Halbgruppe - Semigroup

In der Mathematik ist eine Halbgruppe eine algebraische Struktur, die aus einer Menge zusammen mit einer assoziativen binären Operation besteht .

Die binäre Operation einer Halbgruppe wird am häufigsten multiplikativ bezeichnet : x · y oder einfach xy bezeichnet das Ergebnis der Anwendung der Halbgruppenoperation auf das geordnete Paar ( x , y ) . Assoziativität wird formal ausgedrückt als ( x · y )· z = x ·( y · z ) für alle x , y und z in der Halbgruppe.

Halbgruppen können als Sonderfall von Magmen angesehen werden , bei denen die Operation assoziativ ist, oder als Verallgemeinerung von Gruppen , ohne dass die Existenz eines Identitätselements oder Inversen erforderlich ist. Wie bei Gruppen oder Magmen muss die Halbgruppenoperation nicht kommutativ sein , also ist x · y nicht notwendigerweise gleich y · x ; Ein bekanntes Beispiel für eine assoziative, aber nicht kommutative Operation ist die Matrixmultiplikation . Wenn die Halbgruppenoperation kommutativ ist, dann heißt die Halbgruppe eine kommutative Halbgruppe oder (seltener als im analogen Fall von Gruppen ) kann sie eine abelsche Halbgruppe genannt werden .

Ein Monoid ist eine algebraische Struktur zwischen Gruppen und Halbgruppen und ist eine Halbgruppe mit einem Identitätselement , die somit allen Axiomen einer Gruppe bis auf eines gehorcht: Die Existenz von Inversen ist von einem Monoid nicht erforderlich. Ein natürliches Beispiel sind Zeichenfolgen mit Verkettung als binäre Operation und die leere Zeichenfolge als Identitätselement. Die Beschränkung auf nicht leere Zeichenfolgen liefert ein Beispiel für eine Halbgruppe, die kein Monoid ist. Positive ganze Zahlen mit Addition bilden eine kommutative Halbgruppe, die kein Monoid ist, während die nicht-negativen ganzen Zahlen ein Monoid bilden. Eine Halbgruppe ohne ein Identitätselement kann leicht in ein Monoid umgewandelt werden, indem einfach ein Identitätselement hinzugefügt wird. Folglich werden Monoide eher in der Halbgruppentheorie als in der Gruppentheorie untersucht. Halbgruppen sollten nicht mit Quasigruppen verwechselt werden , die eine Verallgemeinerung von Gruppen in eine andere Richtung darstellen; die Operation in einer Quasigruppe muss nicht assoziativ sein, aber Quasigruppen bewahren vor Gruppen einen Begriff der Teilung . Eine Aufteilung in Halbgruppen (oder in Monoide) ist generell nicht möglich.

Das formale Studium von Halbgruppen begann im frühen 20. Jahrhundert. Frühe Ergebnisse umfassen ein Cayley-Theorem für Halbgruppen , das jede Halbgruppe als Transformationshalbgruppe realisiert , in der beliebige Funktionen die Rolle von Bijektionen aus der Gruppentheorie ersetzen. Ein tiefgreifendes Ergebnis in der Klassifikation endlicher Halbgruppen ist die Krohn-Rhodes-Theorie , analog zur Jordan-Hölder-Zerlegung für endliche Gruppen. Einige andere Techniken zum Studium von Halbgruppen, wie die Beziehungen von Green , ähneln nichts in der Gruppentheorie.

Die Theorie der endlichen Halbgruppen hat in der theoretischen Informatik seit den 1950er Jahren aufgrund der natürlichen Verbindung zwischen endlichen Halbgruppen und endlichen Automaten über das syntaktische Monoid eine besondere Bedeutung . In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden Halbgruppen mit Markov-Prozessen assoziiert . In anderen Bereichen der angewandten Mathematik sind Halbgruppen grundlegende Modelle für lineare zeitinvariante Systeme . In partiellen Differentialgleichungen wird eine Halbgruppe jeder Gleichung zugeordnet, deren räumliche Entwicklung zeitunabhängig ist.

