Indexsatz von Atiyah-Singer - Atiyah–Singer index theorem
Gebiet | Differentialgeometrie |
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Erster Beweis von | Michael Atiyah und Isadore Singer |
Erster Beweis in | 1963 |
Folgen |
Chern–Gauss–Bonnet-Theorem Grothendieck–Riemann–Roch-Theorem Hirzebruch-Signatursatz Rokhlin-Theorem |
In der Differentialgeometrie , das Theorem Atiyah-Singer - Index , bewies durch Michael Atiyah und Isadore Singer (1963) besagt, dass für einen elliptischen Differentialoperator auf einem kompakten Verteiler , der analytische Index (bezogen auf die Dimension des Raumes von Lösungen) , die gleich ist zum topologischen Index (definiert in Bezug auf einige topologische Daten). Es enthält viele andere Theoreme, wie das Chern-Gauss-Bonnet-Theorem und das Riemann-Roch-Theorem , als Sonderfälle und hat Anwendungen in der theoretischen Physik .
Geschichte
Das Indexproblem für elliptische Differentialoperatoren wurde von Israel Gel'fand gestellt . Er bemerkte die Homotopieinvarianz des Index und fragte nach einer Formel dafür mittels topologischer Invarianten . Einige der motivierenden Beispiele waren der Riemann-Roch-Satz und seine Verallgemeinerung der Hirzebruch-Riemann-Roch-Satz und der Hirzebruch-Signatursatz . Friedrich Hirzebruch und Armand Borel hatten die Integralität der Gattung einer Spinmannigfaltigkeit bewiesen , und Atiyah schlug vor, dass diese Integralität erklärt werden könnte, wenn es der Index des Dirac-Operators wäre (der 1961 von Atiyah und Singer wiederentdeckt wurde).
Das Atiyah-Singer-Theorem wurde 1963 veröffentlicht. Der in dieser Ankündigung skizzierte Beweis wurde von ihnen nie veröffentlicht, obwohl er im Buch des Palais erscheint. Es erscheint auch im "Séminaire Cartan-Schwartz 1963/64", das zeitgleich mit dem von Richard Palais geleiteten Seminar an der Princeton University in Paris stattfand . Der letzte Vortrag in Paris war von Atiyah über Mannigfaltigkeiten mit Grenze. Ihr erster veröffentlichter Beweis ersetzte die Kobordismus- Theorie des ersten Beweises durch die K-Theorie , und sie verwendeten diese, um Beweise für verschiedene Verallgemeinerungen in einer anderen Folge von Arbeiten zu liefern.
- 1965: Sergey P. Novikov veröffentlicht seine Ergebnisse zur topologischen Invarianz der rationalen Pontryagin-Klassen auf glatten Mannigfaltigkeiten.
- Die Ergebnisse von Robion Kirby und Laurent C. Siebenmann bewiesen zusammen mit René Thoms Arbeit die Existenz rationaler Pontryagin-Klassen auf topologischen Mannigfaltigkeiten. Die rationalen Pontryagin-Klassen sind wesentliche Bestandteile des Indexsatzes über glatte und topologische Mannigfaltigkeiten.
- 1969: Michael Atiyah definiert abstrakte elliptische Operatoren auf beliebigen metrischen Räumen. Abstrakte elliptische Operatoren wurden zu Protagonisten in Kasparovs Theorie und Connes' nichtkommutativer Differentialgeometrie.
- 1971: Isadore Singer schlägt ein umfassendes Programm für zukünftige Erweiterungen der Indextheorie vor.
- 1972: Gennadi G. Kasparov veröffentlicht seine Arbeit über die Realisierung der K-Homologie durch abstrakte elliptische Operatoren.
- 1973: Atiyah, Raoul Bott und Vijay Patodi gaben einen neuen Beweis des Indexsatzes unter Verwendung der Wärmegleichung , beschrieben in einem Artikel von Melrose.
- 1977: Dennis Sullivan stellt sein Theorem über die Existenz und Eindeutigkeit von Lipschitz und quasikonformen Strukturen auf topologischen Mannigfaltigkeiten mit einer anderen Dimension als 4 auf.
- 1983: Ezra Getzler, motiviert durch Ideen von Edward Witten und Luis Alvarez-Gaume , gab einen kurzen Beweis des lokalen Indexsatzes für Operatoren, die lokale Dirac-Operatoren sind ; Dies deckt viele der nützlichen Fälle ab.
- 1983: Nicolae Teleman beweist, dass die analytischen Indizes von Signaturoperatoren mit Werten in Vektorbündeln topologische Invarianten sind.
- 1984: Teleman stellt den Indexsatz über topologische Mannigfaltigkeiten auf.
- 1986: Alain Connes veröffentlicht seine Grundlagenarbeit zur nichtkommutativen Geometrie .
