Ikosianisch - Icosian

In der Mathematik sind die Ikosianen eine spezifische Menge von Hamiltonschen Quaternionen mit der gleichen Symmetrie wie die 600-Zelle . Der Begriff kann verwendet werden, um sich auf zwei verwandte, aber unterschiedliche Konzepte zu beziehen:

• Die icosianische Gruppe : eine multiplikative Gruppe von 120 Quaternionen, die an den Scheitelpunkten einer 600-Zelle mit Einheitsradius positioniert sind. Diese Gruppe ist isomorph zur binären ikosaedrischen Gruppe der Ordnung 120.
• Der Ikosische Ring : alle endlichen Summen der 120 Einheits-Ikosen.

Einheit Ikosianer

Die 120-Einheiten-Ikosianer, die die Ikosian-Gruppe bilden, sind alle gerade Permutationen von:

• 8 Ikosianer der Form ½(±2, 0, 0, 0)
• 16 Ikosianen der Form ½(±1, ±1, ±1, ±1)
• 96 Ikosianer der Form ½(0, ±1, ±1 /φ , ± φ )

In diesem Fall bezieht sich der Vektor ( a ,  b ,  c ,  d ) auf die Quaternion a  +  b i  +  c j  + d k und repräsentiert den Goldenen Schnitt ( √ 5  + 1)/2. Diese 120 Vektoren bilden das H4-Wurzelsystem mit einer Weyl-Gruppe der Ordnung 14400. Zusätzlich zu den 120 Einheits-Ikosianen, die die Scheitel einer 600-Zelle bilden, bilden die 600 Ikosen der Norm 2 die Scheitel einer 120-Zelle . Andere Untergruppen von Ikosianen entsprechen dem Tesseract , 16-zellig und 24-zellig .

Ikosischer Ring

Die icosians liegen im Goldenen Feld , ( a  +  b √ 5 ) + ( c  +  d √ 5 ) i  + ( e  +  f √ 5 ) j  + ( g  +  h √ 5 ) k , wobei die acht Variablen sind rationale Zahlen . Diese Quaternion ist nur dann eine Ikose, wenn der Vektor ( a ,  b ,  c ,  d ,  e ,  f ,  g ,  h ) ein Punkt auf einem Gitter L ist , das isomorph zu einem E8-Gitter ist .

Die Quaternion Norm des obigen Elements genauer ist, ( a  +  b √ 5 ) ²  + ( c  +  d √ 5 ) ²  + ( e  +  f √ 5 ) ²  + ( g  +  h √ 5 ) ² . Seine euklidische Norm ist als u  +  v definiert, wenn die Quaternionennorm u  +  v √ 5 ist . Diese euklidische Norm definiert eine quadratische Form auf L , unter der das Gitter isomorph zum E8-Gitter ist .

Diese Konstruktion zeigt, dass die Coxeter-Gruppe als Untergruppe von eingebettet ist . Tatsächlich bewahrt ein linearer Isomorphismus, der die Quaternionennorm beibehält, auch die euklidische Norm. ${\displaystyle H_{4}}$${\displaystyle E_{8}}$

Verweise

• John H. Conway , Neil Sloane : Kugelpackungen, Gitter und Gruppen (2. Auflage)
• John H. Conway, Heidi Burgiel , Chaim Goodman-Strauss : Die Symmetrien der Dinge (2008)
• Frans Marcelis Icosians und ADE
• Adam P. Goucher Gute Fibrationen