Kreis und Kreis eines Dreiecks - Incircle and excircles of a triangle

In der Geometrie der Inkreis oder Gravierter Kreis eines Dreiecks ist der größte Kreis im Dreieck enthalten ist ; es berührt (ist Tangente zu) die drei Seiten. Das Zentrum des Kreises ist ein Dreieckszentrum, das als Mittelpunkt des Dreiecks bezeichnet wird .

Ein Kreis oder ein beschriebener Kreis des Dreiecks ist ein Kreis, der außerhalb des Dreiecks liegt, tangential zu einer seiner Seiten und tangential zu den Verlängerungen der beiden anderen . Jedes Dreieck hat drei verschiedene Kreise, die jeweils eine der Seiten des Dreiecks tangieren.

Der Mittelpunkt des Inkreises, der angerufene incenter , kann als der Schnittpunkt der drei finden inneren Winkelhalbierenden . Das Zentrum eines Kreises ist der Schnittpunkt der inneren Winkelhalbierenden eines Winkels ( z. B. am Scheitelpunkt ) und der äußeren Winkelhalbierenden der beiden anderen. Das Zentrum dieses Kreises wird Exzenter relativ zum Scheitelpunkt oder Exzenter von genannt . Da die innere Winkelhalbierende senkrecht zu ihrer äußeren Winkelhalbierenden steht, bildet das Zentrum des Kreises zusammen mit den drei Kreiszentren ein orthozentrisches System . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Alle regulären Polygone haben nach allen Seiten tangentiale Kreise, aber nicht alle Polygone. diejenigen, die dies tun, sind tangentiale Polygone . Siehe auch Tangenten an Kreise .

Incircle und Incenter

Angenommen, es gibt einen Kreis mit Radius und Mittelpunkt . Sei die Länge von , die Länge von und die Länge von . Auch lassen , und sein , die Berührungspunkte , wo die incircle berührt , und . ${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle AC}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle T_ {A}}$${\ displaystyle T_ {B}}$${\ displaystyle T_ {C}}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle AC}$${\ displaystyle AB}$

Im zentrum

Die incenter ist der Punkt , an dem die inneren Winkelhalbierenden von aufeinander treffen. ${\ displaystyle \ angle ABC, \ angle BCA, {\ text {und}} \ angle BAC}$

Der Abstand vom Scheitelpunkt zum Incenter beträgt: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle I}$

${\ displaystyle d (A, I) = c {\ frac {\ sin \ left ({\ frac {B} {2}} \ right)} {\ cos \ left ({\ frac {C} {2}} \ right)}} = b {\ frac {\ sin \ left ({\ frac {C} {2}} \ right)} {\ cos \ left ({\ frac {B} {2}} \ right)} }.}$

Trilineare Koordinaten

Die trilinearen Koordinaten für einen Punkt im Dreieck sind das Verhältnis aller Abstände zu den Dreieckseiten. Da der Incenter von allen Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand hat, sind die trilinearen Koordinaten für den Incenter

${\ displaystyle \ 1: 1: 1.}$

Schwerpunktkoordinaten

Die Schwerpunktkoordinaten für einen Punkt in einem Dreieck geben Gewichte an, sodass der Punkt der gewichtete Durchschnitt der Dreieckscheitelpunktpositionen ist. Schwerpunktkoordinaten für den Incenter sind gegeben durch

${\ displaystyle \ a: b: c}$

wobei , , und sind die Längen der Seiten des Dreiecks, oder äquivalent (unter Verwendung des Gesetzes von sines ) durch ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle \ sin (A): \ sin (B): \ sin (C)}$

wo , und sind die Winkel an den drei Ecken. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$