- 1989: Simon K. Donaldson und Sullivan untersuchen die Yang-Mills-Theorie über quasikonforme Mannigfaltigkeiten der Dimension 4. Sie führen den Signaturoperator S ein , der auf Differentialformen zweiten Grades definiert ist.
- 1990: Connes und Henri Moscovici beweisen die lokale Indexformel im Kontext der nichtkommutativen Geometrie.
- 1994: Connes, Sullivan und Teleman beweisen den Indexsatz für Signaturoperatoren auf quasikonformen Mannigfaltigkeiten.
Notation
- X ist eine kompakte glatte Mannigfaltigkeit (ohne Rand).
- E und F sind glatte Vektorbündel über X .
- D ist ein elliptischer Differentialoperator von E nach F . In lokalen Koordinaten fungiert es also als Differentialoperator, der glatte Abschnitte von E zu glatten Abschnitten von F führt .
Symbol eines Differentialoperators
Wenn D ein Differentialoperator auf einem euklidischen Raum der Ordnung n in k Variablen ist , dann ist sein Symbol die Funktion von 2 k Variablen , gegeben durch Weglassen aller Terme der Ordnung kleiner als n und Ersetzen durch . Das Symbol ist also in den Variablen y vom Grad n homogen . Das Symbol ist gut definiert, obwohl es nicht mit kommutiert, weil wir nur die Terme höchster Ordnung behalten und Differentialoperatoren "bis zu Termen niedrigerer Ordnung" kommutieren. Der Operator heißt elliptisch, wenn das Symbol ungleich Null ist, wenn mindestens ein y ungleich Null ist.
Beispiel: Der Laplace-Operator in k Variablen hat das Symbol , ist also elliptisch, da dieser von Null verschieden ist, wenn eines der 's von Null verschieden ist. Der Wellenoperator hat das Symbol , das nicht elliptisch ist, wenn , da das Symbol für einige von Null verschiedene Werte von y s verschwindet .
Das Symbol eines Differentialoperators der Ordnung n auf einer glatten Mannigfaltigkeit X wird in ähnlicher Weise unter Verwendung lokaler Koordinatenkarten definiert und ist eine Funktion auf dem Kotangensbündel von X , homogen vom Grad n auf jedem Kotangentialraum. (Im Allgemeinen transformieren Differentialoperatoren unter Koordinatentransformationen ziemlich kompliziert (siehe Jet-Bündel ); jedoch transformieren sich die Terme höchster Ordnung wie Tensoren, so dass wir gut definierte homogene Funktionen auf den Kotangensräumen erhalten, die unabhängig von der Wahl der lokalen Karten sind .) Allgemeiner ausgedrückt ist das Symbol eines Differentialoperators zwischen zwei Vektorbündeln E und F ein Abschnitt des Rückzugs des Bündels Hom( E , F ) in den Kotangensraum von X . Der Differentialoperator heißt elliptisch, wenn das Element von Hom( E x , F x ) für alle von Null verschiedenen Kotangensvektoren an jedem Punkt x von X invertierbar ist .
Eine Schlüsseleigenschaft elliptischer Operatoren besteht darin, dass sie fast invertierbar sind; dies hängt eng damit zusammen, dass ihre Symbole fast umkehrbar sind. Genauer gesagt hat ein elliptischer Operator D auf einer kompakten Mannigfaltigkeit eine (nicht eindeutige) Parametrix (oder Pseudoinverse ) D ′ so dass DD′ −1 und D′D −1 beide kompakte Operatoren sind. Eine wichtige Konsequenz ist, dass der Kern von D endlichdimensional ist, da alle Eigenräume kompakter Operatoren außer dem Kern endlichdimensional sind. (Die Pseudoinverse eines elliptischen Differentialoperators ist fast nie ein Differentialoperator. Es ist jedoch ein elliptischer Pseudodifferentialoperator .)
Analytischer Index
Da der elliptische Differentialoperator D eine Pseudoinverse hat, ist er ein Fredholm-Operator . Jeder Fredholm-Operator hat einen Index , definiert als die Differenz zwischen der (endlichen) Dimension des Kerns von D (Lösungen von Df = 0) und der (endlichen) Dimension des Kokerns von D (die Randbedingungen auf der rechten Seite). Seite einer inhomogenen Gleichung wie Df = g , oder äquivalent dem Kern des adjungierten Operators). Mit anderen Worten,
- Index( D ) = dim Ker(D) − dim Coker( D ) = dim Ker(D) − dim Ker( D* ).
Dies wird manchmal als analytischer Index von D bezeichnet .
