Hausdorff - Junge Ungleichung - Hausdorff–Young inequality

Die Hausdorff-Young-Ungleichung ist ein grundlegendes Ergebnis im mathematischen Bereich der Fourier-Analyse . Als Aussage zur Fourier-Reihe wurde sie von William Henry Young ( 1913 ) entdeckt und von Hausdorff ( 1923 ) erweitert. Es wird heute typischerweise als eine ziemlich direkte Folge des Plancherel-Theorems verstanden , das 1910 in Kombination mit dem Riesz-Thorin-Theorem gefunden wurde , das ursprünglich 1927 von Marcel Riesz entdeckt wurde. Mit dieser Maschinerie lässt es leicht mehrere Verallgemeinerungen zu, einschließlich des mehrdimensionalen Fouriers Reihen und zur Fourier-Transformation auf der realen Linie, euklidische Räume sowie allgemeinere Räume. Mit diesen Erweiterungen ist es eines der bekanntesten Ergebnisse der Fourier-Analyse, das in fast jedem einführenden Lehrbuch für Hochschulabsolventen zu diesem Thema enthalten ist.

Die Natur der Hausdorff-Young-Ungleichung kann nur mit Riemann-Integration und unendlichen Reihen als Voraussetzung verstanden werden. $Definieren Sie bei$ gegebener stetiger Funktion $f : (0,1) \to ℝ$ ihre "Fourier-Koeffizienten" durch

{\ displaystyle c_ {n} = \ int _ {0} ^ {1} e ^ {- 2 \ pi inx} f (x) \, dx}

für jede ganze Zahl $n$ . Die Hausdorff-Young-Ungleichung sagt das aus

{\ displaystyle \ left (\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | c_ {n} | ^ {3} \ right) ^ {1/3} \ leq \ left (\ int _ {0 } ^ {1} | f (t) | ^ {3/2} \, dt \ right) ^ {2/3}.}

Im Großen und Ganzen kann dies so interpretiert werden, dass die "Größe" der Funktion $f$ , wie sie durch die rechte Seite der obigen Ungleichung dargestellt wird, die "Größe" ihrer Folge von Fourier-Koeffizienten steuert, wie durch die linke dargestellt. Handseite.

Dies ist jedoch nur ein sehr spezifischer Fall des allgemeinen Satzes. Die üblichen Formulierungen des Theorems sind nachstehend unter Verwendung der Maschinerie der $L p$ -Räume und der Lebesgue-Integration angegeben .

Der konjugierte Exponent

Definieren Sie bei einer reellen Zahl $p$ ungleich Null die reelle Zahl $p '$ (den "konjugierten Exponenten" von $p$ ) durch die Gleichung

{\ displaystyle {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {p '}} = 1.}

Wenn $p$ gleich eins ist, hat diese Gleichung keine Lösung, aber sie wird so interpretiert, dass $p '$ als Element der erweiterten reellen Zahlenlinie unendlich ist . Wenn $p$ als Element der erweiterten reellen Zahlenlinie unendlich ist , wird dies ebenfalls so interpretiert, dass $p '$ gleich eins ist.

Die allgemein verständlichen Merkmale des konjugierten Exponenten sind einfach:

Der konjugierte Exponent einer Zahl im Bereich [1,2] liegt im Bereich [2, ∞].
Der konjugierte Exponent einer Zahl im Bereich [2, ∞] liegt im Bereich [1,2]
der konjugierte Exponent von 2 ist 2

Aussagen des Satzes

die Fourierreihe

Bei gegebener Funktion definiert man seine "Fourier-Koeffizienten" als Funktion durch ${\ displaystyle f: (0,1) \ to \ mathbb {C},}$ ${\ displaystyle c: \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {C}}$

{\ displaystyle c (n) = \ int _ {0} ^ {1} f (t) e ^ {- 2 \ pi int} \, dt,}

obwohl für eine beliebige Funktion $f$ diese Integrale möglicherweise nicht existieren. Die Hölder-Ungleichung zeigt, dass, wenn $f$ für eine Zahl $p$ ∈ [1, ∞] in $L p (0,1) ist$ , jeder Fourier-Koeffizient gut definiert ist.

