Liste der Banach-Räume - List of Banach spaces

Auf dem mathematischen Gebiet der Funktionalanalysis gehören Banachräume zu den wichtigsten Studienobjekten. Auch in anderen Bereichen der mathematischen Analysis erweisen sich die meisten in der Praxis vorkommenden Räume als Banachräume.

Klassische Banach-Räume

Nach Diestel (1984 , Kapitel VII) sind die klassischen Banach-Räume diejenigen, die von Dunford & Schwartz (1958) definiert wurden , die die Quelle für die folgende Tabelle ist.

Glossar der Symbole für die folgende Tabelle:

• ${\displaystyle\mathbb{F}}$bezeichnet den Körper der reellen Zahlen oder komplexen Zahlen${\displaystyle \mathbb{R}}$ ${\displaystyle\mathbb{C}.}$
• ${\displaystyle K}$ist ein kompakter Hausdorff-Raum .
• ${\displaystyle p,q\in\mathbb{R}}$sind reelle Zahlen mit , dass sind Hölder - Konjugate bedeutet, dass sie erfüllen und damit auch${\displaystyle 1<p,q<\infty}$${\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}=1}$${\displaystyle q={\frac {p}{p-1}}.}$
• ${\displaystyle \Sigma}$ist eine -Algebra von Mengen.${\displaystyle \sigma}$
• ${\displaystyle \Xi}$ist eine Algebra von Mengen (für Räume, die nur endliche Additivität erfordern, wie der ba-Raum ).
• ${\displaystyle\mu}$ist ein Maß mit Variation Ein positives Maß ist eine reellwertige positive Mengenfunktion, die auf einer abzählbar additiven -Algebra definiert ist.${\displaystyle |\mu |.}$${\displaystyle \sigma}$