Beispiel: Angenommen, die Mannigfaltigkeit sei der Kreis (als R / Z gedacht ), und D sei der Operator d/dx − λ für eine komplexe Konstante λ. (Dies ist das einfachste Beispiel für einen elliptischen Operator.) Dann ist der Kern der Raum der Vielfachen von exp(λ x ), wenn λ ein ganzzahliges Vielfaches von 2π i ist und ansonsten 0 ist, und der Kern des Adjungierten ist ein ähnlicher Raum wobei λ durch sein komplexes Konjugat ersetzt ist. So D Index 0. Dieses Beispiel zeigt , hat , dass der Kernel und cokernel elliptischer Operatoren diskontinuierlich als der elliptische Operator variiert springen können, so gibt es keine schöne Formel für ihre Dimensionen in Bezug auf den kontinuierlichen topologischen Daten. Die Sprünge in den Dimensionen von Kernel und Cokernel sind jedoch gleich, so dass der Index, der durch die Differenz ihrer Dimensionen gegeben ist, tatsächlich kontinuierlich variiert und durch das Indextheorem in Form topologischer Daten angegeben werden kann.
Topologischer Index
Der topologische Index eines elliptischen Differentialoperators zwischen glatten Vektorbündeln und auf einer -dimensionalen kompakten Mannigfaltigkeit ist gegeben durch
mit anderen Worten der Wert der obersten dimensionalen Komponente der gemischten Kohomologieklasse auf der fundamentalen Homologieklasse der Mannigfaltigkeit . Hier,
- ist die Todd-Klasse des komplexifizierten Tangensbündels von .
-
ist gleich , wobei
- ist der Thom-Isomorphismus für das Kugelbündel
- ist der Chern-Charakter
- ist das "Differenzelement" in Verbindung mit zwei Vektorbündeln und auf und einem Isomorphismus zwischen ihnen auf dem Unterraum .
- ist das Symbol von
Man kann den topologischen Index auch nur mit der K-Theorie definieren (und diese alternative Definition ist in gewissem Sinne mit der obigen Chern-Zeichenkonstruktion kompatibel). Wenn X eine kompakte Untermannigfaltigkeit einer Mannigfaltigkeit Y ist, dann gibt es eine vorwärts gerichtete (oder "schreie") Abbildung von K( TX ) auf K( TY ). Der topologische Index eines Elements von K( TX ) ist definiert als das Abbild dieser Operation mit Y einem euklidischen Raum, für den K( TY ) natürlich mit den ganzen Zahlen Z identifiziert werden kann (als Folge der Bott-Periodizität). Diese Abbildung ist unabhängig von der Einbettung von X in den euklidischen Raum. Nun definiert ein Differentialoperator wie oben natürlich ein Element von K( TX ), und das Bild in Z unter dieser Abbildung "ist" der topologische Index.
D ist wie üblich ein elliptischer Differentialoperator zwischen Vektorbündeln E und F über einer kompakten Mannigfaltigkeit X .
Das Indexproblem ist das folgende: Berechnen Sie den (analytischen) Index von D, indem Sie nur die Symbole s und topologische Daten verwenden, die aus der Mannigfaltigkeit und dem Vektorbündel abgeleitet werden. Der Indexsatz von Atiyah-Singer löst dieses Problem und besagt:
- Der analytische Index von D ist gleich seinem topologischen Index.
Trotz seiner beeindruckenden Definition ist der topologische Index normalerweise einfach explizit auszuwerten. Damit ist es möglich, den analytischen Index auszuwerten. (Kokernel und Kernel eines elliptischen Operators sind im Allgemeinen extrem schwer einzeln auszuwerten; der Indexsatz zeigt, dass wir normalerweise zumindest ihre Differenz auswerten können .) Viele wichtige Invarianten einer Mannigfaltigkeit (wie die Signatur) können als Index geeigneter Differentialoperatoren, daher erlaubt uns der Indexsatz, diese Invarianten hinsichtlich topologischer Daten auszuwerten.
Obwohl der analytische Index normalerweise schwer direkt auszuwerten ist, ist er zumindest offensichtlich eine ganze Zahl. Der topologische Index ist per Definition eine rationale Zahl, aber aus der Definition geht normalerweise gar nicht hervor, dass er auch ganzzahlig ist. Das Indextheorem von Atiyah-Singer impliziert also einige tiefe Integralitätseigenschaften, da es impliziert, dass der topologische Index ganzzahlig ist.
Der Index eines elliptischen Differentialoperators verschwindet offensichtlich, wenn der Operator selbstadjungiert ist. Es verschwindet auch, wenn die Mannigfaltigkeit X eine ungerade Dimension hat, obwohl es pseudodifferentielle elliptische Operatoren gibt, deren Index in ungeraden Dimensionen nicht verschwindet.
Beziehung zu Grothendieck–Riemann–Roch
Der Satz von Grothendieck-Riemann-Roch war eine der Hauptmotivationen für den Indexsatz, da der Indexsatz das Gegenstück zu diesem Satz im Rahmen reeller Mannigfaltigkeiten ist. Wenn es nun eine Karte kompakter stabiler, fast komplexer Mannigfaltigkeiten gibt, dann gibt es ein kommutatives Diagramm
wenn ein Punkt ist, dann stellen wir die obige Aussage wieder her. Hier ist die Grothendieck-Gruppe komplexer Vektorbündel. Dieses kommutative Diagramm ist dem GRR-Theorem formal sehr ähnlich, da die Kohomologiegruppen rechts durch den Chow-Ring einer glatten Varietät ersetzt werden und die Grothendieck-Gruppe links durch die Grothendieck-Gruppe der algebraischen Vektorbündel gegeben ist.