Es gibt zahlreiche spezielle Klassen von Halbgruppen , Halbgruppen mit zusätzlichen Eigenschaften, die in bestimmten Anwendungen auftauchen. Einige dieser Klassen sind Gruppen noch näher, indem sie einige zusätzliche, aber nicht alle Eigenschaften einer Gruppe aufweisen. Von diesen erwähnen wir: reguläre Halbgruppen , orthodoxe Halbgruppen , Halbgruppen mit Involution , inverse Halbgruppen und stornierende Halbgruppen . Es gibt auch interessante Klassen von Halbgruppen, die außer der trivialen Gruppe keine Gruppen enthalten ; Beispiele für letztere Art sind Bänder und ihre kommutative Unterklasse – Halbgitter , die ebenfalls geordnete algebraische Strukturen sind .

Algebraische Strukturen
Gruppe -ähnlichen Gruppe Halbgruppe  / Monoid Rack und quandle Quasigruppe und Schleife Abelische Gruppe Magma Lügengruppe Gruppentheorie
Ring -ähnlichen Ring Rng Halbring Nahring Kommutativer Ring Integrale Domäne Gebiet Teilungsring Ringtheorie
Lattice -ähnlichen Gitter Halbgitter Komplementäres Gitter Gesamtbestellung Heyting Algebra boolsche Algebra Karte der Gitter Gittertheorie
Modul -wie Modul Gruppe mit Operatoren Vektorraum Lineare Algebra
Algebra- ähnlich Algebra Assoziativ Nicht-assoziativ Kompositionsalgebra Lügenalgebra Bewertet Bialgebra
v T e

Definition

Eine Halbgruppe ist eine Menge zusammen mit einer binären Operation " " (d. h. einer Funktion ), die die assoziative Eigenschaft erfüllt : ${\displaystyle S}$${\displaystyle\cdot}$ ${\displaystyle \cdot :S\times S\rightarrow S}$

Für alle gilt die Gleichung .${\displaystyle a,b,c\in S}$${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$

Kurz gesagt ist eine Halbgruppe ein assoziatives Magma .

Beispiele für Halbgruppen

• Leere Halbgruppe : Die leere Menge bildet eine Halbgruppe mit der leeren Funktion als binäre Operation.
• Halbgruppe mit einem Element : Es gibt im Wesentlichen nur eine (genauer gesagt nur eine bis auf Isomorphie ), die Singleton { a } mit der Operation a · a = a .
• Halbgruppe mit zwei Elementen : Es gibt fünf, die sich wesentlich unterscheiden.
• Das "Flip-Flop"-Monoid: eine Halbgruppe mit drei Elementen, die die drei Operationen an einem Schalter darstellen - setzen, zurücksetzen und nichts tun.
• Die Menge der positiven ganzen Zahlen mit Addition. (Wenn 0 enthalten ist, wird dies zu einem Monoid .)
• Der Satz von ganzen Zahlen mit Minimum oder Maximum. (Mit positiver/negativer Unendlichkeit wird dies zu einem Monoid.)
• Quadratische nichtnegative Matrizen einer bestimmten Größe mit Matrixmultiplikation.
• Jedes Ideal eines Rings mit der Multiplikation des Rings.
• Die Menge aller endlichen Strings über einem festen Alphabet Σ mit der Verkettung von Strings als Halbgruppenoperation — die sogenannte „ freie Halbgruppe über Σ“. Mit dem leeren String wird diese Halbgruppe zum freien Monoid über Σ.
• Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung F zusammen mit allen Faltungspotenzen von F, mit Faltung als Operation. Dies wird als Faltungshalbgruppe bezeichnet.
• Transformationshalbgruppen und Monoide .
• Die Menge stetiger Funktionen von einem topologischen Raum zu sich selbst mit Funktionskomposition bildet ein Monoid mit der Identitätsfunktion als Identität. Allgemeiner ausgedrückt bilden die Endomorphismen eines beliebigen Objekts einer Kategorie ein Monoid unter Komposition.
• Das Produkt von Flächen einer Anordnung von Hyperebenen .

Grundlegendes Konzept

Identität und Null

Eine linke Identität einer Halbgruppe (oder allgemeiner magma ) ist ein Element, so dass für alle in , . In ähnlicher Weise ist eine richtige Identität ein Element, so dass für alle in , . Linke und rechte Identitäten werden beide als einseitige Identitäten bezeichnet . Eine Halbgruppe kann eine oder mehrere linke Identitäten haben, aber keine rechte Identität und umgekehrt. ${\displaystyle S}$${\displaystyle e}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle ex=x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle xf=x}$

Eine zweiseitige Identität (oder einfach Identität ) ist ein Element, das sowohl eine linke als auch eine rechte Identität ist. Halbgruppen mit zweiseitiger Identität werden Monoide genannt . Eine Halbgruppe darf höchstens eine zweiseitige Identität haben. Wenn eine Halbgruppe eine zweiseitige Identität hat, ist die zweiseitige Identität die einzige einseitige Identität in der Halbgruppe. Wenn eine Halbgruppe sowohl eine linke als auch eine rechte Identität hat, dann hat sie eine zweiseitige Identität (also die eindeutige einseitige Identität).

