Eulers Vier-Quadrat-Identität - Euler's four-square identity

In Mathematik , Eulersche vier Quadratmeter Identität sagt , dass das Produkt von zwei Zahlen, von denen jeder eine Summe von vier Quadraten , ist selbst eine Summe von vier Quadraten.

Algebraische Identität

Für jedes Paar von Quadrupeln aus einem kommutativen Ring sind die folgenden Ausdrücke gleich:

${\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+ b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})=}$

${\displaystyle (a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+}$

${\displaystyle (a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}+}$

${\displaystyle (a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}+}$

${\displaystyle (a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2}.}$

Euler schrieb über diese Identität in einem Brief vom 4. Mai 1748 an Goldbach (er verwendete jedoch eine andere Zeichenkonvention als oben). Sie kann mit elementarer Algebra verifiziert werden .

Die Identität wurde von Lagrange verwendet , um seinen Vier-Quadrate-Satz zu beweisen . Genauer gesagt impliziert es, dass es ausreicht, den Satz für Primzahlen zu beweisen , woraufhin der allgemeinere Satz folgt. Die oben verwendete Vorzeichenkonvention entspricht den Vorzeichen, die durch die Multiplikation zweier Quaternionen erhalten werden. Andere Vorzeichenkonventionen können erreicht werden, indem any in , und/oder any in geändert wird . ${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle -a_{k}}$${\displaystyle b_{k}}$${\displaystyle -b_{k}}$

Wenn die und sind reelle Zahlen , drückt die Identität der Tatsache , dass der absolute Wert des Produkts von zwei Quaternionen auf das Produkt ihrer absoluten Werte, auf die gleiche Art und Weise gleich ist , dass die Brahmagupta-Fibonacci zwei Quadratmeter Identität für tut komplexen Zahlen . Diese Eigenschaft ist das entscheidende Merkmal von Kompositionsalgebren . ${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle b_{k}}$

Der Satz von Hurwitz besagt, dass eine Identität der Form,

${\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^ {2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+...+b_{n}^{2})=c_{1}^{2}+c_{2}^ {2}+c_{3}^{2}+...+c_{n}^{2}}$

wo das sind bilineare Funktionen der und nur möglich ist , für n = 1, 2, 4 oder 8. ${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b_{i}}$

Identitätsnachweis mit Quaternionen

Sei und sei ein Paar von Quaternionen. Ihre Quaternion-Konjugate sind und . Dann ${\displaystyle \alpha =a_{1}+a_{2}i+a_{3}j+a_{4}k}$${\displaystyle \beta =b_{1}+b_{2}i+b_{3}j+b_{4}k}$${\displaystyle \alpha^{*}=a_{1}-a_{2}i-a_{3}j-a_{4}k}$${\displaystyle \beta^{*}=b_{1}-b_{2}i-b_{3}j-b_{4}k}$

${\displaystyle A:=\alpha\alpha^{*}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2} }$

und

${\displaystyle B:=\beta\beta^{*}=b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2} }$.

Das Produkt dieser beiden ist , wobei eine reelle Zahl ist, also kann sie mit der Quaternion vertauschen , was . ergibt ${\displaystyle AB=\alpha\alpha^{*}\beta\beta^{*}}$${\displaystyle \beta \beta ^{*}}$${\displaystyle \alpha^{*}}$

${\displaystyle AB=\alpha\beta\beta^{*}\alpha^{*}}$.

Oben sind keine Klammern erforderlich, da Quaternionen assoziieren . Die Konjugierte eines Produkts ist gleich dem kommutierten Produkt der Konjugierten der Produktfaktoren, also

${\displaystyle AB=\alpha\beta (\alpha\beta)^{*}=\gamma\gamma^{*}}$

wo ist das Hamilton-Produkt von und : ${\displaystyle\gamma}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle \beta}$

${\displaystyle \gamma =(a_{1}+\langle a_{2},a_{3},a_{4}\rangle )(b_{1}+\langle b_{2},b_{3},b_ {4}\rangle)}$