Kartesischen Koordinaten

Die kartesischen Koordinaten des Incenters sind ein gewichteter Durchschnitt der Koordinaten der drei Eckpunkte unter Verwendung der Seitenlängen des Dreiecks relativ zum Umfang (dh unter Verwendung der oben angegebenen Schwerpunktkoordinaten, normalisiert auf Summe zu Eins) als Gewichte. Die Gewichte sind positiv, so dass der Incenter wie oben angegeben innerhalb des Dreiecks liegt. Wenn die drei Scheitelpunkte an angeordnet sind , und , und die Seiten gegenüber den Eckpunkten haben entsprechende Längen , und dann ist der incenter an ${\ displaystyle (x_ {a}, y_ {a})}$${\ displaystyle (x_ {b}, y_ {b})}$${\ displaystyle (x_ {c}, y_ {c})}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {ax_ {a} + bx_ {b} + cx_ {c}} {a + b + c}}, {\ frac {ay_ {a} + by_ {b} + cy_ { c}} {a + b + c}} \ rechts) = {\ frac {a \ links (x_ {a}, y_ {a} \ rechts) + b \ links (x_ {b}, y_ {b} \ rechts) + c \ links (x_ {c}, y_ {c} \ rechts)} {a + b + c}}.}$

Radius

Die inradius des Inkreises in einem Dreieck mit den Seitenlängen , , ist gegeben durch ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle r = {\ sqrt {\ frac {(sa) (sb) (sc)} {s}}},}$ wo ${\ displaystyle s = (a + b + c) / 2.}$

Siehe Herons Formel .

Abstände zu den Eckpunkten

Mit der Bezeichnung des Incenters von as folgen die Abstände vom Incenter zu den Eckpunkten in Kombination mit den Längen der Dreieckseiten der Gleichung ${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ displaystyle I}$

${\ displaystyle {\ frac {IA \ cdot IA} {CA \ cdot AB}} + {\ frac {IB \ cdot IB} {AB \ cdot BC}} + {\ frac {IC \ cdot IC} {BC \ cdot CA}} = 1.}$

Zusätzlich,

${\ displaystyle IA \ cdot IB \ cdot IC = 4Rr ^ {2},}$

wo und sind der Circumradius und der Inradius des Dreiecks . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle r}$

Andere Eigenschaften

Die Sammlung von Dreieckszentren kann die Struktur einer Gruppe unter koordinatenweiser Multiplikation von trilinearen Koordinaten erhalten; In dieser Gruppe bildet der Incenter das Identitätselement .

Kreis und seine Radius-Eigenschaften

Abstände zwischen dem Scheitelpunkt und den nächsten Berührungspunkten

Die Abstände von einem Scheitelpunkt zu den beiden nächstgelegenen Berührungspunkten sind gleich. zum Beispiel:

${\ displaystyle d \ left (A, T_ {B} \ right) = d \ left (A, T_ {C} \ right) = {\ frac {1} {2}} (b + ca).}$

Andere Eigenschaften

Angenommen, die Tangentialpunkte des Kreises teilen die Seiten in Längen von und , und und und . Dann hat der Kreis den Radius ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle r = {\ sqrt {\ frac {xyz} {x + y + z}}}$

und die Fläche des Dreiecks ist

${\ displaystyle \ Delta = {\ sqrt {xyz (x + y + z)}}.}$

Wenn die Höhe von den Seiten von Längen , und ist , und , dann ist die inradius ist ein Drittel des harmonischen Mittels dieser Höhenlagen; das ist, ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle h_ {a}}$${\ displaystyle h_ {b}}$${\ displaystyle h_ {c}}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle r = {\ frac {1} {{\ frac {1} {h_ {a}}} + {\ frac {1} {h_ {b}}} + {\ frac {1} {h_ {c }}}}}.}$

Das Produkt des Inkreises Radius und der circumcircle Radius eines Dreiecks mit einer Seitenlänge , und ist ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle rR = {\ frac {abc} {2 (a + b + c)}}.}$

Einige Beziehungen zwischen den Seiten, dem Kreisradius und dem Kreisradius sind:

${\ displaystyle {\ begin {align} ab + bc + ca & = s ^ {2} + (4R + r) r, \\ a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} & = 2s ^ {2} -2 (4R + r) r. \ End {align}}}$

Jede Linie durch ein Dreieck, die sowohl die Fläche des Dreiecks als auch seinen Umfang in zwei Hälften teilt, verläuft durch den Mittelpunkt des Dreiecks (die Mitte seines Kreises). Es gibt entweder eins, zwei oder drei davon für ein bestimmtes Dreieck.

Bezeichnen wir die Mitte des incircle von wie , wir haben ${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ displaystyle I}$

${\ displaystyle {\ frac {IA \ cdot IA} {CA \ cdot AB}} + {\ frac {IB \ cdot IB} {AB \ cdot BC}} + {\ frac {IC \ cdot IC} {BC \ cdot CA}} = 1}$

und

${\ displaystyle IA \ cdot IB \ cdot IC = 4Rr ^ {2}.}$

Der Kreisradius ist nicht größer als ein Neuntel der Summe der Höhen.

