Wechselwirkendes Partikelsystem - Interacting particle system

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein interagierendes Partikelsystem ( IPS ) ein stochastischer Prozess in einem Konfigurationsraum, der durch einen Standortraum, einen zählbar-unendlichen Graphen und einen lokalen Zustandsraum, einen kompakten metrischen Raum, gegeben ist . Genauer gesagt sind IPS zeitkontinuierliche Markov-Sprungprozesse, die das kollektive Verhalten stochastisch interagierender Komponenten beschreiben. IPS sind das zeitkontinuierliche Analogon stochastischer zellulärer Automaten . ${\ displaystyle (X (t)) _ {t \ in \ mathbb {R} ^ {+}}}$${\ displaystyle \ Omega = S ^ {G}}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle S}$

Zu den Hauptbeispielen zählen das Wählermodell , der Kontaktprozess , der asymmetrische einfache Ausschlussprozess (ASEP), die Glauberdynamik und insbesondere das stochastische Ising-Modell .

IPS werden normalerweise über ihren Markov-Generator definiert, was zu einem einzigartigen Markov-Prozess unter Verwendung von Markov- Halbgruppen und dem Hille-Yosida-Theorem führt . Der Generator wiederum wird über sogenannte Übergangsraten gegeben , wo eine endliche Menge von Standorten und mit für alle . Die Raten beschreiben exponentielle Wartezeiten des Prozesses, um von Konfiguration zu Konfiguration zu springen . Ganz allgemein werden die Übergangsraten in Form eines endlichen Maßes gegeben auf . ${\ displaystyle c _ {\ Lambda} (\ eta, \ xi)> 0}$${\ displaystyle \ Lambda \ subset G}$${\ displaystyle \ eta, \ xi \ in \ Omega}$${\ displaystyle \ eta _ {i} = \ xi _ {i}}$${\ displaystyle i \ notin \ Lambda}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle c _ {\ Lambda} (\ eta, d \ xi)}$${\ displaystyle S ^ {\ Lambda}}$

Der Generator eines IPS hat die folgende Form. Erstens ist die Domäne von eine Teilmenge des Raums von "Observablen", dh der Menge von realwertigen stetigen Funktionen im Konfigurationsraum . Dann gilt für jede beobachtbare im Bereich , hat man ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle Lf (\ eta) = \ sum _ {\ Lambda} \ int _ {\ xi: \ xi _ {\ Lambda ^ {c}} = \ eta _ {\ Lambda ^ {c}}} c _ {\ Lambda} (\ eta, d \ xi) [f (\ xi) -f (\ eta)]}$ .

Zum Beispiel für die stochastische Ising - Modell haben wir , , wenn für einige und ${\ displaystyle G = \ mathbb {Z} ^ {d}}$${\ displaystyle S = \ {- 1, + 1 \}}$${\ displaystyle c _ {\ Lambda} = 0}$${\ displaystyle \ Lambda \ neq \ {i \}}$${\ displaystyle i \ in G}$

${\ displaystyle c_ {i} (\ eta, \ eta ^ {i}) = \ exp [- \ beta \ sum _ {j: | ji | = 1} \ eta _ {i} \ eta _ {j}] }}$

Wo ist die Konfiguration gleich, außer dass sie vor Ort umgedreht wird . ist ein neuer Parameter, der die inverse Temperatur modelliert. ${\ displaystyle \ eta ^ {i}}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ beta}$

Das Voter-Modell

Das Wählermodell (normalerweise in kontinuierlicher Zeit, aber es gibt auch diskrete Versionen) ist ein Prozess, der dem Kontaktprozess ähnlich ist . In diesem Prozess wird die Haltung eines Wählers zu einem bestimmten Thema dargestellt. Die Wähler überdenken ihre Meinungen zu Zeiten, die nach unabhängigen exponentiellen Zufallsvariablen verteilt sind (dies ergibt einen lokalen Poisson-Prozess - beachten Sie, dass es im Allgemeinen unendlich viele Wähler gibt, sodass kein globaler Poisson-Prozess verwendet werden kann). In Zeiten der erneuten Überprüfung wählt ein Wähler einen Nachbarn einheitlich aus allen Nachbarn aus und vertritt die Meinung dieses Nachbarn. Man kann den Prozess verallgemeinern, indem man zulässt, dass die Auswahl der Nachbarn etwas anderes als einheitlich ist. ${\ displaystyle \ eta (x)}$