Klassische Banach-Räume
	Doppelter Raum	Reflexiv	schwach sequentiell vollständig	Norm		Anmerkungen
${\displaystyle \mathbb{F}^{n}}$	${\displaystyle \mathbb{F}^{n}}$	Ja	Ja	${\displaystyle \|x\|_{2}}$	${\displaystyle =\left(\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}\right)^{1/2}}$	Euklidischer Raum
${\displaystyle \ell_{p}^{n}}$	${\displaystyle \ell_{q}^{n}}$	Ja	Ja	${\displaystyle \|x\|_{p}}$	${\displaystyle =\left(\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$
${\displaystyle \ell_{\infty}^{n}}$	${\displaystyle \ell_{1}^{n}}$	Ja	Ja	${\displaystyle \|x\|_{\infty}}$	${\displaystyle =\max\nolimits_{1\leq i\leq n}|x_{i}|}$
${\displaystyle \ell^{p}}$	${\displaystyle \ell^{q}}$	Ja	Ja	${\displaystyle \|x\|_{p}}$	${\displaystyle =\left(\sum_{i=1}^{\infty}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$
${\displaystyle \ell^{1}}$	${\displaystyle \ell^{\infty}}$	Nein	Ja	${\displaystyle \|x\|_{1}}$	${\displaystyle =\sum_{i=1}^{\infty}\left|x_{i}\right|}$
${\displaystyle \ell^{\infty}}$	${\displaystyle \operatorname {ba} }$	Nein	Nein	${\displaystyle \|x\|_{\infty}}$	${\displaystyle =\sup\nolimits_{i}\left|x_{i}\right|}$
${\displaystyle \operatorname {c} }$	${\displaystyle \ell^{1}}$	Nein	Nein	${\displaystyle \|x\|_{\infty}}$	${\displaystyle =\sup\nolimits_{i}\left|x_{i}\right|}$
${\displaystyle c_{0}}$	${\displaystyle \ell^{1}}$	Nein	Nein	${\displaystyle \|x\|_{\infty}}$	${\displaystyle =\sup\nolimits_{i}\left|x_{i}\right|}$	Isomorph, aber nicht isometrisch zu ${\displaystyle c.}$
${\displaystyle\operatorname {bv}}$	${\displaystyle \ell^{\infty}}$	Nein	Ja	${\displaystyle \|x\|_{bv}}$	${\displaystyle =\left|x_{1}\right|+\sum_{i=1}^{\infty}\left|x_{i+1}-x_{i}\right|}$	Isometrisch isomorph zu ${\displaystyle \ell^{1}.}$
${\displaystyle \operatorname {bv} _{0}}$	${\displaystyle \ell^{\infty}}$	Nein	Ja	${\displaystyle \|x\|_{bv_{0}}}$	${\displaystyle =\sum_{i=1}^{\infty}\left|x_{i+1}-x_{i}\right|}$	Isometrisch isomorph zu ${\displaystyle \ell^{1}.}$
${\displaystyle \operatorname {bs} }$	${\displaystyle \operatorname {ba} }$	Nein	Nein	${\displaystyle \|x\|_{bs}}$	${\displaystyle =\sup\nolimits_{n}\left|\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right|}$	Isometrisch isomorph zu ${\displaystyle \ell^{\infty}.}$
${\displaystyle \operatorname {cs} }$	${\displaystyle \ell^{1}}$	Nein	Nein	${\displaystyle \|x\|_{bs}}$	${\displaystyle =\sup\nolimits_{n}\left|\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right|}$	Isometrisch isomorph zu ${\displaystyle c.}$
${\displaystyle B(K,\Xi)}$	${\displaystyle \operatorname {ba} (\Xi)}$	Nein	Nein	${\displaystyle \|f\|_{B}}$	${\displaystyle =\sup\nolimits_{k\in K}|f(k)|}$
${\displaystyle C(K)}$	${\displaystyle\operatorname {rca} (K)}$	Nein	Nein	${\displaystyle \|x\|_{C(K)}}$	${\displaystyle =\max\nolimits_{k\in K}|f(k)|}$
${\displaystyle \operatorname {ba} (\Xi)}$	?	Nein	Ja	${\displaystyle \|\mu\|_{ba}}$	${\displaystyle =\sup\nolimits_{S\in\Sigma}|\mu |(S)}$
${\displaystyle \operatorname {ca} (\Sigma)}$	?	Nein	Ja	${\displaystyle \|\mu\|_{ba}}$	${\displaystyle =\sup\nolimits_{S\in\Sigma}|\mu |(S)}$	Ein geschlossener Unterraum von ${\displaystyle \operatorname {ba} (\Sigma).}$
${\displaystyle \operatorname {rca} (\Sigma)}$	?	Nein	Ja	${\displaystyle \|\mu\|_{ba}}$	${\displaystyle =\sup\nolimits_{S\in\Sigma}|\mu |(S)}$	Ein geschlossener Unterraum von ${\displaystyle \operatorname {ca} (\Sigma).}$
${\displaystyle L^{p}(\mu)}$	${\displaystyle L^{q}(\mu)}$	Ja	Ja	${\displaystyle \|f\|_{p}}$	${\displaystyle =\left(\int |f|^{p}\,d\mu\right)^{\frac {1}{p}}}$
${\displaystyle L^{1}(\mu)}$	${\displaystyle L^{\infty}(\mu)}$	Nein	Ja	${\displaystyle \|f\|_{1}}$	${\displaystyle =\int |f|\,d\mu}$	Das duale ist , wenn ist -finite . ${\displaystyle L^{\infty}(\mu)}$${\displaystyle\mu}$${\displaystyle \sigma}$
${\displaystyle \operatorname {BV} ([a,b])}$	?	Nein	Ja	${\displaystyle \|f\|_{BV}}$	${\displaystyle =V_{f}([a,b])+\lim\nolimits_{x\to a^{+}}f(x)}$	${\displaystyle V_{f}([a,b]).}$ist die Gesamtvariation von${\displaystyle f}$
${\displaystyle\operatorname {NBV} ([a,b])}$	?	Nein	Ja	${\displaystyle \|f\|_{BV}}$	${\displaystyle =V_{f}([a,b])}$	${\displaystyle\operatorname {NBV} ([a,b])}$besteht aus Funktionen wie${\displaystyle \operatorname {BV} ([a,b])}$${\displaystyle \lim\nolimits_{x\to a^{+}}f(x)=0}$
${\displaystyle \operatorname {AC} ([a,b])}$	${\displaystyle\mathbb{F}+L^{\infty}([a,b])}$	Nein	Ja	${\displaystyle \|f\|_{BV}}$	${\displaystyle =V_{f}([a,b])+\lim\nolimits_{x\to a^{+}}f(x)}$	Isomorph zum Sobolev-Raum ${\displaystyle W^{1,1}([a,b]).}$
${\displaystyle C^{n}([a,b])}$	${\displaystyle \operatorname {rca} ([a,b])}$	Nein	Nein	${\displaystyle \|f\|}$	${\displaystyle =\sum_{i=0}^{n}\sup\nolimits_{x\in [a,b]}\left|f^{(i)}(x)\right|}$	Isomorph zu im Wesentlichen nach dem Satz von Taylor . ${\displaystyle \mathbb{R}^{n}\oplus C([a,b]),}$

Banach-Räume in anderen Analysebereichen

• Die Asplund-Räume
• Die Hardy-Räume
• Der Funktionsraum der beschränkten mittleren Schwingung${\displaystyle \operatorname {BMO}}$
• Der Funktionsraum der beschränkten Variation
• Sobolew-Räume
• Die Birnbaum-Orlicz-Räume ${\displaystyle L^{A}(\mu).}$
• Hölder-Räume ${\displaystyle C^{k}(\Omega).}$
• Lorentzraum

Banach-Räume als Gegenbeispiele

• James-Raum , ein Banach-Raum, der eine Schauder-Basis hat , aber keine unbedingte Schauder-Basis hat . Außerdem ist der Raum von James isometrisch isomorph zu seinem Doppeldual, aber nicht reflexiv.
• Tsirelson-Raum , ein reflexiver Banach-Raum, in den weder eingebettet noch eingebettet werden kann.${\displaystyle \ell^{p}}$${\displaystyle c_{0}}$
• WT Gowers Konstruktion eines Raums , der isomorph ist, aber nicht als Gegenbeispiel für die Abschwächung der Prämissen des Schroeder-Bernstein-Theorems dient${\displaystyle X}$${\displaystyle X\oplus X\oplus X}$${\displaystyle X\oplus X}$

Siehe auch

• Liste der Topologien  – Liste der konkreten Topologien und topologischen Räume
• Minkowski-Distanz

Anmerkungen

Verweise

• Diestel, Joseph (1984), Sequenzen und Serien in Banachräumen , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90859-5.
• Dunford, N.; Schwartz, JT (1958), Lineare Operatoren, Teil I , Wiley-Interscience.