Robustes Feld - Hardy field
In der Mathematik ist ein Hardy - Feld ist ein Bereich , bestehend aus Keimen von reellwertigen Funktionen im Unendlichen , die unter geschlossen ist Differenzierung . Sie sind nach dem englischen Mathematiker GH Hardy benannt .
Definition
Zumindest anfangs wurden Hardy-Felder als Keime reeller Funktionen im Unendlichen definiert. Konkret betrachten wir eine Sammlung H von Funktionen, die für alle großen reellen Zahlen definiert sind, also Funktionen f , die ( u ,∞) auf die reellen Zahlen R abbilden , wobei u eine von f abhängige reelle Zahl ist . Hier und im Rest des Artikels wir sagen , eine Funktion die Eigenschaft hat , „ schließlich “ , wenn es die Eigenschaft für alle ausreichend groß ist x , so zum Beispiel sagen , dass wir eine Funktion f in H ist schließlich Null , wenn es eine reelle Zahl U solche dass f ( x ) = 0 für alle x ≥ U . Wir können eine Äquivalenzrelation auf H bilden, indem wir sagen, dass f genau dann zu g äquivalent ist, wenn f − g schließlich null ist. Die Äquivalenzklassen dieser Relation heißen Keime im Unendlichen.
Bildet H einen Körper unter der üblichen Addition und Multiplikation von Funktionen, so wird H modulo diese Äquivalenzrelation unter den induzierten Additions- und Multiplikationsoperationen. Wenn außerdem jede Funktion in H schließlich differenzierbar ist und die Ableitung einer beliebigen Funktion in H auch in H ist, dann wird H modulo die obige Äquivalenzrelation Hardy-Körper genannt.
Elemente eines Hardy-Körpers sind daher Äquivalenzklassen und sollten beispielsweise mit [ f ] ∞ bezeichnet werden, um die Klasse von Funktionen zu bezeichnen, die schließlich gleich der repräsentativen Funktion f sind . In der Praxis werden die Elemente jedoch normalerweise nur von den Repräsentanten selbst bezeichnet, also würde man anstelle von [ f ] ∞ einfach f schreiben .
Beispiele
Wenn F ein Teilkörper von R ist, können wir ihn als Hardy-Körper betrachten, indem wir die Elemente von F als konstante Funktionen betrachten, dh indem wir die Zahl α in F als die konstante Funktion f α betrachten , die jedes x in R auf α abbildet . Dies ist ein Körper, da F ist, und da die Ableitung jeder Funktion in diesem Körper 0 ist, die in F sein muss, ist es ein Hardy-Körper.
Ein weniger triviales Beispiel für ein Hardy-Körper ist der Körper rationaler Funktionen auf R , bezeichnet mit R ( x ). Dies ist die Menge von Funktionen der Form P ( x )/ Q ( x ), wobei P und Q Polynome mit reellen Koeffizienten sind. Da das Polynom Q nur endlich viele Nullen durch die haben Fundamentalsatz der Algebra , wie eine rationale Funktion ist für alle ausreichend groß definiert werden x , speziell für alle x größer als der größte reale Wurzel von Q . Das Addieren und Multiplizieren rationaler Funktionen ergibt mehr rationale Funktionen, und die Quotientenregel zeigt, dass die Ableitung der rationalen Funktion wieder eine rationale Funktion ist, sodass R ( x ) ein Hardy-Feld bildet.
Ein weiteres Beispiel ist der Funktionsbereich, der mit den üblichen arithmetischen Operationen, Exponenten und Logarithmen ausgedrückt werden kann und in einem Intervall der Form wohldefiniert ist . Solche Funktionen werden manchmal als Hardy-L-Funktionen bezeichnet . Viel größere Hardy-Felder (die Hardy-L-Funktionen als Unterfeld enthalten) können mit transseries definiert werden .
Eigenschaften
Jedes Element eines Hardy-Feldes ist schließlich entweder strikt positiv, strikt negativ oder null. Dies folgt ziemlich unmittelbar aus der Tatsache, dass die Elemente in einem Hardy-Körper schließlich differenzierbar und daher stetig sind und schließlich entweder eine multiplikative Inverse haben oder null sind. Dies bedeutet, dass periodische Funktionen wie die Sinus- und Cosinusfunktionen in Hardy-Feldern nicht existieren können.
Diese Vermeidung periodischer Funktionen bedeutet auch, dass jedes Element in einem Hardy-Körper einen (möglicherweise unendlichen) Grenzwert im Unendlichen hat. Wenn also f ein Element von H ist , dann
existiert in R ∪ {−∞,+∞}.
Es bedeutet auch , können wir einen Platz Bestellung auf H mit den Worten : f < g , wenn g - f schließlich streng positiv ist. Beachten Sie, dass dies nicht dasselbe ist wie die Angabe f < g, wenn der Grenzwert von f kleiner als der Grenzwert von g ist . Zum Beispiel, wenn wir die Keime der Identitätsfunktion betrachten f ( x ) = x und die Exponentialfunktion g ( x ) = e x dann da g ( x ) - f ( x )> 0 für alle x haben wir , dass g > f . Aber beide neigen zur Unendlichkeit. In diesem Sinne sagt uns die Ordnung, wie schnell alle unbeschränkten Funktionen ins Unendliche divergieren.
In der Modelltheorie
Die moderne Theorie der Hardy-Körper beschränkt sich nicht auf reelle Funktionen, sondern auf solche, die in bestimmten Strukturen definiert sind, die reale geschlossene Felder erweitern . Wenn R eine o-minimale Entwicklung eines Körpers ist, dann bildet die Menge der unär definierbaren Funktionen in R , die für alle hinreichend großen Elemente definiert sind, ein Hardy-Körper mit der Bezeichnung H ( R ). Die Eigenschaften von Hardy-Feldern in der realen Einstellung bleiben auch in dieser allgemeineren Einstellung erhalten.