Erweiterungen des Atiyah-Singer-Indexsatzes
Teleman-Indexsatz
Wegen ( Teleman 1983 ), ( Teleman 1984 ):
- Für jeden abstrakten elliptischen Operator ( Atiyah 1970 ) auf einer geschlossenen, orientierten topologischen Mannigfaltigkeit ist der analytische Index gleich dem topologischen Index.
Der Beweis dieses Ergebnisses geht durch spezifische Überlegungen, darunter die Erweiterung der Hodge-Theorie auf kombinatorische und Lipschitz-Mannigfaltigkeiten ( Teleman 1980 ), ( Teleman 1983 ), die Erweiterung des Atiyah-Singer-Signaturoperators auf Lipschitz-Mannigfaltigkeiten ( Teleman 1983 ), Kasparovs K- Homologie ( Kasparov 1972 ) und topologischer Kobordismus ( Kirby & Siebenmann 1977 ).
Dieses Ergebnis zeigt, dass der Indexsatz nicht nur eine Differenzierbarkeitsaussage, sondern eine topologische Aussage ist.
Connes–Donaldson–Sullivan–Teleman-Indexsatz
Aufgrund von ( Donaldson & Sullivan 1989 ), ( Connes, Sullivan & Teleman 1994 ):
- Für jede quasikonforme Mannigfaltigkeit existiert eine lokale Konstruktion der Hirzebruch-Thom-Kennlinienklassen.
Diese Theorie basiert auf einem Signaturoperator S , der auf Differentialformen mittleren Grades auf geradedimensionalen quasikonformen Mannigfaltigkeiten definiert ist (vergleiche ( Donaldson & Sullivan 1989 )).
Unter Verwendung von topologischem Kobordismus und K-Homologie kann man eine vollständige Aussage eines Indexsatzes über quasikonforme Mannigfaltigkeiten liefern (siehe Seite 678 von ( Connes, Sullivan & Teleman 1994 )). Die Arbeit ( Connes, Sullivan & Teleman 1994 ) „liefert lokale Konstruktionen für charakteristische Klassen basierend auf höherdimensionalen Verwandten der messbaren Riemann-Abbildung in Dimension zwei und der Yang-Mills-Theorie in Dimension vier“.
Diese Ergebnisse stellen bedeutende Fortschritte in Anlehnung an Singer's Programm Prospects in Mathematics ( Singer 1971 ) dar. Gleichzeitig liefern sie auch eine effektive Konstruktion der rationalen Pontrjagin-Klassen auf topologischen Mannigfaltigkeiten. Die Arbeit ( Teleman 1985 ) stellt eine Verbindung zwischen Thoms ursprünglicher Konstruktion der rationalen Pontrjagin-Klassen ( Thom 1956 ) und der Indextheorie her.
Es ist wichtig zu erwähnen, dass die Indexformel eine topologische Aussage ist. Die Obstruktionstheorien von Milnor, Kervaire, Kirby, Siebenmann, Sullivan, Donaldson zeigen, dass nur eine Minderheit topologischer Mannigfaltigkeiten differenzierbare Strukturen besitzt und diese nicht unbedingt eindeutig sind. Sullivans Ergebnis über Lipschitz und quasikonforme Strukturen ( Sullivan 1979 ) zeigt, dass jede topologische Mannigfaltigkeit in einer anderen Dimension als 4 eine solche Struktur besitzt, die einzigartig ist (bis auf eine identitätsnahe Isotopie).
Die quasikonformen Strukturen ( Connes, Sullivan & Teleman 1994 ) und allgemeiner die L p -Strukturen, p > n(n+1)/2 , eingeführt von M. Hilsum ( Hilsum 1999 ), sind die schwächsten analytischen Strukturen auf topologischen Mannigfaltigkeiten von Dimension n, für die der Indexsatz bekanntermaßen gilt.
Andere Erweiterungen
- Der Satz von Atiyah-Singer gilt für elliptische Pseudodifferentialoperatoren in ähnlicher Weise wie für elliptische Differentialoperatoren. Tatsächlich arbeiteten die meisten der frühen Beweise aus technischen Gründen eher mit Pseudodifferenzial- als mit Differentialoperatoren: Ihre zusätzliche Flexibilität machte einige Beweisschritte einfacher.