Eine Halbgruppe ohne Identität kann in ein Monoid eingebettet sein, das durch Angrenzen eines Elements an und Definieren für alle gebildet wird . Die Notation bezeichnet ein Monoid, das durch Anhängen einer Identität, falls erforderlich, erhalten wird ( für ein Monoid). ${\displaystyle S}$${\displaystyle e\notin S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle e\cdot s=s\cdot e=s}$${\displaystyle s\in S\cup \{e\}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S^{1}=S}$

Ebenso hat jedes Magma höchstens ein absorbierendes Element , das in der Halbgruppentheorie Null genannt wird . Analog zur obigen Konstruktion kann man für jede Halbgruppe eine Halbgruppe mit 0 definieren , die einbettet . ${\displaystyle S}$${\displaystyle S^{0}}$${\displaystyle S}$

Untergruppen und Ideale

Die Halbgruppenoperation induziert eine Operation auf die Sammlung ihrer Teilmengen: gegebene Teilmengen A und B einer Halbgruppe S , ihr Produkt A · B , allgemein als AB geschrieben , ist die Menge { ab | a in A und b in B }. (Dieser Begriff definiert ist identisch wie es für Gruppen ist .) In Bezug auf diese Operation eine Teilmenge A heißt

• eine Untergruppe, wenn AA eine Untermenge von A ist ,
• ein richtiges Ideal, wenn AS eine Teilmenge von A ist , und
• ein linkes Ideal, wenn SA eine Teilmenge von A ist .

Wenn A sowohl ein Linksideal als auch ein Rechtsideal ist, wird es Ideal (oder zweiseitiges Ideal ) genannt.

Wenn S eine Halbgruppe ist, dann ist der Schnittpunkt einer beliebigen Sammlung von Unterhalbgruppen von S auch eine Untergruppe von S . Die Untergruppen von S bilden also ein vollständiges Gitter .

Ein Beispiel für eine Halbgruppe ohne minimales Ideal ist die Menge der positiven ganzen Zahlen unter Addition. Das Minimalideal einer kommutativen Halbgruppe, wenn sie existiert, ist eine Gruppe.

Greens Relationen , ein Satz von fünf Äquivalenzrelationen , die die Elemente im Hinblick auf die von ihnen erzeugten Hauptideale charakterisieren , sind wichtige Werkzeuge zur Analyse der Ideale einer Halbgruppe und verwandter Strukturvorstellungen.

Die Teilmenge mit der Eigenschaft, dass jedes Element mit jedem anderen Element der Halbgruppe kommutiert, wird Zentrum der Halbgruppe genannt. Das Zentrum einer Halbgruppe ist eigentlich eine Untergruppe.

Homomorphismen und Kongruenzen

Eine Halbgruppe Homomorphismus ist eine Funktion, Konfitüren Halbgruppe Struktur. Eine Funktion f : S → T zwischen zwei Halbgruppen ist ein Homomorphismus, wenn die Gleichung

f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) .

gilt für alle Elemente a , b in S , dh das Ergebnis ist das gleiche, wenn die Halbgruppenoperation nach oder vor der Anwendung der Abbildung f durchgeführt wird .

Ein Halbgruppenhomomorphismus zwischen Monoiden bewahrt die Identität, wenn es sich um einen Monoidhomomorphismus handelt . Aber es gibt Halbgruppenhomomorphismen, die keine monoiden Homomorphismen sind, zB die kanonische Einbettung einer Halbgruppe ohne Identität in . Bedingungen, die monoide Homomorphismen charakterisieren, werden weiter diskutiert. Sei ein Halbgruppenhomomorphismus. Das Bild von ist auch eine Halbgruppe. Wenn ein Monoid mit einem Identitätselement ist , dann ist das Identitätselement im Bild von . If ist auch ein Monoid mit einem Identitätselement und gehört zum Bild von , dann ist also ein Monoidhomomorphismus. Insbesondere dann , wenn ist surjektiv , dann ist es ein Monoid - Homomorphismus. ${\displaystyle S}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle f:S_{0}\to S_{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle e_{0}}$${\displaystyle f(e_{0})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(e_{0})=e_{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

Zwei Halbgruppen S und T heißen isomorph, wenn es einen bijektiven Halbgruppenhomomorphismus f  : S → T gibt . Isomorphe Halbgruppen haben die gleiche Struktur.

