Euler-Rodrigues-Formel - Euler–Rodrigues formula
In Mathematik und Mechanik beschreibt die Euler-Rodrigues-Formel die Drehung eines Vektors in drei Dimensionen. Es basiert auf der Rotationsformel von Rodrigues , verwendet jedoch eine andere Parametrisierung.
Die Rotation wird durch vier Euler-Parameter aufgrund von Leonhard Euler beschrieben . Die Rodrigues-Formel (benannt nach Olinde Rodrigues ), eine Methode zur Berechnung der Position eines Drehpunkts, wird in einigen Softwareanwendungen wie Flugsimulatoren und Computerspielen verwendet .
Definition
Eine Drehung um den Ursprung wird durch vier reelle Zahlen a , b , c , d dargestellt, so dass
Wenn die Drehung angewendet wird, dreht sich ein Punkt an Position x → in seine neue Position
Vektorformulierung
Der Parameter a kann als Skalarparameter bezeichnet werden, während ω → = ( b, c, d ) der Vektorparameter ist. In der Standardvektornotation nimmt die Rodrigues-Rotationsformel die kompakte Form an
Symmetrie
Die Parameter ( a , b , c , d ) und (- a , - b , - c , - d ) beschreiben dieselbe Drehung. Abgesehen von dieser Symmetrie beschreibt jeder Satz von vier Parametern eine eindeutige Drehung im dreidimensionalen Raum.
Zusammensetzung der Rotationen
Die Zusammensetzung von zwei Umdrehungen ist selbst eine Umdrehung. Sei ( a 1 , b 1 , c 1 , d 1 ) und ( a 2 , b 2 , c 2 , d 2 ) die Euler-Parameter zweier Umdrehungen. Die Parameter für die zusammengesetzte Drehung (Drehung 2 nach Drehung 1) sind wie folgt:
Es ist einfach, wenn auch mühsam, zu überprüfen, ob a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1 ist . (Dies ist im Wesentlichen Eulers vierquadratische Identität , die auch von Rodrigues verwendet wird.)
Drehwinkel und Drehachse
Jede zentrale Drehung in drei Dimensionen wird eindeutig durch ihre Drehachse (dargestellt durch einen Einheitsvektor k → = ( k x , k y , k z ) ) und den Drehwinkel φ bestimmt . Die Euler-Parameter für diese Drehung werden wie folgt berechnet:
Beachten Sie, dass die Argumente von Sinus und Cosinus nur um 180 Grad zunehmen , wenn φ um eine volle Drehung von 360 Grad erhöht wird. Die resultierenden Parameter sind das Gegenteil der ursprünglichen Werte (- a , - b , - c , - d ) ; Sie repräsentieren die gleiche Rotation.
Insbesondere entspricht die Identitätstransformation (Nullrotation, φ = 0 ) den Parameterwerten ( a , b , c , d ) = (± 1, 0, 0, 0) . Drehungen von 180 Grad um eine beliebige Achse ergeben a = 0 .
Verbindung mit Quaternionen
Die Euler-Parameter können als Koeffizienten einer Quaternion angesehen werden . Der Skalarparameter a ist der Realteil, die Vektorparameter b , c , d sind die Imaginärteile. Damit haben wir die Quaternion
Das ist eine Quaternion der Einheitslänge (oder Versor ) seit
Am wichtigsten ist, dass die obigen Gleichungen für die Zusammensetzung von Rotationen genau die Gleichungen für die Multiplikation von Quaternionen sind. Mit anderen Worten, die Gruppe von Einheitsquaternionen mit Multiplikation, Modulo des negativen Vorzeichens, ist isomorph zu der Gruppe von Rotationen mit Zusammensetzung.
Verbindung mit SU (2) -Spinmatrizen
Die Lie-Gruppe SU (2) kann verwendet werden, um dreidimensionale Rotationen in 2 × 2- Matrizen darzustellen . Die SU (2) -Matrix, die einer Rotation in Bezug auf ihre Euler-Parameter entspricht, ist
Alternativ kann dies als Summe geschrieben werden
wobei die σ i die Pauli-Spinmatrizen sind . Somit sind die Euler-Parameter die Koeffizienten für die Darstellung einer dreidimensionalen Rotation in SU (2).
Siehe auch
- Rotationsformalismen in drei Dimensionen
- Quaternionen und räumliche Rotation
- Versor
- Spinoren in drei Dimensionen
- SO (4)
- 3D-Rotationsgruppe
Verweise
- Cartan, Élie (1981). Die Theorie der Spinoren . Dover. ISBN 0-486-64070-1 .
- Hamilton, WR (1899). Elemente von Quaternionen . Cambridge University Press.
- Haug, EJ (1984). Computergestützte Analyse und Optimierung der Dynamik mechanischer Systeme . Springer-Verlag.
- Garza, Eduardo; Pacheco Quintanilla, ME (Juni 2011). "Benjamin Olinde Rodrigues, matemático y filántropo, y su influencia en la Física Mexicana" (PDF) . Revista Mexicana de Física (auf Spanisch): 109–113. Archiviert vom Original (pdf) am 23.04.2012.
- Shuster, Malcolm D. (1993). "Eine Übersicht über die Einstellungen" (pdf) . Zeitschrift der Astronautischen Wissenschaften . 41 (4): 439–517.