Die Hausdorff-Young-Ungleichung besagt, dass man für jede Zahl p im Intervall (1,2] hat

{\ displaystyle {\ Big (} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ big |} c (n) {\ big |} ^ {p '} {\ Big)} ^ {1 / p '} \ leq {\ Big (} \ int _ {0} ^ {1} | f (t) | ^ {p} \, dt {\ Big)} ^ {1 / p}}

für alle $f$ in $L p (0,1)$ . Umgekehrt wird immer noch $p$ ∈ (1,2] angenommen, wenn es sich um eine Abbildung für welche handelt ${\ displaystyle c: \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {C}}$

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ big |} c (n) {\ big |} ^ {p} <\ infty,}

dann gibt es, deren Fourier-Koeffizienten c und mit sind ${\ displaystyle f \ in L ^ {p '} (0,1)}$

{\ displaystyle {\ Big (} \ int _ {0} ^ {1} | f (t) | ^ {p '} \, dt {\ Big)} ^ {1 / p'} \ leq {\ Big ( } \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ big |} c (n) {\ big |} ^ {p} {\ Big)} ^ {1 / p}.}

Verweise. Abschnitt XII.2 in Band II von Zygmunds Buch

Mehrdimensionale Fourierreihen

Der Fall der Fourier-Reihe verallgemeinert sich auf den mehrdimensionalen Fall. Wenn eine Funktion gegeben ist, definieren Sie ihre Fourier-Koeffizienten durch ${\ displaystyle f: (0,1) ^ {k} \ to \ mathbb {C},}$ ${\ displaystyle c: \ mathbb {Z} ^ {k} \ to \ mathbb {C}}$

{\ displaystyle c (n_ {1}, \ ldots, n_ {k}) = \ int _ {(0,1) ^ {k}} f (x) e ^ {- 2 \ pi i (n_ {1} x_ {1} + \ cdots + n_ {k} x_ {k})} \, dx.}

Wie im Fall der Fourier-Reihen stellt die Annahme, dass f für einen Wert von p in [1, ∞] in L ^{p ist} , über die Hölder-Ungleichung die Existenz der Fourier-Koeffizienten sicher. Die Hausdorff-Young-Ungleichung besagt nun, dass wenn p im Bereich [1,2] liegt, dann

{\ displaystyle {\ Big (} \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z} ^ {k}} {\ big |} c (n) {\ big |} ^ {p '} {\ Big)} ^ {1 / p '} \ leq {\ Big (} \ int _ {(0,1) ^ {k}} | f (x) | ^ {p} \, dx {\ Big)} ^ {1 / p }}

für jedes $f$ in $L p ((0,1) k)$ .

Verweise. Seite 248 von Follands Buch

Die Fourier-Transformation

Man definiert die mehrdimensionale Fourier-Transformation durch

{\ displaystyle {\ widehat {f}} (\ xi) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- 2 \ pi i \ langle x, \ xi \ rangle} f (x) \, dx.}

Die Hausdorff-Young-Ungleichung in dieser Einstellung besagt, dass wenn p eine Zahl im Intervall [1,2] ist, man eine hat

{\ displaystyle {\ Big (} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} {\ big |} {\ widehat {f}} (\ xi) {\ big |} ^ {p '} \, d \ xi {\ Big)} ^ {1 / p '} \ leq {\ Big (} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} {\ big |} f (x) {\ big |} ^ {p} \, dx {\ Big)} ^ {1 / p}}

für jedes f in L ^p (ℝ ⁿ ).

Verweise. Seite 114 von Grafakos 'Buch, Seite 165 von Hörmanders Buch, Seite 11 von Reed und Simons Buch oder Abschnitt 5.1 von Stein und Weiss' Buch. Hörmander und Reed-Simons Bücher verwenden Konventionen zur Definition der Fourier-Transformation, die sich von denen dieses Artikels unterscheiden.

