Elliptischer Operator - Elliptic operator

${\displaystyle \alpha =(\alpha_{1},...,\alpha_{n})}$

${\displaystyle \partial^{\alpha}u=\partial_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial_{n}^{\alpha_{n}}u}$

${\displaystyle \alpha_{i}}$

${\displaystyle x_{i}}$

Dann heißt

${\displaystyle L}$

${\displaystyle \Omega}$

${\displaystyle \xi}$

$${\displaystyle \sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha}(x)\xi^{\alpha}\neq 0,}$$

${\displaystyle \xi^{\alpha}=\xi_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\xi_{n}^{\alpha_{n}}}$

In vielen Anwendungen ist diese Bedingung nicht stark genug, und stattdessen kann eine gleichmäßige Elliptizitätsbedingung für Operatoren der Ordnung m = 2k auferlegt werden :

$${\displaystyle (-1)^{k}\sum _{|\alpha |=2k}a_{\alpha}(x)\xi^{\alpha}>C|\xi |^{2k},}$$

Ein nichtlinearer Operator

$${\displaystyle L(u)=F(x,u,(\partial^{\alpha}u)_{|\alpha |\leq m})}$$

Beispiel 1

Das Negativ des Laplace-Operators in R ^d gegeben durch

$${\displaystyle -\Updelta u=-\sum_{i=1}^{d}\partial_{i}^{2}u}$$

ist ein gleichmäßig elliptischer Operator. Der Laplace-Operator kommt in der Elektrostatik häufig vor. Wenn ρ die Ladungsdichte innerhalb einer Region Ω ist, muss das Potential Φ die Gleichung . erfüllen

$${\displaystyle -\Delta\Phi =4\pi\rho.}$$

Beispiel 2

Gegeben sei eine matrixwertige Funktion A ( x ), die symmetrisch und für jedes x positiv definit ist , mit Komponenten a ^ij , der Operator

$${\displaystyle Lu=-\partial_{i}\left(a^{ij}(x)\partial_{j}u\right)+b^{j}(x)\partial_{j}u+ cu}$$

ist elliptisch. Dies ist die allgemeinste Form eines linearen elliptischen Differentialoperators zweiter Ordnung. Den Laplace-Operator erhält man, indem man A = I nimmt . Diese Operatoren treten auch bei der Elektrostatik in polarisierten Medien auf.

Beispiel 3

Für p eine nicht negative Zahl ist der p-Laplace-Operator ein nichtlinearer elliptischer Operator, definiert durch defined

$${\displaystyle L(u)=-\sum_{i=1}^{d}\partial_{i}\left(|\nabla u|^{p-2}\partial_{i}u\right ).}$$

Ein ähnlicher nichtlinearer Operator tritt in der Gletschermechanik auf . Der Cauchy-Spannungstensor von Eis ist nach dem Fließgesetz von Glen gegeben durch

$${\displaystyle \tau_{ij}=B\left(\sum_{k,l=1}^{3}\left(\partial_{l}u_{k}\right)^{2}\right )^{-{\frac {1}{3}}}\cdot {\frac {1}{2}}\left(\partial_{j}u_{i}+\partial_{i}u_{j }\Recht)}$$

für eine Konstante B . Die Geschwindigkeit eines Eisschildes im stationären Zustand löst dann das nichtlineare elliptische System

$${\displaystyle \sum_{j=1}^{3}\partial_{j}\tau_{ij}+\rho g_{i}-\partial_{i}p=Q,}$$

wobei ρ die

Elliptischer Regularitätssatz

Sei L ein elliptischer Operator der Ordnung 2 k mit Koeffizienten mit 2 k stetigen Ableitungen. Das Dirichlet-Problem für L besteht darin, eine Funktion u zu finden, eine gegebene Funktion f und einige geeignete Randwerte, so dass Lu = f und so dass u die geeigneten Randwerte und normale Ableitungen hat. Die Existenztheorie für elliptische Operatoren, die die Gårding-Ungleichung und das Lax-Milgram-Lemma verwendet , garantiert nur, dass eine schwache Lösung u im Sobolev-Raum H ^{k existiert} .