Eine Halbgruppenkongruenz ist eine Äquivalenzrelation , die mit der Halbgruppenoperation kompatibel ist. Das heißt, eine Teilmenge , die eine Äquivalenzrelation ist und für alle in S impliziert . Wie jede Äquivalenzrelation, eine Halbgruppe Kongruenz induziert Kongruenzklassen${\displaystyle\sim}$${\displaystyle \sim\;\subseteq S\times S}$${\displaystyle x\sim y\,}$${\displaystyle u\sim v\,}$${\displaystyle xu\sim yv\,}$${\displaystyle x,y,u,v}$${\displaystyle\sim}$

${\displaystyle [a]_{\sim}=\{x\in S\mid x\sim a\}}$

und die Halbgruppenoperation induziert eine binäre Operation auf den Kongruenzklassen: ${\displaystyle \circ}$

${\displaystyle [u]_{\sim}\circ [v]_{\sim}=[uv]_{\sim}}$

Da es sich um eine Kongruenz handelt, bildet die Menge aller Kongruenzklassen eine Halbgruppe mit , die Quotientenhalbgruppe oder Faktorhalbgruppe genannt und mit . Die Abbildung ist ein Halbgruppenhomomorphismus, der Quotientenabbildung , kanonische Surjektion oder Projektion genannt wird ; wenn S ein Monoid ist, dann ist die Quotientenhalbgruppe ein Monoid mit Identität . Umgekehrt ist der Kern jedes Halbgruppenhomomorphismus eine Halbgruppenkongruenz. Diese Ergebnisse sind nichts anderes als eine Vereinzelung des ersten Isomorphismussatzes der universellen Algebra . Kongruenzklassen und Faktormonoide sind die Studienobjekte in String-Rewriting-Systemen . ${\displaystyle\sim}$${\displaystyle\sim}$${\displaystyle \circ}$${\displaystyle S/\!\!\sim}$${\displaystyle x\mapsto [x]_{\sim}}$${\displaystyle [1]_{\sim}}$

Eine Kernkongruenz auf S ist der Kern eines Endomorphismus von S .

Eine Halbgruppe S erfüllt die maximale Kongruenzbedingung, wenn eine nach Inklusion geordnete Familie von Kongruenzen auf S ein maximales Element hat. Nach Zorns Lemma ist dies äquivalent zu der Aussage, dass die aufsteigende Kettenbedingung gilt: Es gibt keine unendliche streng aufsteigende Kongruenzkette auf S .

Jedes Ideal I einer Halbgruppe induziert über die durch x ρ y definierte Kongruenz ρ eine Faktorhalbgruppe, die Reesfaktorhalbgruppe , wenn entweder x = y oder sowohl x als auch y in I sind .

Quotienten und Divisionen

Die folgenden Begriffe führen die Idee ein, dass eine Halbgruppe in einer anderen enthalten ist.

Eine Halbgruppe T ist ein Quotient einer Halbgruppe S, wenn es einen surjektiven Halbgruppenmorphismus von S nach T gibt . Zum Beispiel ist ein Quotient von , wobei der Morphismus verwendet wird, der darin besteht, den Rest modulo 2 einer ganzen Zahl zu nehmen. ${\displaystyle (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},+)}$${\displaystyle (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z},+)}$

Eine Halbgruppe T teilt eine Halbgruppe S , wenn T ein Quotient einer Untergruppe S ist . Insbesondere Unterhalbgruppen von S teilen T , obwohl es nicht notwendigerweise einen Quotienten von S gibt . ${\displaystyle T\preceq S}$

Beide Relationen sind transitiv.

