Extrem unverbundener Raum - Extremally disconnected space

In der Mathematik ist ein extrem unzusammenhängender Raum ein topologischer Raum, in dem der Abschluss jeder offenen Menge offen ist. (Der Begriff „extrem getrennt“ ist richtig, auch wenn das Wort „extrem“ in den meisten Wörterbüchern nicht vorkommt. Der Begriff „ extrem getrennt“ wird manchmal verwendet, ist aber falsch.)

Ein extrem unzusammenhängender Raum, der auch kompakt ist und Hausdorff wird manchmal als Stonean-Raum bezeichnet . Dies unterscheidet sich von einem Steinraum , der normalerweise ein vollständig getrennter kompakter Hausdorff-Raum ist. In der Dualität zwischen Stone-Räumen und Booleschen Algebren entsprechen die Stone-Räume den vollständigen Booleschen Algebren .

Ein extrem unzusammenhängender zuerst abzählbarer sammlungsmäßiger Hausdorff-Raum muss diskret sein . Insbesondere für metrische Räume ist die Eigenschaft, extrem unzusammenhängend zu sein (der Abschluss jeder offenen Menge ist offen) äquivalent zur Eigenschaft, diskret zu sein (jede Menge ist offen).

Beispiele

• Jeder diskrete Raum ist extrem unzusammenhängend. Jeder indiskrete Raum ist sowohl extrem getrennt als auch verbunden.
• Die Stone-Čech-Kompaktifizierung eines diskreten Raumes ist extrem unzusammenhängend.
• Das Spektrum einer abelschen von Neumann-Algebra ist extrem unzusammenhängend.
• Jede kommutative AW*-Algebra ist isomorph zu wobei extrem unverbunden, kompakt und Hausdorff ist.${\displaystyle C(X)}$${\displaystyle X}$
• Jeder unendliche Raum mit der kofiniten Topologie ist sowohl extrem unverbunden als auch verbunden . Allgemeiner gesagt ist jeder hyperverbundene Raum extrem unverbunden.
• Der Raum auf drei Punkten mit Basis liefert ein endliches Beispiel für einen Raum, der sowohl extrem getrennt als auch verbunden ist.${\displaystyle \{\{x,y\},\{x,y,z\}\}}$

Äquivalente Charakterisierungen

Ein Satz von Gleason (1958) besagt, dass die projektiven Objekte der Kategorie der kompakten Hausdorff-Räume genau die extrem unzusammenhängenden kompakten Hausdorff-Räume sind. Einen vereinfachten Beweis dafür liefert Rainwater (1959) .

Ein kompakter Hausdorff-Raum ist genau dann extrem unzusammenhängend, wenn er ein Retract der Stone-Čech-Kompaktifikation eines diskreten Raums ist.

Anwendungen

Hartig (1983) beweist den Riesz-Markov-Kakutani-Darstellungssatz, indem er ihn auf den Fall extrem unzusammenhängender Räume reduziert, in welchem ​​Fall der Darstellungssatz mit elementaren Mitteln bewiesen werden kann.

Siehe auch

• Völlig getrennter Raum

Verweise

• AV Arkhangelskii (2001) [1994], "Extremly-disconnected space" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Gleason, Andrew M. (1958), "Projektive topologische Räume", Illinois Journal of Mathematics , 2 (4A): 482–489, doi : 10.1215/ijm/1255454110 , MR  0121775
• Hartig, Donald G. (1983), "The Riesz Repräsentationstheorem revisited", American Mathematical Monthly , 90 (4): 277–280, doi : 10.2307/2975760
• Johnstone, Peter T. (1982). Steinräume . Cambridge University Press. ISBN 0-521-23893-5.
• Rainwater, John (1959), „A Note on Projective Resolutions“, Proceedings of the American Mathematical Society , 10 (5): 734–735, doi : 10.2307/2033466 , JSTOR  2033466
• Semadeni, Zbigniew (1971), Banachräume stetiger Funktionen. vol. I , PWN---Polish Scientific Publishers, Warschau, MR  0296671