Eastons Satz - Easton's theorem

In der Mengenlehre ist der Satz von Easton ein Ergebnis der möglichen Kardinalzahlen von Potenzmengen . Easton (1970) (Erweiterung eines Ergebnisses von Robert M. Solovay ) zeigte durch Erzwingen, dass die einzigen Einschränkungen für zulässige Werte für 2 ^κ, wenn κ ein regulärer Kardinal ist, sind

${\ displaystyle \ kappa <\ operatorname {cf} (2 ^ {\ kappa})}$

(wobei cf ( α ) die Cofinalität von  α ist ) und

${\ displaystyle {\ text {if}} \ kappa <\ lambda {\ text {then}} 2 ^ {\ kappa} \ leq 2 ^ {\ lambda}.}$

Aussage

Wenn G eine Klassenfunktion ist, deren Domäne aus Ordnungszahlen besteht und deren Bereich aus Ordnungszahlen besteht, so dass

1. G nimmt nicht ab,
2. die Cofinalität von ist größer als für jedes α in der Domäne von G und${\ displaystyle \ aleph _ {G (\ alpha)}}$${\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$
3. ${\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$ist regelmäßig für jedes α in der Domäne von G ,

dann gibt es ein Modell von ZFC, so dass

${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {\ alpha}} = \ aleph _ {G (\ alpha)}}$

für jedes in der Domäne von G . ${\ displaystyle \ alpha}$

Der Beweis des Easton-Theorems verwendet das Forcen mit einer geeigneten Klasse von Forcierungsbedingungen über ein Modell, das die verallgemeinerte Kontinuumshypothese erfüllt.

Die ersten beiden Bedingungen im Satz sind notwendig. Bedingung 1 ist eine bekannte Eigenschaft der Kardinalität, während Bedingung 2 aus dem Satz von König folgt .

In Eastons Modell haben die Potenzmengen singulärer Kardinäle die kleinstmögliche Kardinalität, die mit den Bedingungen kompatibel ist, dass 2 ^κ eine Cofinalität größer als κ hat und eine nicht abnehmende Funktion von κ ist.

Keine Erweiterung auf einzelne Kardinäle

Silver (1975) hat bewiesen, dass ein singulärer Kardinal von unzähliger Kofinalität nicht der kleinste Kardinal sein kann, für den die verallgemeinerte Kontinuumshypothese fehlschlägt. Dies zeigt, dass der Satz von Easton nicht auf die Klasse aller Kardinäle ausgedehnt werden kann. Das Programm der PCF-Theorie liefert Ergebnisse zu den möglichen Werten für singuläre Kardinäle . Die PCF-Theorie zeigt, dass die Werte der Kontinuumsfunktion bei singulären Kardinälen stark von den Werten bei kleineren Kardinälen beeinflusst werden, während der Satz von Easton zeigt, dass die Werte der Kontinuumsfunktion bei regulären Kardinälen nur schwach von den Werten bei kleineren Kardinälen beeinflusst werden. ${\ displaystyle 2 ^ {\ lambda}}$${\ displaystyle \ lambda}$

Siehe auch

• Singuläre Kardinalhypothese
• Aleph Nummer
• Beth Nummer

Verweise

• Easton, W. (1970), "Powers of Regular Cardinals", Ann. Mathematik. Logic , 1 (2): 139–178, doi : 10.1016 / 0003–4843 (70) 90012–4
• Silver, Jack (1975), "Über das Problem der singulären Kardinäle", Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Vancouver, BC, 1974) , 1 , Montreal, Que.: Canad. Mathematik. Congress, S. 265–268, MR  0429564