Diskreter Zeitprozess

Repräsentiert im zeitdiskreten Wählermodell in einer Dimension den Zustand des Partikels zum Zeitpunkt . Informell ist jede Person auf einer Linie angeordnet und kann andere Personen innerhalb eines Radius "sehen" . Wenn mehr als ein bestimmter Anteil dieser Menschen nicht einverstanden ist, ändert die Person ihre Einstellung, andernfalls behält sie es bei. Durrett und Steif (1993) und Steif (1994) zeigen, dass es für große Radien einen kritischen Wert gibt, so dass, wenn sich die meisten Personen nie ändern, und im Grenzfall die meisten Standorte übereinstimmen. (Beide Ergebnisse gehen von einer Wahrscheinlichkeit von der Hälfte aus.) ${\ displaystyle \ xi _ {t} (x): \ mathbb {Z} \ bis \ {0,1 \}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ theta _ {c}}$${\ displaystyle \ theta> \ theta _ {c}}$${\ displaystyle \ theta \ in (1/2, \ theta _ {c})}$${\ displaystyle \ xi _ {0} (x) = 1}$

Dieser Prozess hat eine natürliche Verallgemeinerung auf mehr Dimensionen, einige Ergebnisse hierfür werden in Durrett und Steif (1993) diskutiert .

Kontinuierlicher Zeitprozess

Der kontinuierliche Zeitprozess ist insofern ähnlich, als er sich vorstellt, dass jeder Einzelne zu einer Zeit einen Glauben hat, und ihn basierend auf den Einstellungen seiner Nachbarn ändert. Der Prozess wird informell von Liggett (1985, 226) beschrieben: "Periodisch (dh zu unabhängigen exponentiellen Zeiten) überprüft ein Individuum seine Ansicht auf ziemlich einfache Weise neu: Er wählt zufällig einen 'Freund' mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten und nimmt seine Position ein . " Mit dieser Interpretation wurde von Holley und Liggett (1975) ein Modell konstruiert .

Dieser Prozess entspricht einem Prozess, der zuerst von Clifford und Sudbury (1973) vorgeschlagen wurde, bei dem Tiere in Konflikt um das Territorium stehen und gleichermaßen übereinstimmen. Eine Site wird ausgewählt, um zu einem bestimmten Zeitpunkt von einem Nachbarn angegriffen zu werden.

Verweise

• Clifford, Peter; Aidan Sudbury (1973). "Ein Modell für räumliche Konflikte". Biometrika . 60 (3): 581–588. doi : 10.1093 / biomet / 60.3.581 .
• Durrett, Richard ; Jeffrey E. Steif (1993). "Fixierungsergebnisse für Schwellenwählersysteme" . Die Annalen der Wahrscheinlichkeit . 21 (1): 232–247. doi : 10.1214 / aop / 1176989403 .
• Holley, Richard A.; Thomas M. Liggett (1975). "Ergodische Theoreme für schwach interagierende unendliche Systeme und das Wählermodell" . Die Annalen der Wahrscheinlichkeit . 3 (4): 643–663. doi : 10.1214 / aop / 1176996306 .
• Steif, Jeffrey E. (1994). "Der Schwellenwählerautomat an einem kritischen Punkt" . Die Annalen der Wahrscheinlichkeit . 22 (3): 1121–1139. doi : 10.1214 / aop / 1176988597 .
• Liggett, Thomas M. (1997). "Stochastische Modelle interagierender Systeme" . Die Annalen der Wahrscheinlichkeit . Institut für Mathematische Statistik. 25 (1): 1–29. doi : 10.1214 / aop / 1024404276 . ISSN   0091-1798 .
• Liggett, Thomas M. (1985). Interagierende Partikelsysteme . New York: Springer Verlag. ISBN   0-387-96069-4 .