Struktur von Halbgruppen

Für jede Teilmenge A von S gibt es eine kleinste Teilgruppe T von S, die A enthält , und wir sagen, dass A T erzeugt . Ein einzelnes Element x von S erzeugt die Untergruppe { x ⁿ | n ∈ Z ⁺ }. Wenn dies endlich ist, dann x wird gesagt , der seinen endlichen Ordnung , sonst ist es aus ist unendlicher Ordnung . Eine Halbgruppe heißt periodisch, wenn alle ihre Elemente endlicher Ordnung sind. Eine von einem einzelnen Element erzeugte Halbgruppe wird als monogen (oder zyklisch ) bezeichnet. Wenn eine monogene Halbgruppe unendlich ist, dann ist sie mit der Additionsoperation isomorph zur Halbgruppe der positiven ganzen Zahlen . Wenn es endlich und nicht leer ist, muss es mindestens ein idempotentes enthalten . Daraus folgt, dass jede nichtleere periodische Halbgruppe mindestens ein Idempotentes hat.

Eine Untergruppe, die auch eine Gruppe ist, wird als Untergruppe bezeichnet . Zwischen den Untergruppen einer Halbgruppe und ihren Idempotenten besteht eine enge Beziehung. Jede Untergruppe enthält genau einen Idempotenten, nämlich das Identitätselement der Untergruppe. Für jedes idempotente e der Halbgruppe gibt es eine eindeutige maximale Untergruppe, die e enthält . Jede maximale Untergruppe entsteht auf diese Weise, sodass es eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen Idempotenten und maximalen Untergruppen gibt. Hier unterscheidet sich der Begriff maximale Untergruppe von seiner üblichen Verwendung in der Gruppentheorie.

Mehr kann oft gesagt werden, wenn die Ordnung endlich ist. Zum Beispiel ist jede nichtleere endliche Halbgruppe periodisch und hat ein minimales Ideal und mindestens ein idempotentes. Die Anzahl endlicher Halbgruppen einer gegebenen Größe (größer als 1) ist (offensichtlich) größer als die Anzahl der Gruppen gleicher Größe. Zum Beispiel bilden von den sechzehn möglichen "Multiplikationstabellen" für eine Menge von zwei Elementen {a, b} acht Halbgruppen, während nur vier davon Monoide und nur zwei Gruppen bilden. Weitere Informationen zur Struktur endlicher Halbgruppen finden Sie in der Krohn-Rhodes-Theorie .

Sonderklassen von Halbgruppen

• Ein Monoid ist eine Halbgruppe mit einem Identitätselement .
• Eine Gruppe ist eine Halbgruppe mit einem Identitätselement und einem inversen Element .
• Eine Untergruppe ist eine Untergruppe einer Halbgruppe, die unter der Halbgruppenoperation abgeschlossen ist.
• Eine aufhebende Halbgruppe ist eine mit der Aufhebungseigenschaft : a · b = a · c impliziert b = c und ähnlich für b · a = c · a .
• Ein Band ist eine Halbgruppe, deren Betrieb idempotent ist .
• Ein Halbverband ist eine Halbgruppe, deren Operation idempotent und kommutativ ist .
• 0-einfache Halbgruppen.
• Transformationshalbgruppen : Jede endliche Halbgruppe S kann durch Transformationen einer (Zustands-)Menge Q von höchstens | . dargestellt werden S | + 1 Staaten. Jedes Element x von S bildet dann Q in sich selbst x : Q → Q ab und die Folge xy ist definiert durch q ( xy ) = ( qx ) y für jedes q in Q . Die Sequenzierung ist eindeutig eine assoziative Operation, hier gleichbedeutend mit der Funktionskomposition . Diese Darstellung ist grundlegend für jeden Automaten oder jeden endlichen Automaten (FSM).
• Die bicyclische Halbgruppe ist in der Tat ein Monoid, das unter der Beziehung pq = 1 als freie Halbgruppe auf zwei Generatoren p und q beschrieben werden kann .
• C ₀ -Halbgruppen .
• Regelmäßige Halbgruppen . Jedes Element x hat mindestens ein Inverses y , das xyx = x und yxy = y erfüllt ; die Elemente x und y werden manchmal "gegenseitig invers" genannt.
• Inverse Halbgruppen sind reguläre Halbgruppen, bei denen jedes Element genau eine Inverse hat. Alternativ ist eine reguläre Halbgruppe genau dann invers, wenn zwei beliebige Idempotenten kommutieren.
• Affine Halbgruppe: eine Halbgruppe, die isomorph zu einer endlich erzeugten Untergruppe von Z ^{d ist} . Diese Halbgruppen haben Anwendungen in der kommutativen Algebra .