Der quadratische Abstand vom Incenter zum Circumcenter ist gegeben durch ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle O}$

${\ displaystyle OI ^ {2} = R (R-2r)}$ ,

und der Abstand vom Mittelpunkt zum Mittelpunkt des Neun-Punkte-Kreises beträgt ${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle IN = {\ frac {1} {2}} (R-2r) <{\ frac {1} {2}} R.}$

Der Incenter liegt im medialen Dreieck (dessen Eckpunkte die Mittelpunkte der Seiten sind).

Beziehung zur Fläche des Dreiecks

Der Radius des Kreises hängt mit der Fläche des Dreiecks zusammen. Das Verhältnis der Fläche des Kreises zur Fläche des Dreiecks ist kleiner oder gleich , wobei die Gleichheit nur für gleichseitige Dreiecke gilt . ${\ displaystyle {\ tfrac {\ pi} {3 {\ sqrt {3}}}}$

Angenommen, es gibt einen Kreis mit Radius und Mittelpunkt . Sei die Länge von , die Länge von und die Länge von . Jetzt tangiert der Kreis irgendwann und ist auch richtig. Somit ist der Radius eine Höhe von . Daher hat Basislänge und -höhe , und hat auch Fläche . Ebenso hat Fläche und hat Fläche . Da sich diese drei Dreiecke zersetzen , sehen wir, dass die Fläche ist: ${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle AC}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle T_ {C}}$${\ displaystyle \ angle AT_ {C} I}$${\ displaystyle T_ {C} I}$${\ displaystyle \ triangle IAB}$${\ displaystyle \ triangle IAB}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} cr}$${\ displaystyle \ triangle IAC}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} br}$${\ displaystyle \ triangle IBC}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} ar}$${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ displaystyle \ Delta {\ text {of}} \ triangle ABC}$

${\ displaystyle \ Delta = {\ frac {1} {2}} (a + b + c) r = sr,}$     und     ${\ displaystyle r = {\ frac {\ Delta} {s}},}$

Wo ist die Fläche von und ist sein Semiperimeter . ${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ displaystyle s = {\ tfrac {1} {2}} (a + b + c)}$

Betrachten Sie für eine alternative Formel . Dies ist ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Seite gleich und der anderen Seite gleich . Gleiches gilt für . Das große Dreieck besteht aus sechs solchen Dreiecken und die Gesamtfläche beträgt: ${\ displaystyle \ triangle IT_ {C} A}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r \ cot \ left ({\ frac {A} {2}} \ right)}$${\ displaystyle \ triangle IB'A}$

${\ displaystyle \ Delta = r ^ {2} \ left (\ cot \ left ({\ frac {A} {2}} \ right) + \ cot \ left ({\ frac {B} {2}} \ right) ) + \ cot \ left ({\ frac {C} {2}} \ right) \ right).}$

Gergonne Dreieck und Punkt

Das Gergonne-Dreieck (von ) wird durch die drei Berührungspunkte des Kreises auf den drei Seiten definiert. Der gegenüberliegende Berührungspunkt wird mit usw. bezeichnet . ${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle T_ {A}}$

Dieses Gergonne-Dreieck wird auch als Kontaktdreieck oder Intouch-Dreieck von bezeichnet . Seine Fläche ist ${\ displaystyle \ triangle T_ {A} T_ {B} T_ {C}}$${\ displaystyle \ triangle ABC}$

${\ displaystyle K_ {T} = K {\ frac {2r ^ {2} s} {abc}}}$

wobei , , und sind der Bereich, der Radius des Inkreises und semiperimeter des ursprünglichen Dreiecks, und , , und sind die Seitenlängen des ursprünglichen Dreiecks. Dies ist der gleiche Bereich wie der des extouch-Dreiecks . ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

Die drei Linien , und schneidet sich in einem einzigen Punkt genannt Gergonne Punkt , bezeichnet als (oder Dreieck Zentrum X ₇ ). Der Gergonne-Punkt liegt in der offenen ortho-zentroidalen Scheibe, die in ihrem eigenen Zentrum punktiert ist, und kann ein beliebiger Punkt darin sein. ${\ displaystyle AT_ {A}}$${\ displaystyle BT_ {B}}$${\ displaystyle CT_ {C}}$${\ displaystyle G_ {e}}$

Der Gergonne-Punkt eines Dreiecks hat eine Reihe von Eigenschaften, einschließlich der Tatsache , dass es sich um den Symmedianpunkt des Gergonne-Dreiecks handelt.