- Anstatt mit einem elliptischen Operator zwischen zwei Vektorbündeln zu arbeiten, ist es manchmal bequemer, mit einem elliptischen Komplex zu arbeiten
- von Vektorbündeln. Der Unterschied besteht darin, dass die Symbole nun eine exakte Folge bilden (außerhalb des Nullabschnitts). Für den Fall, dass der Komplex nur zwei Nicht-Null-Bündel enthält, bedeutet dies, dass das Symbol ein Isomorphismus außerhalb des Nullabschnitts ist, sodass ein elliptischer Komplex mit 2 Termen im Wesentlichen dasselbe ist wie ein elliptischer Operator zwischen zwei Vektorbündeln. Umgekehrt lässt sich der Indexsatz für einen elliptischen Komplex leicht auf den Fall eines elliptischen Operators reduzieren: Die beiden Vektorbündel sind durch die Summen der geraden oder ungeraden Terme des Komplexes gegeben, und der elliptische Operator ist die Summe der Operatoren von der elliptische Komplex und seine Adjungierten, beschränkt auf die Summe der geraden Bündel.
- Wenn die Mannigfaltigkeit eine Grenze haben darf, müssen einige Einschränkungen auf den Bereich des elliptischen Operators gelegt werden, um einen endlichen Index zu gewährleisten. Diese Bedingungen können lokal sein (z. B. verlangen, dass die Abschnitte in der Domäne an der Grenze verschwinden) oder kompliziertere globale Bedingungen (z. B. erfordern, dass die Abschnitte in der Domäne eine Differentialgleichung lösen). Der lokale Fall wurde von Atiyah und Bott ausgearbeitet, aber sie zeigten, dass viele interessante Operatoren (zB der Signaturoperator ) keine lokalen Randbedingungen zulassen. Um diese Operatoren zu handhaben, haben Atiyah , Patodi und Singer globale Randbedingungen eingeführt, die dem Anbringen eines Zylinders an der Mannigfaltigkeit entlang der Grenze und dann der Beschränkung des Bereichs auf die Abschnitte entsprechen, die entlang des Zylinders quadratisch integrierbar sind. Dieser Standpunkt wird im Beweis von Melrose (1993) des Atiyah-Patodi-Singer-Indexsatzes übernommen .
- Anstelle nur eines elliptischen Operators kann man eine Familie von elliptischen Operatoren betrachten, die durch einen Raum Y parametrisiert sind . In diesem Fall ist der Index ein Element der K-Theorie von Y und keine ganze Zahl. Wenn die Operatoren in der Familie reell sind, liegt der Index in der reellen K-Theorie von Y . Dies gibt ein paar zusätzliche Informationen, da die Abbildung von der realen K-Theorie von Y auf die komplexe K-Theorie nicht immer injektiv ist.
- Gibt es eine Gruppenwirkung einer Gruppe G auf der kompakten Mannigfaltigkeit X , die mit dem elliptischen Operator kommutiert, dann ersetzt man die gewöhnliche K-Theorie durch die äquivariante K-Theorie . Außerdem erhält man Verallgemeinerungen des Lefschetzschen Fixpunktsatzes mit Termen aus Fixpunktuntermannigfaltigkeiten der Gruppe G . Siehe auch: Äquivarianter Indexsatz .
- Atiyah (1976) zeigte, wie man den Indexsatz auf einige nicht-kompakte Mannigfaltigkeiten ausdehnt, auf die eine diskrete Gruppe mit kompaktem Quotienten einwirkt. Der Kern des elliptischen Operators ist in diesem Fall im Allgemeinen unendlichdimensional, aber es ist möglich, einen endlichen Index zu erhalten, indem die Dimension eines Moduls über einer von Neumann-Algebra verwendet wird ; Dieser Index ist im Allgemeinen reell und nicht ganzzahlig. Diese Version ist das genannte L 2 Indextheorem und wurde durch verwendet Atiyah & Schmid (1977) Eigenschaften der rederive diskreten Reihendarstellungen von halbeinfachen Lie - Gruppen .
- Der Callias-Indexsatz ist ein Indexsatz für einen Dirac-Operator auf einem nicht kompakten Raum mit ungerader Dimension. Der Atiyah-Singer-Index ist nur auf kompakten Räumen definiert und verschwindet, wenn ihre Dimension ungerade ist. 1978 wurde Constantine Callias auf Anregung seines Ph.D. Berater Roman Jackiw , verwendete die axiale Anomalie , um diesen Indexsatz für Räume abzuleiten , die mit einer hermiteschen Matrix namens Higgs - Feld ausgestattet sind . Der Index des Dirac-Operators ist eine topologische Invariante, die die Windung des Higgs-Feldes auf einer Kugel im Unendlichen misst. Ist U die Einheitsmatrix in Richtung des Higgs-Feldes, dann ist der Index proportional zum Integral von U ( dU ) n −1 über die ( n −1)-Sphäre im Unendlichen. Wenn n gerade ist, ist es immer null.