Struktursatz für kommutative Halbgruppen

Es gibt einen Struktursatz für kommutative Halbgruppen im Sinne von Halbgittern . Ein Semilattice (oder genauer ein Meet-Semilattice) ist eine teilweise geordnete Menge, bei der jedes Elementpaar eine größte untere Schranke hat , die als . Der Betrieb macht in einer Halbgruppe die zusätzliche Befriedigung idempotence Gesetz . ${\displaystyle (L,\leq)}$${\displaystyle a,b\in L}$${\displaystyle a\keil b}$${\displaystyle\keil}$${\displaystyle L}$${\displaystyle a\keil a=a}$

Bei einem Homomorphismus von einer beliebigen Halbgruppe zu einem Halbgitter ist jedes inverse Bild eine (möglicherweise leere) Halbgruppe. Darüber hinaus wird benotet durch , in dem Sinne , dass ${\displaystyle f:S\nach L}$${\displaystyle S_{a}=f^{-1}\{a\}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle S_{a}S_{b}\subseteq S_{a\keil b}.}$

Wenn on ist , ist das Halbgitter isomorph zum Quotienten von durch die Äquivalenzrelation, so dass genau dann wenn . Diese Äquivalenzrelation ist eine Halbgruppenkongruenz, wie oben definiert. ${\displaystyle f}$${\displaystyle L}$${\displaystyle S}$${\displaystyle\sim}$${\displaystyle x\sim y}$${\displaystyle f(x)=f(y)}$

Immer wenn wir den Quotienten einer kommutativen Halbgruppe durch eine Kongruenz bilden, erhalten wir eine weitere kommutative Halbgruppe. Der Struktursatz besagt, dass es für jede kommutative Halbgruppe eine feinste Kongruenz gibt, so dass der Quotient von durch diese Äquivalenzrelation ein Halbgitter ist. Bezeichnet man diese durch Halbverband , erhalten wir einen Homomorphismus von auf . Wie erwähnt, wird durch dieses Halbgitter abgestuft. ${\displaystyle S}$${\displaystyle\sim}$${\displaystyle S}$${\displaystyle L}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle L}$${\displaystyle S}$

Außerdem sind die Komponenten allesamt archimedische Halbgruppen . Eine archimedische Halbgruppe ist eine , bei der ein beliebiges Paar von Elementen ein Element und ein solches existiert . ${\displaystyle S_{a}}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle x^{n}=yz}$

Die archimedische Eigenschaft folgt unmittelbar aus der Ordnung im Halbgitter , da wir mit dieser Ordnung genau dann haben, wenn für einige und . ${\displaystyle L}$${\displaystyle f(x)\leq f(y)}$${\displaystyle x^{n}=yz}$${\displaystyle z}$${\displaystyle n>0}$

Fraktionsgruppe

Die Gruppe der Brüche oder Gruppenergänzung einer Halbgruppe S ist die Gruppe G = G ( S ) erzeugt durch die Elemente von S als Generatoren und alle Gleichungen xy = z , die in S als Relationen gelten . Es gibt einen offensichtlichen Halbgruppenhomomorphismus j  : S → G ( S ), der jedes Element von S an den entsprechenden Generator sendet . Dies hat eine universelle Eigenschaft für Morphismen von S zu einer Gruppe: Für jede Gruppe H und jeden Halbgruppenhomomorphismus k  : S → H existiert ein eindeutiger Gruppenhomomorphismus f  : G → H mit k = fj . Wir können uns G als die "allgemeinste" Gruppe vorstellen, die ein homomorphes Bild von S enthält .

Eine wichtige Frage besteht darin, diejenigen Halbgruppen zu charakterisieren, für die diese Karte eine Einbettung ist. Dies muss nicht immer der Fall sein: Nehmen Sie beispielsweise S als die Halbgruppe von Teilmengen einer Menge X mit mengentheoretischer Schnittmenge als binäre Operation (dies ist ein Beispiel für ein Halbgitter). Da A . A = A gilt für alle Elemente von S , dies muss auch für alle Generatoren von G ( S ) gelten: also die triviale Gruppe . Für die Einbettbarkeit ist es eindeutig erforderlich, dass S die Löscheigenschaft besitzt . Wenn S kommutativ ist, ist diese Bedingung auch ausreichend und die Grothendieck-Gruppe der Halbgruppe liefert eine Konstruktion der Gruppe der Brüche. Das Problem für nicht-kommutative Halbgruppen kann auf die erste wesentliche Arbeit über Halbgruppen zurückgeführt werden. Anatoly Maltsev gab 1937 notwendige und ausreichende Bedingungen für die Einbettbarkeit.