Trilineare Koordinaten für die Eckpunkte des Intouch-Dreiecks sind gegeben durch

• ${\ displaystyle {\ text {vertex}} \, T_ {A} = 0: \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {B} {2}} \ right): \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {C} {2}} \ right)}$
• ${\ displaystyle {\ text {vertex}} \, T_ {B} = \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {A} {2}} \ right): 0: \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {C} {2}} \ right)}$
• ${\ displaystyle {\ text {vertex}} \, T_ {C} = \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {A} {2}} \ right): \ sec ^ {2} \ left ({ \ frac {B} {2}} \ right): 0.}$

Trilineare Koordinaten für den Gergonne-Punkt sind gegeben durch

${\ displaystyle \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {A} {2}} \ right): \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {B} {2}} \ right): \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {C} {2}} \ right),}$

oder gleichwertig nach dem Gesetz der Sinus ,

${\ displaystyle {\ frac {bc} {b + ca}}: {\ frac {ca} {c + ab}}: {\ frac {ab} {a + bc}}.}$

Excircles und Excenters

Ein Kreis oder ein beschriebener Kreis des Dreiecks ist ein Kreis, der außerhalb des Dreiecks liegt, tangential zu einer seiner Seiten und tangential zu den Verlängerungen der beiden anderen . Jedes Dreieck hat drei verschiedene Kreise, die jeweils eine der Seiten des Dreiecks tangieren.

Das Zentrum eines Kreises ist der Schnittpunkt der inneren Winkelhalbierenden eines Winkels ( z. B. am Scheitelpunkt ) und der äußeren Winkelhalbierenden der beiden anderen. Das Zentrum dieses Kreises wird Exzenter relativ zum Scheitelpunkt oder Exzenter von genannt . Da die innere Winkelhalbierende senkrecht zu ihrer äußeren Winkelhalbierenden steht, bildet das Zentrum des Kreises zusammen mit den drei Kreiszentren ein orthozentrisches System . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Trilineare Koordinaten von Excentern

Während die incenter der hat trilinear Koordinaten haben die excenters trilinears , und . ${\ displaystyle \ triangle ABC}$ ${\ displaystyle 1: 1: 1}$${\ displaystyle -1: 1: 1}$${\ displaystyle 1: -1: 1}$${\ displaystyle 1: 1: -1}$

Exradii

Die Radien der Kreise werden Exradien genannt .

Der Exradius des gegenüberliegenden Kreises (so berührend , zentriert ) ist ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle J_ {A}}$

${\ displaystyle r_ {a} = {\ frac {rs} {sa}} = {\ sqrt {\ frac {s (sb) (sc)} {sa}}},}$ wo ${\ displaystyle s = {\ tfrac {1} {2}} (a + b + c).}$

Siehe Herons Formel .

Ableitung der Exradienformel

Andere Eigenschaften

Aus den obigen Formeln ist ersichtlich, dass die Kreise immer größer als der Kreis sind und dass der größte Kreis derjenige ist, der die längste Seite tangiert, und der kleinste Kreis die Tangente zur kürzesten Seite. Ferner ergibt das Kombinieren dieser Formeln:

${\ displaystyle \ Delta = {\ sqrt {rr_ {a} r_ {b} r_ {c}}}.}$

Andere Kreiseigenschaften

Der kreisförmige Rumpf der Kreise berührt intern jeden der Kreise und ist somit ein Apollonius-Kreis . Der Radius dieses Kreises Apollonius ist , wo der incircle Radius ist und die semiperimeter des Dreiecks. ${\ displaystyle {\ tfrac {r ^ {2} + s ^ {2}} {4r}}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle s}$