- Die topologische Interpretation dieser Invariante und ihre Beziehung zu dem von Boris Fedosov vorgeschlagenen Hörmander-Index , wie er von Lars Hörmander verallgemeinert wurde , wurde von Raoul Bott und Robert Thomas Seeley veröffentlicht .
Beispiele
Euler-Charakteristik
Angenommen, M sei eine kompakte orientierte Mannigfaltigkeit. Wenn wir E als Summe der geraden äußeren Potenzen des Kotangensbündels und F als Summe der ungeraden Potenzen nehmen, definieren Sie D = d + d* , betrachtet als Abbildung von E nach F . Dann ist der topologische Index von D die Euler-Charakteristik der Hodge-Kohomologie von M , und der analytische Index ist die Euler-Klasse der Mannigfaltigkeit. Die Indexformel für diesen Operator liefert den Satz von Chern-Gauss-Bonnet .
Satz von Hirzebruch–Riemann–Roch
Nehmen Sie X als komplexe Mannigfaltigkeit mit einem holomorphen Vektorbündel V an . Die Vektorbündel E und F seien die Summen der Bündel von Differentialformen mit Koeffizienten in V vom Typ (0, i ) mit i gerade oder ungerade, und der Differentialoperator D sei die Summe
beschränkt auf E . Dann ist der analytische Index von D die holomorphe Euler-Charakteristik von V :
Der topologische Index von D ist gegeben durch
- ,
das Produkt des Chern Charakter von V und der Todd Klasse von X auf der Grundklasse ausgewertet X . Durch Gleichsetzen der topologischen und analytischen Indizes erhalten wir den Satz von Hirzebruch–Riemann–Roch . Tatsächlich erhalten wir eine Verallgemeinerung auf alle komplexen Mannigfaltigkeiten: Hirzebruchs Beweis funktionierte nur für projektive komplexe Mannigfaltigkeiten X .
Diese Herleitung des Satzes von Hirzebruch–Riemann–Roch ist natürlicher, wenn wir den Indexsatz für elliptische Komplexe anstelle von elliptischen Operatoren verwenden. Wir können den Komplex zum Sein machen
mit dem Differential gegeben durch . Dann ist die i- te Kohomologiegruppe nur die kohärente Kohomologiegruppe H i ( X , V ), also ist der analytische Index dieses Komplexes die holomorphe Euler-Charakteristik Σ (−1) i dim(H i ( X , V )). Der topologische Index ist wie zuvor ch( V )Td( X )[ X ].
Hirzebruch-Signatursatz
Der Signatursatz von Hirzebruch besagt, dass die Signatur einer kompakten orientierten Mannigfaltigkeit X der Dimension 4 k durch die Gattung L der Mannigfaltigkeit gegeben ist. Dies folgt aus dem Atiyah-Singer-Indexsatz, der auf den folgenden Signaturoperator angewendet wird .
Die Bündel E und F sind gegeben durch die +1 und −1 Eigenräume des Operators auf dem Bündel der Differentialformen von X , das auf k -Formen wirkt als
mal den Hodge*-Operator . Der Operator D ist der Hodge-Laplace-Operator
beschränkt auf E , wobei d die äußere Ableitung von Cartan und d * ihre Adjungierte ist.
Der analytische Index von D ist die Signatur der Mannigfaltigkeit X und ihr topologischer Index ist die Gattung L von X , also sind diese gleich.
 Gattung und Satz von Rochlin
Die Gattung  ist eine rationale Zahl, die für jede Mannigfaltigkeit definiert ist, aber im Allgemeinen keine ganze Zahl. Borel und Hirzebruch zeigten, dass er für Spinmannigfaltigkeiten ganzzahlig ist, und eine gerade ganze Zahl, wenn zusätzlich die Dimension 4 mod 8 ist. Dies kann aus dem Indexsatz abgeleitet werden, der impliziert, dass die Gattung  für Spinmannigfaltigkeiten der Index eines Dirac . ist Operator. Der zusätzliche Faktor 2 in den Dimensionen 4 mod 8 kommt daher, dass in diesem Fall der Kernel und der Kokern des Dirac-Operators eine quaternionische Struktur haben, also als komplexe Vektorräume gerade Dimensionen haben, also der Index gerade ist.
In Dimension 4 impliziert dieses Ergebnis den Satz von Rochlin, dass die Signatur einer 4-dimensionalen Spinmannigfaltigkeit durch 16 teilbar ist: Dies folgt, weil in Dimension 4 die Gattung  minus ein Achtel der Signatur beträgt.
Beweistechniken
Pseudodifferentialoperatoren
Pseudodifferentielle Operatoren lassen sich leicht im Fall von Operatoren mit konstanten Koeffizienten im euklidischen Raum erklären. In diesem Fall sind Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten nur die Fourier-Transformationen der Multiplikation mit Polynomen, und Pseudodifferentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten sind nur die Fourier-Transformationen der Multiplikation mit allgemeineren Funktionen.