Die Sprache der normierten Vektorräume

Die obigen Ergebnisse können kurz und bündig umformuliert werden als:

Die Abbildung, die eine Funktion $(0,1) k \to ℂ$ an ihre Fourier-Koeffizienten $sendet$ , definiert eine begrenzte $komplexlineare$ Abbildung $L p ((0,1) k, dx) \to L p / (p -1) (ℤ k, dn)$ für eine beliebige Zahl $p$ im Bereich $[1,2]$ . Hier bezeichnet $dx$ das Lebesgue-Maß und $dn$ das Zählmaß. Darüber hinaus ist die Operatornorm dieser linearen Karte kleiner oder gleich eins.
Die Abbildung, die eine Funktion $ℝ n \to ℂ$ an ihre Fourier-Transformation sendet , definiert eine begrenzte $komplexlineare$ Abbildung $L p (ℝ n) \to L p / (p -1) (ℝ n)$ für eine beliebige Zahl $p$ im Bereich $[1, 2]$ . Darüber hinaus ist die Operatornorm dieser linearen Karte kleiner oder gleich eins.

Beweis

Hier verwenden wir die Sprache normierter Vektorräume und begrenzter linearer Karten, wie es für die Anwendung des Riesz-Thorin-Theorems zweckmäßig ist. Der Beweis enthält zwei Zutaten:

Nach dem Plancherel-Theorem definiert die Fourier-Reihe (oder Fourier-Transformation) eine begrenzte lineare Abbildung $L 2 \to L 2$ .
Wenn man nur die einzelne Gleichheit für reelle Zahlen $n$ und $a verwendet$ , kann man direkt sehen, dass die Fourier-Reihe (oder Fourier-Transformation) eine begrenzte lineare Abbildung $L$ $1$ $\to$ $L$ $\infty definiert$ . ${\ displaystyle | e ^ {- 2 \ pi ina} | = 1}$

Die Operatornorm von linearen Karten ist kleiner oder gleich eins, wie man direkt überprüfen kann. Man kann dann den Riesz-Thorin-Satz anwenden .

Beckners scharfe Hausdorff-Young-Ungleichung

Gleichheit wird in der Hausdorff-Young-Ungleichung für (mehrdimensionale) Fourier-Reihen durch Nehmen erreicht

{\ displaystyle f (x) = e ^ {2 \ pi i (m_ {1} x_ {1} + \ cdots + m_ {k} x_ {k})}}

für eine bestimmte Wahl von ganzen Zahlen In der obigen Terminologie von "normierten Vektorräumen" wird behauptet, dass die Operatornorm der entsprechenden begrenzten linearen Karte genau gleich eins ist. ${\ displaystyle m_ {1}, \ ldots, m_ {k}.}$

Da die Fourier-Transformation der Fourier-Reihe sehr ähnlich ist und die obige Hausdorff-Young-Ungleichung für die Fourier-Transformation mit genau den gleichen Mitteln wie die Hausdorff-Young-Ungleichung für die Fourier-Reihe bewiesen wird, kann es überraschend sein, dass für nicht die Gleichheit erreicht wird die obige Hausdorff-Young-Ungleichung für die Fourier-Transformation, abgesehen von dem Sonderfall, für den das Plancherel-Theorem behauptet, dass die Hausdorff-Young-Ungleichung eine exakte Gleichheit ist. ${\ displaystyle p = 2}$

Tatsächlich zeigte Beckner (1975) nach einem Sonderfall in Babenko (1961) , dass wenn $p$ eine Zahl im Intervall ist $[1,2]$ , dann

{\ displaystyle {\ Big (} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} {\ big |} {\ widehat {f}} (\ xi) {\ big |} ^ {p '} \, d \ xi {\ Big)} ^ {1 / p '} \ leq {\ Big (} {\ frac {p ^ {1 / p}} {(p') ^ {1 / p '}} {\ Groß)} ^ {n / 2} {\ Big (} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} {\ big |} f (x) {\ big |} ^ {p} \, dx { \ Big)} ^ {1 / p}}

für jedes $f$ in $L p (ℝ n)$ . Dies ist eine Verbesserung der Standard-Hausdorff-Young-Ungleichung, da der Kontext $p \leq2$ und $p ' \geq2$ sicherstellt, dass die Zahl auf der rechten Seite dieser " Babenko-Beckner-Ungleichung " kleiner oder gleich 1 ist. Darüber hinaus kann diese Zahl nicht durch eine kleinere ersetzt werden, da bei Gaußschen Funktionen Gleichheit erreicht wird. In diesem Sinne liefert Beckners Arbeit eine optimale ("scharfe") Version der Hausdorff-Young-Ungleichung. In der Sprache der normierten Vektorräume heißt es, dass die Operatornorm der begrenzten linearen Abbildung $L p (ℝ n) \to L p / (p -1) (ℝ n)$ , wie sie durch die Fourier-Transformation definiert ist, genau gleich ist