Die folgenden Beziehungen zwischen dem inradius , die circumradius , die semiperimeter und die excircle Radien , , : ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle r_ {a}}$${\ displaystyle r_ {b}}$${\ displaystyle r_ {c}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} r_ {a} + r_ {b} + r_ {c} & = 4R + r, \\ r_ {a} r_ {b} + r_ {b} r_ {c} + r_ {c} r_ {a} & = s ^ {2}, \\ r_ {a} ^ {2} + r_ {b} ^ {2} + r_ {c} ^ {2} & = \ left (4R + r \ right) ^ {2} -2s ^ {2}. \ end {align}}}$

Der Kreis durch die Zentren der drei Kreise hat einen Radius . ${\ displaystyle 2R}$

Wenn ist das Orthozentrum von , dann ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ triangle ABC}$

${\ displaystyle {\ begin {align} r_ {a} + r_ {b} + r_ {c} + r & = AH + BH + CH + 2R, \\ r_ {a} ^ {2} + r_ {b} ^ {2} + r_ {c} ^ {2} + r ^ {2} & = AH ^ {2} + BH ^ {2} + CH ^ {2} + (2R) ^ {2}. \ End {ausgerichtet }}}$

Nagel-Dreieck und Nagel-Punkt

Das Nagel-Dreieck oder Extouch-Dreieck von wird durch die Eckpunkte bezeichnet , und das sind die drei Punkte, an denen die Kreise die Referenz berühren und an denen sie sich gegenüberliegen usw. Dies wird auch als Extouch-Dreieck von bezeichnet . Der Umkreis des extouch wird der genannt Mandart Kreis . ${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ displaystyle T_ {A}}$${\ displaystyle T_ {B}}$${\ displaystyle T_ {C}}$${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ displaystyle T_ {A}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ triangle T_ {A} T_ {B} T_ {C}}$${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ displaystyle \ triangle T_ {A} T_ {B} T_ {C}}$

Die drei Linien , und sind , um die genannten Splitter des Dreiecks; sie halbieren jeweils den Umfang des Dreiecks, ${\ displaystyle AT_ {A}}$${\ displaystyle BT_ {B}}$${\ displaystyle CT_ {C}}$

${\ displaystyle AB + BT_ {A} = AC + CT_ {A} = {\ frac {1} {2}} \ left (AB + BC + AC \ right).}$

Die Splitter schneiden sich in einem einzelnen Punkt, dem Nagel-Punkt des Dreiecks (oder der Dreiecksmitte X ₈ ). ${\ displaystyle N_ {a}}$

Trilineare Koordinaten für die Eckpunkte des Extouch-Dreiecks sind gegeben durch

• ${\ displaystyle {\ text {vertex}} \, T_ {A} = 0: \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {B} {2}} \ right): \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {C} {2}} \ right)}$
• ${\ displaystyle {\ text {vertex}} \, T_ {B} = \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {A} {2}} \ right): 0: \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {C} {2}} \ right)}$
• ${\ displaystyle {\ text {vertex}} \, T_ {C} = \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {A} {2}} \ right): \ csc ^ {2} \ left ({ \ frac {B} {2}} \ right): 0.}$

Trilineare Koordinaten für den Nagel-Punkt sind gegeben durch

${\ displaystyle \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {A} {2}} \ right): \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {B} {2}} \ right): \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {C} {2}} \ right),}$

oder gleichwertig nach dem Gesetz der Sinus ,

${\ displaystyle {\ frac {b + ca} {a}}: {\ frac {c + ab} {b}}: {\ frac {a + bc} {c}}.}$

Der Nagel-Punkt ist das isotomische Konjugat des Gergonne-Punktes.

Verwandte Konstruktionen

Neun-Punkte-Kreis und Feuerbach-Punkt

In der Geometrie ist der Neun-Punkte-Kreis ein Kreis , der für jedes gegebene Dreieck konstruiert werden kann . Es wird so genannt, weil es neun signifikante konzyklische Punkte durchläuft, die aus dem Dreieck definiert sind. Diese neun Punkte sind:

• Der Mittelpunkt jeder Seite des Dreiecks
• Der Fuß jeder Höhe
• Der Mittelpunkt des Liniensegments von jedem Scheitelpunkt des Dreiecks zum Orthozentrum (wo sich die drei Höhen treffen; diese Liniensegmente liegen auf ihren jeweiligen Höhen).