Viele Beweise des Indexsatzes verwenden Pseudodifferentialoperatoren anstelle von Differentialoperatoren. Der Grund dafür ist, dass es für viele Zwecke nicht genügend Differentialoperatoren gibt. Beispielsweise ist eine Pseudoinverse eines elliptischen Differentialoperators positiver Ordnung kein Differentialoperator, sondern ein Pseudodifferentialoperator. Außerdem besteht eine direkte Entsprechung zwischen Daten, die Elemente von K(B( X ), S ( X )) (Kupplungsfunktionen) darstellen, und Symbolen von elliptischen Pseudodifferenzialoperatoren.
Pseudodifferentialoperatoren haben eine Ordnung, die eine beliebige reelle Zahl oder sogar −∞ sein kann, und haben Symbole (die keine Polynome mehr im Kotangensraum sind), und elliptische Differentialoperatoren sind diejenigen, deren Symbole für ausreichend große Kotangensvektoren invertierbar sind. Die meisten Versionen des Indexsatzes können von elliptischen Differentialoperatoren auf elliptische Pseudodifferentialoperatoren erweitert werden.
Kobordismus
Der erste Beweis basierte auf dem des Hirzebruch-Riemann-Roch-Theorems (1954) und beinhaltete die Kobordismustheorie und pseudodifferentielle Operatoren .
Die Idee dieses ersten Beweises ist ungefähr die folgende. Betrachten Sie den von Paaren ( X , V ) erzeugten Ring , wobei V ein glattes Vektorbündel auf der kompakten glatten orientierten Mannigfaltigkeit X ist , mit den Beziehungen, dass die Summe und das Produkt des Rings auf diesen Generatoren durch disjunkte Vereinigung und Produkt von Mannigfaltigkeiten (mit die offensichtlichen Operationen an den Vektorbündeln), und jeder Rand einer Mannigfaltigkeit mit Vektorbündel ist 0. Dies ist ähnlich dem Kobordismusring orientierter Mannigfaltigkeiten, außer dass die Mannigfaltigkeiten auch ein Vektorbündel haben. Die topologischen und analytischen Indizes werden beide als Funktionen von diesem Ring auf die ganzen Zahlen uminterpretiert. Dann prüft man, ob diese beiden Funktionen tatsächlich beide Ringhomomorphismen sind. Um nachzuweisen, dass sie gleich sind, müssen sie nur noch an einem Generatorsatz dieses Rings überprüft werden. Die Kobordismus-Theorie von Thom liefert eine Reihe von Generatoren; zum Beispiel komplexe Vektorräume mit dem trivialen Bündel zusammen mit bestimmten Bündeln über geraden dimensionalen Kugeln. Der Indexsatz kann also durch Überprüfung an diesen besonders einfachen Fällen bewiesen werden.
K-Theorie
Der erste veröffentlichte Beweis von Atiyah und Singer verwendete eher die K-Theorie als den Kobordismus. Wenn i irgendeine Inklusion von kompakten Mannigfaltigkeiten von X nach Y ist , haben sie eine 'Vorwärts'-Operation i definiert ! auf elliptischen Operatoren von X zu elliptischen Operatoren von Y , die den Index beibehalten. Indem Y als eine Kugel angesehen wird, in die X eingebettet ist, reduziert dies den Indexsatz auf den Fall von Kugeln. Wenn Y eine Kugel ist und X ein in Y eingebetteter Punkt ist , dann ist jeder elliptische Operator auf Y das Bild unter i ! eines elliptischen Operators auf den Punkt. Dies reduziert den Indexsatz auf den Fall eines Punktes, wo er trivial ist.
Wärmegleichung
Atiyah, Bott und Patodi ( 1973 ) lieferten einen neuen Beweis des Indexsatzes unter Verwendung der Wärmegleichung , siehe zB Berline, Getzler & Vergne (1992) . Der Beweis ist auch in ( Melrose 1993 ) und ( Gilkey 1994 ) veröffentlicht.
Wenn D ein Differentialoperator mit adjungiertem D* ist , dann sind D*D und DD* selbstadjungierte Operatoren, deren Eigenwerte ungleich Null die gleichen Multiplizitäten haben. Ihre Null-Eigenräume können jedoch unterschiedliche Multiplizitäten haben, da diese Multiplizitäten die Dimensionen der Kerne von D und D* sind . Daher ist der Index von D gegeben durch
für jedes positive t . Die rechte Seite ist durch die Spur der Differenz der Kerne zweier Wärmeoperatoren gegeben. Diese haben eine asymptotische Entwicklung für kleine positive t , die verwendet werden kann, um den Grenzwert zu bewerten, da t gegen 0 geht, was einen Beweis des Atiyah-Singer-Indexsatzes liefert. Die asymptotischen Entwicklungen für kleine t erscheinen sehr kompliziert, aber die Invariantentheorie zeigt, dass es große Auslöschungen zwischen den Termen gibt, was es ermöglicht, die führenden Terme explizit zu finden. Diese Auslöschungen wurden später mit Supersymmetrie erklärt.