Halbgruppenmethoden in partiellen Differentialgleichungen

Die Halbgruppentheorie kann verwendet werden, um einige Probleme auf dem Gebiet der partiellen Differentialgleichungen zu untersuchen . Grob gesagt besteht der Halbgruppenansatz darin, eine zeitabhängige partielle Differentialgleichung als gewöhnliche Differentialgleichung auf einem Funktionsraum zu betrachten. Betrachten Sie beispielsweise das folgende Anfangs-/Randwertproblem für die Wärmegleichung auf dem räumlichen Intervall (0, 1) ⊂ R und den Zeiten t ≥ 0 :

${\displaystyle {\begin{Fälle}\partial_{t}u(t,x)=\partial_{x}^{2}u(t,x),&x\in (0,1),t> 0;\\u(t,x)=0,&x\in \{0,1\},t>0;\\u(t,x)=u_{0}(x),&x\in (0 ,1),t=0.\end{Fälle}}}$

Sei X = L ² ((0, 1) R ) der L ^p- Raum von quadratintegrablen reellwertigen Funktionen mit dem Bereich das Intervall (0, 1) und sei A der zweite Ableitungsoperator mit dem Bereich

${\displaystyle D(A)={\big\{}u\in H^{2}((0,1);\mathbf {R} ){\big |}u(0)=u(1)= 0{\big\}},}$

wobei H ² ein Sobolev-Raum ist . Dann kann das obige Anfangs-/Randwertproblem als Anfangswertproblem für eine gewöhnliche Differentialgleichung auf dem Raum X interpretiert werden :

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {u}}(t)=Au(t);\\u(0)=u_{0}.\end{cases}}}$

Auf heuristischer Ebene "sollte" die Lösung dieses Problems u ( t ) = exp( tA ) u _{0 sein} . Für eine rigorose Behandlung muss jedoch der Exponentialfunktion von tA eine Bedeutung beigemessen werden . Als Funktion von t ist exp( tA ) eine Halbgruppe von Operatoren von X zu sich selbst, die den Anfangszustand u ₀ zum Zeitpunkt t = 0 in den Zustand u ( t ) = exp( tA ) u ₀ zum Zeitpunkt t bringt . Der Operator A heißt der infinitesimale Generator der Halbgruppe.

Geschichte

Die Untersuchung von Halbgruppen blieb hinter der anderer algebraischer Strukturen mit komplexeren Axiomen wie Gruppen oder Ringen zurück . Eine Reihe von Quellen führt die erste Verwendung des Begriffs (auf Französisch) J.-A. de Séguier in Élements de la Théorie des Groupes Abstraits (Elemente der Theorie abstrakter Gruppen) im Jahr 1904. Der Begriff wird 1908 auf Englisch in Harold Hintons Theorie der Gruppen endlicher Ordnung verwendet .

Anton Sushkevich erhielt die ersten nicht-trivialen Ergebnisse über Halbgruppen. Sein Aufsatz von 1928 "Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit" ("On finite groups without the rule of unique invertibility") bestimmte die Struktur endlicher einfacher Halbgruppen und zeigte, dass das minimale Ideal (oder die Greensche Relationen J-Klasse) von eine endliche Halbgruppe ist einfach. Von diesem Zeitpunkt an wurden die Grundlagen der Halbgruppentheorie von David Rees , James Alexander Green , Evgenii Sergeevich Lyapin , Alfred H. Clifford und Gordon Preston weiter gelegt . Die beiden letztgenannten veröffentlichten 1961 bzw. 1967 eine zweibändige Monographie zur Halbgruppentheorie. 1970 wurde eine neue Zeitschrift namens Semigroup Forum (derzeit herausgegeben vom Springer Verlag ) zu einer der wenigen mathematischen Zeitschriften, die sich ausschließlich der Halbgruppentheorie widmeten.

Die Darstellungstheorie von Halbgruppen wurde 1963 von Boris Schein entwickelt, wobei binäre Relationen auf einer Menge A und Relationszusammensetzungen für das Halbgruppenprodukt verwendet wurden. Auf einer algebraischen Konferenz 1972 hat Schein die Literatur zu B _A , der Halbgruppe der Relationen zu A , untersucht . 1997 bewiesen Schein und Ralph McKenzie , dass jede Halbgruppe isomorph zu einer transitiven Halbgruppe binärer Beziehungen ist.