${\displaystyle \qquad =a_{1}b_{1}+a_{1}\langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle +\langle a_{2},\ a_{ 3},\ a_{4}\rangle b_{1}+\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle \langle b_{2},\ b_{3},\ b_ {4}\rangle}$

${\displaystyle \qquad =a_{1}b_{1}+\langle a_{1}b_{2},\ a_{1}b_{3},\ a_{1}b_{4}\rangle +\langle a_{2}b_{1},\ a_{3}b_{1},\ a_{4}b_{1}\rangle -\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\ rangle \cdot \langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle +\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle \times \langle b_{ 2},\b_{3},\b_{4}\rangle}$

${\displaystyle \qquad =a_{1}b_{1}+\langle a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1},\ a_{1}b_{3}+a_{3}b_ {1},\ a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}\rangle -a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4 }+\langle a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3},\ a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4},\ a_{2}b_{3} -a_{3}b_{2}\rangle}$

${\displaystyle \qquad =(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})+\langle a_{1} b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3},\ a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1} +a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4},\ a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3 }b_{2}\rangle}$

${\displaystyle \gamma =(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})+(a_{1}b_ {2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})i+(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1} +a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})j+(a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{ 3}b_{2})k.}$

Dann

${\displaystyle \gamma^{*}=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})-(a_ {1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})i-(a_{1}b_{3}+a_{3 }b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})j-(a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_ {3}-a_{3}b_{2})k}$

und

${\displaystyle AB=\gamma\gamma^{*}=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4} )^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}+(a_ {1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{4}+ a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}.}$

(Wenn wo ist der skalare Teil und der Vektorteil, dann so ) ${\displaystyle \gamma =r+{\vec {u}}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle {\vec {u}}=\langle u_{1},u_{2},u_{3}\rangle}$${\displaystyle \gamma^{*}=r-{\vec {u}}}$${\displaystyle \gamma\gamma^{*}=(r+{\vec{u}})(r-{\vec{u}})=r^{2}-r{\vec{u}}+r {\vec {u}}-{\vec {u}}{\vec {u}}=r^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}-{\vec { u}}\times {\vec {u}}=r^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}=r^{2}+u_{1}^{2} +u_{2}^{2}+u_{3}^{2}.}$

Pfisters Identität

Pfister fand eine andere quadratische Identität für jede gerade Macht:

Wenn die nur rationale Funktionen einer Menge von Variablen sind, so dass jede einen Nenner hat , dann ist es für alle möglich . ${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle n=2^{m}}$

Somit lautet eine weitere Vier-Quadrat-Identität wie folgt:

${\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+ b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})=}$

${\displaystyle (a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}+a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2}+}$

${\displaystyle (a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}-a_{4}b_{2})^{2}+}$

${\displaystyle \left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+{\frac {a_{3}u_{1}}{b_{1}^{2}+b_{2 }^{2}}}-{\frac {a_{4}u_{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right)^{2}+}$

${\displaystyle \left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-{\frac {a_{4}u_{1}}{b_{1}^{2}+b_{2 }^{2}}}-{\frac {a_{3}u_{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right)^{2}}$

wo und sind gegeben von ${\displaystyle u_{1}}$${\displaystyle u_{2}}$

${\displaystyle u_{1}=b_{1}^{2}b_{4}-2b_{1}b_{2}b_{3}-b_{2}^{2}b_{4}}$

${\displaystyle u_{2}=b_{1}^{2}b_{3}+2b_{1}b_{2}b_{4}-b_{2}^{2}b_{3}}$

Übrigens gilt auch folgende Identität:

${\displaystyle u_{1}^{2}+u_{2}^{2}=(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})^{2}(b_{3}^ {2}+b_{4}^{2})}$

Siehe auch

• Brahmagupta-Fibonacci-Identität (Summen zweier Quadrate)
• Degens Acht-Quadrat-Identität
• Pfisters sechzehn-Quadrat-Identität
• Lateinisches Quadrat

Verweise

Externe Links

• Eine Sammlung algebraischer Identitäten
• [1] Lettre CXV von Euler nach Goldbach