Diese Situation ist letztlich unbefriedigend, da die schwache Lösung u möglicherweise nicht genügend Ableitungen hat, um den Ausdruck Lu überhaupt sinnvoll zu machen.

Die elliptische Regularitätssatz garantiert , dass, sofern f quadratisch integrierbare ist, u wird in der Tat hat 2k quadratisch integrierbare schwache Derivate. Insbesondere wenn f unendlich oft differenzierbar ist, dann ist es auch u .

Jeder Differentialoperator, der diese Eigenschaft aufweist, wird hypoelliptischer Operator genannt ; Somit ist jeder elliptische Operator hypoelliptisch. Die Eigenschaft bedeutet auch, dass jede Fundamentallösung eines elliptischen Operators in jeder Umgebung, die nicht 0 enthält, unendlich differenzierbar ist.

Nehmen wir als Anwendung an, dass eine Funktion die

${\displaystyle f}$

${\displaystyle f}$

Allgemeine Definition

Sei ein (möglicherweise nichtlinearer) Differentialoperator zwischen Vektorbündeln beliebigen Ranges. Nehmen Sie sein

${\displaystyle D}$

${\displaystyle \sigma_{\xi}(D)}$

${\displaystyle \xi}$

${\displaystyle\nabla}$

${\displaystyle \xi}$

Wir sagen , ist

${\displaystyle D}$

${\displaystyle \sigma_{\xi}(D)}$

${\displaystyle \xi}$

Wir sagen , ist (einheitlich)

${\displaystyle D}$

${\displaystyle c>0}$

${\displaystyle \left([\sigma_{\xi}(D)](v),v\right)\geq c\|v\|^{2}}$

für alle und alle . Es ist wichtig zu beachten, dass die Definition von Elliptizität im vorherigen Teil des Artikels eine

${\displaystyle \|\xi \|=1}$

${\displaystyle v}$

${\displaystyle (\cdot,\cdot)}$

${\displaystyle \xi}$

${\displaystyle v}$

${\displaystyle D}$

Das typische Beispiel für einen (stark) elliptischen Operator ist der Laplace-Operator (oder sein Negativ, je nach Konvention). Es ist nicht schwer zu erkennen, dass dies von gleichmäßiger Ordnung sein muss, damit eine starke Elliptizität überhaupt eine Option ist. Andernfalls ziehen Sie einfach in Betracht, beides anzuschließen und das Negative. Andererseits kann ein schwach elliptischer Operator erster Ordnung, wie der

${\displaystyle D}$

${\displaystyle \xi}$

Eine schwache Elliptizität ist dennoch stark genug für die Fredholm-Alternative , schätzt Schauder und den Indexsatz von Atiyah-Singer . Andererseits brauchen wir eine starke Elliptizität für das Maximumprinzip und um zu garantieren, dass die Eigenwerte diskret sind und ihr einziger Grenzpunkt unendlich ist.

Siehe auch

• Elliptische partielle Differentialgleichung
• Hyperbolische partielle Differentialgleichung
• Parabolische partielle Differentialgleichung
• Hopf-Maximum-Prinzip
• Elliptischer Komplex
• Ultrahyperbolische Wellengleichung
• Halbelliptischer Operator
• Weyls Lemma

Anmerkungen

Verweise

• Evans, LC (2010) [1998], Partielle Differentialgleichungen , Graduate Studies in Mathematics , 19 (2. Aufl.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4974-3, MR  2597943
  Rezension:
  Rauch, J. (2000). "Partielle Differentialgleichungen, von LC Evans" (pdf) . Zeitschrift der American Mathematical Society . 37 (3): 363–367. doi : 10.1090/s0273-0979-00-00868-5 .
• Gilbarg, D.; Trudinger, NS (1983) [1977], Elliptische partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 224 (2. Aufl.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13025-3, HERR  0737190
• Shubin, MA (2001) [1994], "Elliptischer Operator" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press

Externe Links

• Lineare elliptische Gleichungen bei EqWorld: Die Welt der mathematischen Gleichungen.
• Nichtlineare elliptische Gleichungen bei EqWorld: Die Welt der mathematischen Gleichungen.