{\ displaystyle {\ Big (} {\ frac {p ^ {1 / p}} {(p ') ^ {1 / p'}} {\ Big)} ^ {n / 2}.}

Die Bedingung auf dem Exponenten

Die Bedingung $p \in [1,2]$ ist wesentlich. Wenn $p > 2 ist$ , gibt die Tatsache, zu der eine Funktion gehört , keine zusätzlichen Informationen über die Reihenfolge des Wachstums ihrer Fourier-Reihe über die Tatsache hinaus, in der sie sich befindet . ${\ displaystyle L ^ {p}}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$

Verweise

Forschungsartikel

Babenko, K. Ivan (1961), "Eine Ungleichung in der Theorie der Fourier-Integrale", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya , 25 : 531–542, ISSN 0373–2436 , MR 0138939Englische Übersetzung, Amer. Mathematik. Soc. Übersetzen. (2) 44, S. 115–128
Beckner, William (1975), "Ungleichungen in der Fourier-Analyse", Annals of Mathematics , Second Series, 102 (1): 159–182, doi : 10.2307 / 1970980 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970980 , MR 0385456
Hausdorff, Felix (1923), "Eine Ausdehnung des Parsevalschen Satzes über Fourierreihen", Mathematische Zeitschrift , 16 : 163–169, doi : 10.1007 / BF01175679
Young, WH (1913), "Zur Bestimmung der Summierbarkeit einer Funktion mittels ihrer Fourierkonstanten", Proc. London Math. Soc. , 12 : 71–88, doi : 10.1112 / plms / s2-12.1.71

Lehrbücher

Bergh, Jöran; Löfström, Jörgen. Interpolationsräume. Eine Einleitung. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Nr. 223. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1976. x + 207 pp.
Folland, Gerald B. Reale Analyse. Moderne Techniken und ihre Anwendungen. Zweite Ausgabe. Reine und Angewandte Mathematik (New York). Eine Wiley-Interscience-Publikation. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1999. xvi + 386 S. ISBN 0-471-31716-0
Grafakos, Loukas. Klassische Fourier-Analyse. Dritte Edition. Graduate Texts in Mathematics, 249. Springer, New York, 2014. xviii + 638 S. ISBN 978-1-4939-1193-6 , 978-1-4939-1194-3
Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. Abstrakte harmonische Analyse. Vol. II: Struktur und Analyse für kompakte Gruppen. Analyse lokal kompakter abelscher Gruppen. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 152 Springer-Verlag, New York-Berlin 1970 ix + 771 pp.
Hörmander, Lars. Die Analyse linearer partieller Differentialoperatoren. I. Verteilungstheorie und Fourier-Analyse. Nachdruck der zweiten Ausgabe (1990) [Springer, Berlin; MR1065993]. Klassiker in der Mathematik. Springer-Verlag, Berlin, 2003. x + 440 S. ISBN 3-540-00662-1
Reed, Michael; Simon, Barry. Methoden der modernen mathematischen Physik. II. Fourier-Analyse, Selbstadjunktheit. Akademische Presse [Harcourt Brace Jovanovich, Verlag], New York-London, 1975. xv + 361 pp.
Stein, Elias M.; Weiss, Guido. Einführung in die Fourier-Analyse euklidischer Räume. Princeton Mathematical Series, Nr. 32. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1971. x + 297 pp.
Zygmund, A. Trigonometrische Reihe. Vol. Ich, II. Dritte Edition. Mit einem Vorwort von Robert A. Fefferman. Cambridge Mathematical Library. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii; Vol. I: xiv + 383 pp.; Vol. II: viii + 364 S. ISBN 0-521-89053-5

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