In den letzten Jahren haben sich Forscher auf diesem Gebiet mit speziellen Monographien zu wichtigen Klassen von Halbgruppen, wie inversen Halbgruppen , sowie Monographien spezialisiert, die sich auf Anwendungen in der algebraischen Automatentheorie , insbesondere für endliche Automaten, und auch in der Funktionalanalyse konzentrieren .

Verallgemeinerungen

Gruppenähnliche Strukturen
	Gesamtheit	Assoziativität	Identität	Umkehrbarkeit	Kommutativität
Halbgruppoid	Nicht benötigt	Erforderlich	Nicht benötigt	Nicht benötigt	Nicht benötigt
Kleine Kategorie	Nicht benötigt	Erforderlich	Erforderlich	Nicht benötigt	Nicht benötigt
Gruppoid	Nicht benötigt	Erforderlich	Erforderlich	Erforderlich	Nicht benötigt
Magma	Erforderlich	Nicht benötigt	Nicht benötigt	Nicht benötigt	Nicht benötigt
Quasigruppe	Erforderlich	Nicht benötigt	Nicht benötigt	Erforderlich	Nicht benötigt
Einheitsmagma	Erforderlich	Nicht benötigt	Erforderlich	Nicht benötigt	Nicht benötigt
Schleife	Erforderlich	Nicht benötigt	Erforderlich	Erforderlich	Nicht benötigt
Halbgruppe	Erforderlich	Erforderlich	Nicht benötigt	Nicht benötigt	Nicht benötigt
Inverse Halbgruppe	Erforderlich	Erforderlich	Nicht benötigt	Erforderlich	Nicht benötigt
Monoid	Erforderlich	Erforderlich	Erforderlich	Nicht benötigt	Nicht benötigt
Kommutatives Monoid	Erforderlich	Erforderlich	Erforderlich	Nicht benötigt	Erforderlich
Gruppe	Erforderlich	Erforderlich	Erforderlich	Erforderlich	Nicht benötigt
Abelische Gruppe	Erforderlich	Erforderlich	Erforderlich	Erforderlich	Erforderlich
^α Closure, die in vielen Quellen verwendet wird, ist ein äquivalentes Axiom zur Totalität, wenn auch anders definiert.

Wenn die Assoziativität Axiom eines Halbgruppe fallen gelassen wird, ist das Ergebnis ein Magma , die nichts mehr als ein Satz ist M ausgestattet mit einer binären Operation , das geschlossen ist M × M → M .

In eine andere Richtung verallgemeinernd , ist eine n -Halbgruppe (auch n -Halbgruppe , polyadische Halbgruppe oder multiäre Halbgruppe ) eine Verallgemeinerung einer Halbgruppe auf eine Menge G mit einer n -Operation statt einer binären Operation. Das Assoziativgesetz wird wie folgt verallgemeinert: Die ternäre Assoziativität ist ( abc ) de = a ( bcd ) e = ab ( cde ) , dh der String abcde mit drei beliebigen benachbarten Elementen in Klammern. N- äre Assoziativität ist ein String der Länge n + ( n − 1 ) mit allen n benachbarten Elementen in Klammern. Eine 2-äre Halbgruppe ist nur eine Halbgruppe. Weitere Axiome führen zu einer n- ären Gruppe .

Eine dritte Verallgemeinerung ist das Semigroupoid , bei dem die Forderung, dass die binäre Relation total ist, aufgehoben wird. Da Kategorien Monoide auf die gleiche Weise verallgemeinern, verhält sich ein Semigroupoid ähnlich wie eine Kategorie, aber es fehlen Identitäten.

Unendliche Verallgemeinerungen kommutativer Halbgruppen sind manchmal von verschiedenen Autoren in Betracht gezogen worden.

Siehe auch

• Absorptionselement
• Bigeordnetes Set
• Leere Halbgruppe
• Verallgemeinerte Umkehrung
• Identitätselement
• Assoziativitätstest des Lichts
• Quantendynamische Halbgruppe
• Halbgruppenring
• Schwache Umkehrung

Anmerkungen

Zitate

Verweise

Allgemeine Referenzen

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Spezifische Referenzen

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