Zitate
Verweise
Die Papiere von Atiyah werden in den Bänden 3 und 4 seiner gesammelten Werke nachgedruckt (Atiyah 1988a , 1988b )
- Atiyah, MF (1970), "Globale Theorie elliptischer Operatoren", Proc. Int. Konf. on Functional Analysis and Related Topics (Tokio, 1969) , Universität Tokio, Zbl 0193.43601
- Atiyah, MF (1976), "Elliptische Operatoren, diskrete Gruppen und von Neumann-Algebren", Kolloque "Analyse et Topologie" en l'Honneur de Henri Cartan (Orsay, 1974) , Asterisque, 32–33, Soc. Mathematik. Frankreich, Paris, S. 43–72, MR 0420729
- Atiyah, MF ; Segal, GB (1968), "The Index of Elliptic Operators: II", Annals of Mathematics , Second Series, 87 (3): 531–545, doi : 10.2307/1970716 , JSTOR 1970716 Dies formuliert das Ergebnis als eine Art Fixpunktsatz von Lefschetz unter Verwendung der äquivarianten K-Theorie.
- Atiyah, Michael F. ; Singer, Isadore M. (1963), "The Index of Elliptic Operators on Compact Manifolds", Bull. Amer. Mathematik. Soz. , 69 (3): 422–433, doi : 10.1090/S0002-9904-1963-10957-X Eine Ankündigung des Indexsatzes.
- Atiyah, Michael F. ; Singer, Isadore M. (1968a), "The Index of Elliptic Operators I", Annals of Mathematics , 87 (3): 484–530, doi : 10.2307/1970715 , JSTOR 1970715 Dies liefert einen Beweis mit der K-Theorie anstelle der Kohomologie.
- Atiyah, Michael F. ; Singer, Isadore M. (1968b), "The Index of Elliptic Operators III", Annals of Mathematics , Second Series, 87 (3): 546–604, doi : 10.2307/1970717 , JSTOR 1970717 Dieses Papier zeigt, wie man von der K-Theorie-Version in eine Version mit Kohomologie konvertiert.
- Atiyah, Michael F. ; Singer, Isadore M. (1971a), "The Index of Elliptic Operators IV", Annals of Mathematics , Second Series, 93 (1): 119–138, doi : 10.2307/1970756 , JSTOR 1970756 Dieser Artikel untersucht Familien elliptischer Operatoren, bei denen der Index nun ein Element der K-Theorie des die Familie parametrisierenden Raums ist.
- Atiyah, Michael F. ; Singer, Isadore M. (1971b), "The Index of Elliptic Operators V", Annals of Mathematics , Second Series, 93 (1): 139–149, doi : 10.2307/1970757 , JSTOR 1970757. Dies untersucht Familien reeller (und nicht komplexer) elliptischer Operatoren, wenn man manchmal ein wenig zusätzliche Informationen herausquetschen kann.
- Atiyah, MF ; Bott, R. (1966), "Eine Lefschetz-Fixpunktformel für elliptische Differentialoperatoren", Bull. Bin. Mathematik. Soz. , 72 (2): 245–50, doi : 10.1090/S0002-9904-1966-11483-0. Dies gibt einen Satz an, der die Lefschetz-Zahl eines Endomorphismus eines elliptischen Komplexes berechnet.
- Atiyah, MF ; Bott, R. (1967), "A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes: I", Annals of Mathematics , Second series, 86 (2): 374–407, doi : 10.2307/1970694 , JSTOR 1970694und Atiyah, MF; Bott, R. (1968), "A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes: II. Applications", Annals of Mathematics , Second Series, 88 (3): 451–491, doi : 10.2307/1970721 , JSTOR 1970721 Diese liefern die Beweise und einige Anwendungen der Ergebnisse, die in der vorherigen Arbeit angekündigt wurden.
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Externe Links
Links zur Theorie
- Mazzeo, Rafe. "The Atiyah-Singer Index Theorem: Was es ist und warum Sie sich interessieren sollten" (PDF) . Archiviert vom Original (PDF) am 10. Oktober 2002. Pdf-Präsentation.
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- Wassermann, Anton . "Vorlesungsnotizen zum Atiyah-Singer Index Theorem" . Archiviert vom Original am 29. März 2017.
Links zu Interviews
- Raussen, Martin; Skau, Christian (2005), „Interview with Michael Atiyah and Isadore Singer“ (PDF) , Mitteilungen von AMS , S. 223–231
- RR Seeley und andere (1999) Erinnerungen aus den Anfängen der Indextheorie und Pseudodifferenzialoperatoren - Eine teilweise Abschrift eines informellen Gesprächs nach dem Abendessen während eines Symposiums in Roskilde, Dänemark, im September 1998.