Voll normalisierte Untergruppe - Fully normalized subgroup

In der Mathematik wird auf dem Gebiet der Gruppentheorie eine Untergruppe einer Gruppe als vollständig normalisiert bezeichnet, wenn sich jeder Automorphismus der Untergruppe zu einem inneren Automorphismus der gesamten Gruppe erhebt . Eine andere Möglichkeit, dies auszudrücken, besteht darin, dass die natürliche Einbettung von der Weyl-Gruppe der Untergruppe in ihre Automorphismusgruppe surjektiv ist.

In Symbolen ist eine Untergruppe vollständig normalisiert, wenn bei einem Automorphismus von eine solche vorhanden ist , dass die Karte , wenn sie auf beschränkt ist, gleich ist . ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle g \ in G}$${\ displaystyle x \ mapsto gxg ^ {- 1}}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ sigma}$

Einige Fakten:

• Jede Gruppe kann als normale und vollständig normalisierte Untergruppe einer größeren Gruppe eingebettet werden . Eine natürliche Konstruktion hierfür ist das Holomorph , das sein halbdirektes Produkt mit seiner Automorphismusgruppe ist.
• Eine vollständige Gruppe wird in jeder größeren Gruppe, in die sie eingebettet ist, vollständig normalisiert, da jeder Automorphismus derselben innerlich ist.
• Jede vollständig normalisierte Untergruppe verfügt über die Eigenschaft zur Erweiterung des Automorphismus .

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