Im Jahr 1822 entdeckten Karl Feuerbach , dass jede von neun Punkten Kreis des Dreiecks ist extern tangential zu , dass drei Dreieck excircles und intern auf Tangente Inkreis ; Dieses Ergebnis ist als Feuerbachs Theorem bekannt . Er hat bewiesen, dass:

... der Kreis, der durch die Füße der Höhen eines Dreiecks verläuft, tangiert alle vier Kreise, die wiederum die drei Seiten des Dreiecks tangieren ... ( Feuerbach 1822 ) Harv-Fehler: kein Ziel: CITEREFFeuerbach1822 ( Hilfe )

Das Dreieckszentrum, in dem sich der Kreis und der Neun-Punkte-Kreis berühren, wird als Feuerbach-Punkt bezeichnet .

Inzentrale und exzentrale Dreiecke

Die Schnittpunkte der Winkelhalbierenden der Innenwinkel mit den Segmenten , , und sind die Eckpunkte des inCentral Dreiecks . Trilineare Koordinaten für die Eckpunkte des zentralen Dreiecks sind gegeben durch ${\ displaystyle \ triangle ABC}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle CA}$${\ displaystyle AB}$

• ${\ displaystyle \ \ left ({\ text {Vertex gegenüber}} \, A \ right) = 0: 1: 1}$
• ${\ displaystyle \ \ left ({\ text {Vertex gegenüber}} \, B \ right) = 1: 0: 1}$
• ${\ displaystyle \ \ left ({\ text {Vertex gegenüber}} \, C \ right) = 1: 1: 0.}$

Das exzentrale Dreieck eines Referenzdreiecks hat Eckpunkte in der Mitte der Exkreise des Referenzdreiecks. Seine Seiten befinden sich auf den Außenwinkelhalbierenden des Referenzdreiecks (siehe Abbildung oben auf der Seite ). Trilineare Koordinaten für die Eckpunkte des exzentralen Dreiecks sind gegeben durch

• ${\ displaystyle ({\ text {Vertex gegenüber}} \, A) = - 1: 1: 1}$
• ${\ displaystyle ({\ text {Vertex gegenüber}} \, B) = 1: -1: 1}$
• ${\ displaystyle ({\ text {Vertex gegenüber}} \, C) = 1: 1: -1.}$

Gleichungen für vier Kreise

Lassen Sie sein ein variabler Punkt in trilinearen Koordinaten , und lassen Sie , , . Die vier oben beschriebenen Kreise sind äquivalent durch eine der beiden gegebenen Gleichungen gegeben: ${\ displaystyle x: y: z}$${\ displaystyle u = \ cos ^ {2} \ left (A / 2 \ right)}$${\ displaystyle v = \ cos ^ {2} \ left (B / 2 \ right)}$${\ displaystyle w = \ cos ^ {2} \ left (C / 2 \ right)}$

• Incircle:

  ${\ displaystyle {\ begin {align} u ^ {2} x ^ {2} + v ^ {2} y ^ {2} + w ^ {2} z ^ {2} -2vwyz-2wuzx-2uvxy & = 0 \ \\ pm {\ sqrt {x}} \ cos \ left ({\ frac {A} {2}} \ right) \ pm {\ sqrt {y}} \ cos \ left ({\ frac {B} {2 }} \ right) \ pm {\ sqrt {z}} \ cos \ left ({\ frac {C} {2}} \ right) & = 0 \ end {align}}}$

• ${\ displaystyle A}$ - Kreis:

  ${\ displaystyle {\ begin {align} u ^ {2} x ^ {2} + v ^ {2} y ^ {2} + w ^ {2} z ^ {2} -2vwyz + 2wuzx + 2uvxy & = 0 \ \\ pm {\ sqrt {-x}} \ cos \ left ({\ frac {A} {2}} \ right) \ pm {\ sqrt {y}} \ cos \ left ({\ frac {B} { 2}} \ right) \ pm {\ sqrt {z}} \ cos \ left ({\ frac {C} {2}} \ right) & = 0 \ end {align}}}$

• ${\ displaystyle B}$ - Kreis:

