(Tv)\leq Mp_{\alpha}(v).}$

Die Klasse aller lokal konvexen topologischen Vektorräume bildet eine Kategorie mit stetigen linearen Abbildungen als Morphismen .

Lineare Funktionen

Wenn X ein reeller oder komplexer Vektorraum ist, f ist eine Linearfunktion auf X , und p ist eine Halbnorm auf X , dann , wenn , und nur wenn , wenn f ist eine nicht-0 Linearfunktion auf einem reellen Vektorraum X und wenn p ist eine Seminorm auf X , dann genau dann, wenn${\displaystyle |f|\leq p}$${\displaystyle f\leq p.}$${\displaystyle f\leq p}$${\displaystyle f^{-1}(1)\cap \left\{x\in X:p(x)<1\right\}=\varnothing .}$

Multilineare Karten

Sei eine ganze Zahl, sei TVSs (nicht unbedingt lokal konvex), sei Y ein lokal konvexes TVS, dessen Topologie durch eine Familie stetiger Seminormen bestimmt wird, und sei ein multilinearer Operator , der in jeder seiner n Koordinaten linear ist . Folgendes ist gleichwertig: ${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle X_{1},\ldots,X_{n}}$${\displaystyle {\mathcal{Q}}}$${\displaystyle M:\prod_{i=1}^{n}X_{i}\to Y}$

1. M ist stetig.
2. Für jede existieren stetige Seminormen auf bzw., so dass für alle${\displaystyle q\in {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle p_{1},\ldots,p_{n}}$${\displaystyle X_{1},\ldots,X_{n},}$${\displaystyle q(M(x))\leq p_{1}\left(x_{1}\right)\cdots p_{n}\left(x_{n}\right)}$${\displaystyle x=\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)\in\prod_{i=1}^{n}X_{i}.}$
3. Für jede existiert eine Umgebung von 0 in auf die beschränkt ist.${\displaystyle q\in {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle \prod_{i=1}^{n}X_{i}}$${\displaystyle q\circ M}$

Siehe auch

• Konvexe Menge  – In der Geometrie eine Menge, die jede Linie in ein einzelnes Liniensegment schneidet
• Satz von Krein-Milman  – Ein, wenn ein Raum gleich der geschlossenen konvexen Hülle seiner Extrempunkte ist
• Lineare Form  – Lineare Abbildung von einem Vektorraum zu seinem Skalarfeld
• Lokal konvexes Vektorgitter
• Minkowski-Funktion
• Seminorm
• Sublineares Funktional
• Topologische Gruppe  – Gruppe, die ein topologischer Raum mit kontinuierlicher Gruppenaktion ist
• Topologischer Vektorraum  – Vektorraum mit dem Begriff der Nähe
• Vektorraum  – Grundlegende algebraische Struktur der linearen Algebra

Anmerkungen

Verweise

• Berberian, Sterling K. (1974). Vorlesungen in Funktionalanalysis und Operatortheorie . Abschlusstexte der Mathematik. 15 . New York: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401 .
• Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur sures espaces vectoriels topologiques [ Topologische Vektorräume: Kapitel 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Elemente der Mathematik . 2 . Übersetzt von Eggleston, HG; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC  17499190 .
• Conway, John (1990). Ein Kurs in Funktionsanalyse . Abschlusstexte der Mathematik . 96 (2. Aufl.). New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908 .
• Dunford, Nelson (1988). Lineare Operatoren (auf Rumänisch). New York: Interscience Publishers. ISBN 0-471-60848-3. OCLC  18412261 .
• Edwards, Robert E. (1995). Funktionale Analyse: Theorie und Anwendungen . New York: Dover-Veröffentlichungen. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138 .
• Grothendieck, Alexander (1973). Topologische Vektorräume . Übersetzt von Chaljub, Orlando. New York: Gordon und Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098 .
• Jarchow, Hans (1981). Lokal konvexe Räume . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342 .
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topologische Vektorräume I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 159 . Übersetzt von Garling, DJH New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0.248.498 . OCLC-  840293704 .
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologische Vektorräume . Reine und angewandte Mathematik (Zweite Aufl.). Boca Raton, FL: CRC-Presse. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Robertson, AlexP.; Robertson, Wendy J. (1980). Topologische Vektorräume . Cambridge Tracts in Mathematik . 53 . Cambridge England: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250 .
• Rudin, Walter (1991). Funktionsanalyse . Internationale Reihe in Reiner und Angewandter Mathematik. 8 (Zweite Aufl.). New York, NY: McGraw-Hill Wissenschaft/Ingenieurwesen/Mathematik . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Schäfer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topologische Vektorräume . GTM . 8 (Zweite Aufl.). New York, NY: Springer New York Impressum Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Swartz, Charles (1992). Eine Einführung in die Funktionsanalyse . New York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC-  24909067 .
• Trèves, François (2006) [1967]. Topologische Vektorräume, Verteilungen und Kernel . Mineola, NY: Dover-Veröffentlichungen. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Wilansky, Albert (2013). Moderne Methoden in topologischen Vektorräumen . Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .