Kruskal–Szekeres-Koordinaten - Kruskal–Szekeres coordinates

Kruskal-Szekeres-Diagramm, dargestellt für 2 GM =1. Die Quadranten sind das Innere des Schwarzen Lochs (II), das Innere des Weißen Lochs (IV) und die beiden äußeren Bereiche (I und III). Die gepunkteten 45°-Linien, die diese vier Regionen trennen, sind die Ereignishorizonte . Die dunkleren Hyperbeln, die den oberen und unteren Rand des Diagramms begrenzen, sind die physikalischen Singularitäten. Die helleren Hyperbeln repräsentieren Konturen der Schwarzschild- r- Koordinate, und die geraden Linien durch den Ursprung repräsentieren Konturen der Schwarzschild- t- Koordinate.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie sind Kruskal-Szekeres-Koordinaten , benannt nach Martin Kruskal und George Szekeres , ein Koordinatensystem für die Schwarzschild-Geometrie für ein Schwarzes Loch . Diese Koordinaten haben den Vorteil, dass sie die gesamte Raumzeit- Mannigfaltigkeit der maximal ausgedehnten Schwarzschild-Lösung abdecken und sich überall außerhalb der physikalischen Singularität gut verhalten.

Die Kruskal-Szekeres-Koordinaten gelten auch für die Raumzeit um ein kugelförmiges Objekt, geben dann aber keine Beschreibung der Raumzeit innerhalb des Radius des Objekts. Die Raumzeit in einer Region, in der ein Stern zu einem Schwarzen Loch kollabiert, wird durch die Kruskal-Szekeres-Koordinaten (oder durch die Schwarzschild-Koordinaten ) angenähert . Die Oberfläche des Sterns bleibt in den Schwarzschild-Koordinaten außerhalb des Ereignishorizonts , kreuzt ihn jedoch in den Kruskal-Szekeres-Koordinaten. (In jedem "Schwarzen Loch", das wir beobachten , sehen wir es zu einem Zeitpunkt, zu dem seine Materie noch nicht vollständig zusammengebrochen ist, es ist also noch kein wirkliches Schwarzes Loch.) Ebenso bleiben Objekte, die in ein Schwarzes Loch fallen, außerhalb des Ereignishorizonts in Schwarzschild-Koordinaten, aber kreuzen Sie es in Kruskal-Szekeres-Koordinaten.

Definition

Kruskal-Szekeres-Diagramm. Jeder Frame der Animation zeigt eine blaue Hyperbel als Fläche, auf der die Schwarzschild-Radialkoordinate konstant ist (und mit einem kleineren Wert in jedem nachfolgenden Frame, bis er an den Singularitäten endet).

Kruskal-Szekeres-Koordinaten auf einer Schwarzen-Loch- Geometrie werden aus den Schwarzschild-Koordinaten definiert, indem t und r durch eine neue zeitartige Koordinate T und eine neue raumartige Koordinate ersetzt werden : ${\displaystyle (t,r,\theta,\phi)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle T=\left({\frac {r}{2GM}}-1\right)^{1/2}e^{r/4GM}\sinh \left({\frac {t}{4GM} }\rechts)}$

${\displaystyle X=\left({\frac {r}{2GM}}-1\right)^{1/2}e^{r/4GM}\cosh \left({\frac {t}{4GM} }\rechts)}$

für den Außenbereich außerhalb des Ereignishorizonts und: ${\displaystyle r>2GM}$

${\displaystyle T=\left(1-{\frac {r}{2GM}}\right)^{1/2}e^{r/4GM}\cosh \left({\frac {t}{4GM} }\rechts)}$

${\displaystyle X=\left(1-{\frac {r}{2GM}}\right)^{1/2}e^{r/4GM}\sinh \left({\frac {t}{4GM} }\rechts)}$

für den Innenbereich . Hier ist die Gravitationskonstante multipliziert mit dem Schwarzschild-Massenparameter, und dieser Artikel verwendet Einheiten mit = 1. ${\displaystyle 0<r<2GM}$${\displaystyle GM}$${\displaystyle c}$

Daraus folgt, dass auf der Vereinigung des äußeren Bereichs, des Ereignishorizonts und des inneren Bereichs die Schwarzschild-Radialkoordinate (nicht zu verwechseln mit dem Schwarzschild-Radius ) in Form von Kruskal-Szekeres-Koordinaten als (eindeutige) Lösung der Gleichung: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r_{s}=2GM}$

${\displaystyle T^{2}-X^{2}=\left(1-{\frac {r}{2GM}}\right)e^{r/2GM}\ ,T^{2}-X^ {2}<1}$

Mit der Lambert-W-Funktion wird die Lösung geschrieben als:

${\displaystyle r=2GM\left(1+W_{0}\left({\frac {X^{2}-T^{2}}{e}}\right)\right)}$.

Außerdem sieht man sofort, dass in der Region außerhalb des Schwarzen Lochs ${\displaystyle T^{2}-X^{2}<0,\ X>0}$

${\displaystyle t=4GM\mathop {\mathrm {arctanh}} (T/X)}$

während in der Region innerhalb des Schwarzen Lochs ${\displaystyle 0<T^{2}-X^{2}<1,\ T>0}$

${\displaystyle t=4GM\mathop {\mathrm {arctanh}} (X/T)}$

In diesen neuen Koordinaten ist die Metrik der Schwarzschild-Mannigfaltigkeit des Schwarzen Lochs gegeben durch

${\displaystyle g={\frac {32G^{3}M^{3}}{r}}e^{-r/2GM}(-dT^{2}+dX^{2})+r^{ 2}g_{\Omega},}$

geschrieben unter Verwendung der (− + + +) metrischen Signaturkonvention und wobei die Winkelkomponente der Metrik (die Riemannsche Metrik der 2-Sphäre) ist:

${\displaystyle g_{\Omega}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\d\theta^{2}+\sin^{2}\theta\,d\phi^{2}}$.

Wenn man die Metrik in dieser Form ausdrückt, zeigt sich deutlich, dass radiale Nullgeodäten, dh mit Konstante, parallel zu einer der Geraden sind . In den Schwarzschild-Koordinaten ist der Schwarzschild-Radius die radiale Koordinate des Ereignishorizonts . In den Kruskal-Szekeres-Koordinaten ist der Ereignishorizont gegeben durch . Beachten Sie, dass die Metrik perfekt definiert und am Ereignishorizont nicht singulär ist. Die Krümmungssingularität liegt bei . ${\displaystyle \Omega =\Omega (\theta,\phi)}$${\displaystyle T=\pm X}$${\displaystyle r_{s}=2GM}$ ${\displaystyle r=r_{s}=2GM}$${\displaystyle T^{2}-X^{2}=0}$${\displaystyle T^{2}-X^{2}=1}$

Die maximal ausgedehnte Schwarzschild-Lösung

Die Transformation zwischen Schwarzschild-Koordinaten und Kruskal-Szekeres-Koordinaten ist für r  > 2 GM definiert und kann als analytische Funktion zumindest auf die erste Singularität, die bei auftritt, erweitert werden . Somit ist die obige Metrik eine Lösung der Einstein-Gleichungen in diesem Bereich. Die zulässigen Werte sind ${\displaystyle -\infty <t<\infty }$${\displaystyle T^{2}-X^{2}=1}$

${\displaystyle -\infty <X<\infty \,}$

${\displaystyle -\infty <T^{2}-X^{2}<1}$

Beachten Sie, dass diese Erweiterung davon ausgeht, dass die Lösung überall analytisch ist.

In der maximal erweiterten Lösung gibt es bei r = 0 tatsächlich zwei Singularitäten , eine für positives T und eine für negatives T . Die negative T- Singularität ist das zeitumgekehrte Schwarze Loch, das manchmal auch als „ weißes Loch “ bezeichnet wird. Partikel können aus einem weißen Loch entweichen, aber nie zurückkehren.

Die maximal ausgedehnte Schwarzschild-Geometrie kann in 4 Bereiche unterteilt werden, von denen jeder durch einen geeigneten Satz von Schwarzschild-Koordinaten abgedeckt werden kann. Die Kruskal-Szekeres-Koordinaten hingegen decken die gesamte Raumzeit-Mannigfaltigkeit ab. Die vier Regionen sind durch Ereignishorizonte getrennt.

ich	Außenbereich	${\displaystyle -X<T<+X}$	${\displaystyle 2GM<r}$
II	Inneres schwarzes Loch	${\displaystyle \vert X\vert <T<{\sqrt {1+X^{2}}}}$	${\displaystyle 0<r<2GM}$
III	paralleler Außenbereich	${\displaystyle +X<T<-X}$	${\displaystyle 2GM<r}$
NS	inneres weißes Loch	${\displaystyle -{\sqrt {1+X^{2}}}<T<-\vert X\vert }$	${\displaystyle 0<r<2GM}$

Die oben angegebene Transformation zwischen Schwarzschild- und Kruskal-Szekeres-Koordinaten gilt nur in den Regionen I und II (wenn wir die Quadratwurzel positiv ziehen). Eine ähnliche Transformation lässt sich in den anderen beiden Regionen niederschreiben.

Die Schwarzschild-Zeitkoordinate t ist gegeben durch

${\displaystyle \tanh \left({\frac {t}{4GM}}\right)={\begin{cases}T/X&{\mbox{(in I und III)}}\\X/T&{\ mbox{(in II und IV)}}\end{Fälle}}}$

In jeder Region läuft sie von bis mit den Unendlichkeiten an den Ereignishorizonten. ${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle +\infty}$

Basierend auf den Anforderungen, die die Quantenprozess Hawkingstrahlung ist unitäre , ‚t Hooft vorgeschlagen , dass die Bereiche I und III, sowie II und IV aus nur mathematischen Artefakte kommen Zweige für Wurzeln statt parallel Universen und dass die Äquivalenzbeziehung - Auswahl

${\displaystyle (T,X,\Omega)\sim (-T,-X,-\Omega)}$

auferlegt werden soll, wo der Antipode auf der 2-Sphäre liegt. Wenn wir uns die Regionen III und IV so vorstellen, dass sie Kugelkoordinaten haben, aber eine negative Wahl für die Quadratwurzel zur Berechnung von , dann verwenden wir nur entsprechend entgegengesetzte Punkte auf der Kugel, um denselben Punkt im Raum zu bezeichnen, also z ${\displaystyle -\Omega}$${\displaystyle \Omega}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle (t^{(I)},r^{(I)},\Omega^{(I)})=(t,r,\Omega)\sim (t^{(III)},r ^{(III)},\Omega^{(III)})=(t,-r,-\Omega).}$

Das bedeutet . Da dies eine freie Aktion der Gruppe ist , die die Metrik erhält, ergibt dies eine wohldefinierte Lorentzsche Mannigfaltigkeit (überall außer an der Singularität). Sie identifiziert die Grenze des Innenbereichs II entsprechend dem Koordinatenliniensegment mit der Grenze des Außenbereichs I entsprechend . Die Identifizierung bedeutet, dass zwar jedes Paar einer Kugel entspricht, der Punkt (entsprechend dem Ereignishorizont im Schwarzschild-Bild) jedoch nicht einer Kugel, sondern der projektiven Ebene entspricht und die Topologie der zugrunde liegenden Mannigfaltigkeit nicht mehr . Die Mannigfaltigkeit ist nicht mehr einfach zusammenhängend , weil eine Schleife (mit überluminalen Anteilen), die von einem Punkt in der Raumzeit zu sich selbst zurückgeht, aber an den entgegengesetzten Kruskal-Szekeres-Koordinaten nicht auf eine Nullschleife reduziert werden kann. ${\displaystyle r^{(I)}\Omega^{(I)}=r^{(III)}\Omega^{(III)}=r\Omega}$${\displaystyle \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}$${\displaystyle t^{(II)}=-\infty}$${\displaystyle T=-X,\ T>0,X<0}$${\displaystyle t^{(I)}=-\infty}$${\displaystyle T=-X,\ T<0,X>0}$${\displaystyle (T,X)\sim (-T,-X)\neq (0,0)}$${\displaystyle (T,X)=(0,0)}$${\displaystyle r=2GM}$ ${\displaystyle \mathbf{RP}^{2}=S^{2}/\pm}$${\displaystyle\mathbb{R}^{4}-\mathrm{Linie} =\mathbb{R}^{2}\times S^{2}}$

Qualitative Merkmale des Kruskal-Szekeres-Diagramms

Kruskal-Szekeres-Koordinaten haben eine Reihe nützlicher Eigenschaften, die sie für die Erstellung von Intuitionen über die Schwarzschild-Raumzeit hilfreich machen. Die wichtigste davon ist die Tatsache, dass alle radialen lichtähnlichen Geodäten (die Weltlinien von Lichtstrahlen, die sich in radialer Richtung bewegen) wie gerade Linien in einem 45-Grad-Winkel aussehen, wenn sie in einem Kruskal-Szekeres-Diagramm gezeichnet werden (dies kann abgeleitet werden aus die oben angegebene metrische Gleichung, die garantiert, dass wenn dann die richtige Zeit ist ). Alle zeitähnlichen Weltlinien von Objekten, die langsamer als Licht sind, haben an jedem Punkt eine Neigung, die näher an der vertikalen Zeitachse (der T- Koordinate) liegt als 45 Grad. Ein in einem Kruskal-Szekeres-Diagramm gezeichneter Lichtkegel sieht also in der speziellen Relativitätstheorie genauso aus wie ein Lichtkegel in einem Minkowski-Diagramm . ${\displaystyle dX=\pmdT\,}$ ${\displaystyle ds=0}$

Die Ereignishorizonte, die die inneren Bereiche des Schwarzen Lochs und des Weißen Lochs begrenzen, sind ebenfalls ein Paar gerader Linien bei 45 Grad, was die Tatsache widerspiegelt, dass ein Lichtstrahl am Horizont in radialer Richtung emittiert wird (im Fall des Schwarzen Lochs nach außen gerichtet, nach innen). im Fall des weißen Lochs) würde für immer am Horizont bleiben. Somit fallen die beiden Horizonte des Schwarzen Lochs mit den Grenzen des zukünftigen Lichtkegels eines Ereignisses in der Mitte des Diagramms zusammen (bei T = X = 0), während die beiden Horizonte des Weißen Lochs mit den Grenzen des vergangenen Lichtkegels dieses gleiche Veranstaltung. Jedes Ereignis innerhalb der inneren Region des Schwarzen Lochs hat einen zukünftigen Lichtkegel, der in dieser Region verbleibt (so dass jede Weltlinie innerhalb des zukünftigen Lichtkegels des Ereignisses schließlich die Singularität des Schwarzen Lochs trifft, die als Hyperbel erscheint, die von den beiden Schwarzen Löchern begrenzt wird Horizonte), und jedes Ereignis innerhalb der inneren Region des Weißen Lochs wird einen vergangenen Lichtkegel haben, der in dieser Region verbleibt (so dass jede Weltlinie innerhalb dieses vergangenen Lichtkegels aus der Singularität des Weißen Lochs entstanden sein muss, einer Hyperbel, die von den beiden Weißen begrenzt wird Lochhorizonte). Beachten Sie, dass, obwohl der Horizont wie ein sich nach außen erweiternder Kegel aussieht, die Fläche dieser Fläche, gegeben durch r, gerade eine Konstante ist. Dh, diese Koordinaten können täuschen, wenn nicht sorgfältig vorgegangen wird. ${\displaystyle 16\pi M^{2}}$

Es kann aufschlussreich sein zu überlegen, wie Kurven mit konstanter Schwarzschild- Koordinate aussehen würden, wenn sie in einem Kruskal-Szekeres-Diagramm aufgetragen würden. Es stellt sich heraus, dass Kurven mit konstanter r- Koordinate in Schwarzschild-Koordinaten immer wie Hyperbeln aussehen, die von einem Paar von Ereignishorizonten bei 45 Grad begrenzt werden, während Linien mit konstanter t- Koordinate in Schwarzschild-Koordinaten immer wie gerade Linien in verschiedenen Winkeln aussehen, die durch das Zentrum gehen des Diagramms. Der Ereignishorizont des Schwarzen Lochs, der an die äußere Region I angrenzt, würde mit einer Schwarzschild- t- Koordinate von zusammenfallen, während der Ereignishorizont des Weißen Lochs, der an diese Region grenzt, mit einer Schwarzschild- t- Koordinate von zusammenfallen würde , was die Tatsache widerspiegelt, dass in den Schwarzschild-Koordinaten ein einfallendes Teilchen eine Unendlichkeit annimmt Koordinatenzeit, um den Horizont zu erreichen (dh die Entfernung des Teilchens vom Horizont nähert sich Null, wenn sich die Schwarzschild- t- Koordinate unendlich nähert), und ein Teilchen, das sich vom Horizont weg bewegt, muss es in der Vergangenheit in einer unendlichen Koordinatenzeit überquert haben. Dies ist nur ein Artefakt der Definition von Schwarzschild-Koordinaten; ein frei fallendes Teilchen braucht nur eine endliche Eigenzeit (von seiner eigenen Uhr gemessene Zeit), um zwischen einem äußeren Beobachter und einem Ereignishorizont zu passieren, und wenn die Weltlinie des Teilchens im Kruskal-Szekeres-Diagramm gezeichnet wird, wird dies auch nur Nehmen Sie eine endliche Koordinatenzeit in Kruskal-Szekeres-Koordinaten. ${\displaystyle +\infty}$${\displaystyle -\infty}$

Das Schwarzschild-Koordinatensystem kann nur eine einzelne äußere Region und eine einzelne innere Region abdecken, wie die Regionen I und II im Kruskal-Szekeres-Diagramm. Das Kruskal-Szekeres-Koordinatensystem hingegen kann eine "maximal ausgedehnte" Raumzeit abdecken, die den von den Schwarzschild-Koordinaten abgedeckten Bereich einschließt. Hier bezieht sich "maximal ausgedehnt" auf die Idee, dass die Raumzeit keine "Kanten" haben sollte: Jeder geodätische Pfad kann beliebig weit in jede Richtung verlängert werden, es sei denn, er trifft auf eine gravitative Singularität . Technisch bedeutet dies , dass eine möglichst ausgedehnte Raum - Zeit ist entweder „geodätisch vollständig“ (jeden geodätischen Sinn kann beliebig große positive oder negative Werte seines ‚affinen Parameters‘ erweitert werden, die im Fall einer zeit geodätischen nur das sein könnten , die richtige Zeit ), oder wenn Geodäten unvollständig sind, kann dies nur daran liegen, dass sie an einer Singularität enden. Um dieser Anforderung gerecht zu werden, wurde festgestellt, dass zusätzlich zum Inneren des Schwarzen Lochs (Bereich II), in das Teilchen eindringen, wenn sie von außen durch den Ereignishorizont fallen (Bereich I), ein separates Inneres des Weißen Lochs vorhanden sein muss Region (Region IV), die es uns ermöglicht, die Flugbahnen von Teilchen zu verlängern, die ein äußerer Beobachter vom Ereignishorizont weg aufsteigen sieht , zusammen mit einer separaten äußeren Region (Region III), die es uns ermöglicht, einige mögliche Teilchenbahnen in den beiden Inneren zu verlängern Regionen. Es gibt tatsächlich mehrere Möglichkeiten, die äußere Schwarzschild-Lösung in eine maximal ausgedehnte Raumzeit zu erweitern, aber die Kruskal-Szekeres-Erweiterung ist insofern einzigartig, als sie eine maximale, analytische , einfach zusammenhängende Vakuumlösung ist, in der alle maximal ausgedehnten Geodäten entweder vollständig sind oder sonst der Krümmungsskalar divergiert entlang ihnen in endlicher affiner Zeit.

Lichtkegel-Variante

In der Literatur erscheinen die Kruskal-Szekeres-Koordinaten manchmal auch in ihrer Lichtkegel-Variante:

${\displaystyle U=TX}$

${\displaystyle V=T+X,}$

wobei die Metrik gegeben ist durch

${\displaystyle ds^{2}=-{\frac {32G^{3}M^{3}}{r}}e^{-r/2GM}(dUdV)+r^{2}d\Omega ^ {2},}$

und r ist implizit definiert durch die Gleichung

${\displaystyle UV=\left(1-{\frac {r}{2GM}}\right)e^{r/2GM}.}$

Diese Lichtkegelkoordinaten haben die nützliche Eigenschaft, dass ausgehende Null- Geodäten durch gegeben werden , während eingehende Null-Geodäten durch gegeben werden . Darüber hinaus sind der (zukünftige und vergangene) Ereignishorizont(e) durch die Gleichung gegeben , und die Krümmungssingularität wird durch die Gleichung gegeben . ${\displaystyle U={\text{konstante}}}$${\displaystyle V={\text{konstante}}}$${\displaystyle UV=0}$${\displaystyle UV=1}$

Die Lichtkegelkoordinaten leiten sich eng von den Eddington-Finkelstein-Koordinaten ab .

Siehe auch

• Schwarzschild-Koordinaten
• Eddington–Finkelstein-Koordinaten
• Isotrope Koordinaten
• Koordinaten Gullstrand–Painlevé

Anmerkungen

Verweise

• Misner, Thorne, Wheeler (1973). Gravitation . WH Freeman und Company. ISBN 0-7167-0344-0.CS1-Wartung: mehrere Namen: Autorenliste ( Link )