  ${\ displaystyle {\ begin {align} u ^ {2} x ^ {2} + v ^ {2} y ^ {2} + w ^ {2} z ^ {2} + 2vwyz-2wuzx + 2uvxy & = 0 \ \\ pm {\ sqrt {x}} \ cos \ left ({\ frac {A} {2}} \ right) \ pm {\ sqrt {-y}} \ cos \ left ({\ frac {B} { 2}} \ right) \ pm {\ sqrt {z}} \ cos \ left ({\ frac {C} {2}} \ right) & = 0 \ end {align}}}$

• ${\ displaystyle C}$ - Kreis:

  ${\ displaystyle {\ begin {align} u ^ {2} x ^ {2} + v ^ {2} y ^ {2} + w ^ {2} z ^ {2} + 2vwyz + 2wuzx-2uvxy & = 0 \ \\ pm {\ sqrt {x}} \ cos \ left ({\ frac {A} {2}} \ right) \ pm {\ sqrt {y}} \ cos \ left ({\ frac {B} {2 }} \ right) \ pm {\ sqrt {-z}} \ cos \ left ({\ frac {C} {2}} \ right) & = 0 \ end {align}}}$

Eulers Satz

Der Satz von Euler besagt, dass in einem Dreieck:

${\ displaystyle (Rr) ^ {2} = d ^ {2} + r ^ {2},}$

wo und sind der Circumradius bzw. Inradius und ist der Abstand zwischen dem Circumcenter und dem Incenter. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle d}$

Für Excircles ist die Gleichung ähnlich:

${\ displaystyle \ left (R + r _ {\ text {ex}} \ right) ^ {2} = d _ {\ text {ex}} ^ {2} + r _ {\ text {ex}} ^ {2}, }}$

wo ist der Radius eines der Kreise und ist der Abstand zwischen dem Umfangszentrum und dem Zentrum dieses Kreises. ${\ displaystyle r _ {\ text {ex}}}$${\ displaystyle d _ {\ text {ex}}}$

Verallgemeinerung auf andere Polygone

Einige (aber nicht alle) Vierecke haben einen Kreis. Diese werden tangentiale Vierecke genannt . Unter ihren vielen Eigenschaften ist das vielleicht wichtigste, dass ihre beiden Paare gegenüberliegender Seiten gleiche Summen haben. Dies nennt man den Pitot-Satz .

Im Allgemeinen wird ein Polygon mit einer beliebigen Anzahl von Seiten, die einen beschrifteten Kreis haben (dh einen, der jede Seite tangiert), als tangentiales Polygon bezeichnet .

Siehe auch

• Circumgon
• Umschriebener Kreis
• Ex-tangentiales Viereck
• Harcourts Theorem  - Fläche eines Dreiecks von seinen Seiten und Scheitelpunktabstände zu jeder Linie, die seinen Kreis tangiert
• Zirkumkonisch und inkonisch  - Ein konischer Abschnitt, der durch die Eckpunkte eines Dreiecks verläuft oder dessen Seiten tangiert
• Beschriftete Kugel
• Kraft eines Punktes
• Steiner Inellipse
• Tangentiales Viereck
• Trillium-Theorem  - Eine Aussage über die Eigenschaften von eingeschriebenen und umschriebenen Kreisen

Anmerkungen

Verweise

• Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: Eine Einführung in die moderne Geometrie des Dreiecks und des Kreises (2. Aufl.), New York: Barnes & Noble , LCCN   52013504
• Kay, David C. (1969), College Geometry , New York: Holt, Rinehart und Winston , LCCN   69012075
• Kimberling, Clark (1998). "Dreieckszentren und zentrale Dreiecke". Congressus Numerantium (129): i - xxv, 1–295.
• Kiss, Sándor (2006). "Die Orthic-of-Intouch- und Intouch-of-Orthic-Dreiecke". Forum Geometricorum (6): 171–177.

Externe Links

• Ableitung der Formel für den Kreisradius eines Dreiecks
• Weisstein, Eric W. "Incircle" . MathWorld .

Interaktiv

• Triangle Incenter     Triangle    Incircle Kreis eines regulären Polygons    Mit interaktiven Animationen
• Konstruieren des Incenters / Incircles eines Dreiecks mit Kompass und Lineal Eine interaktive animierte Demonstration
• Equal Incircles Theorem at -the-knot
• Fünf-Kreise-Theorem bei cut-the-knot
• Paare von Kreisen in einem Viereck am Knoten
• Ein interaktives Java-Applet für den Incenter