Lorentzraum - Lorentz space

In der mathematischen Analyse sind Lorentz-Räume, die von George G. Lorentz in den 1950er Jahren eingeführt wurden, Verallgemeinerungen der bekannteren Räume . ${\displaystyle L^{p}}$

Die Lorentzräume werden mit bezeichnet . Wie die Räume sind sie durch eine Norm (technisch eine Quasinorm ) gekennzeichnet, die wie die Norm Informationen über die "Größe" einer Funktion kodiert . Die beiden grundlegenden qualitativen Begriffe der "Größe" einer Funktion sind: Wie hoch ist der Graph der Funktion und wie verteilt ist er. Die Lorentz-Normen bieten eine genauere Kontrolle über beide Qualitäten als die Normen, indem sie das Maß sowohl im Bereich ( ) als auch im Bereich ( ) exponentiell neu skalieren . Die Lorentz-Normen sind wie die Normen invariant bei willkürlichen Umordnungen der Werte einer Funktion. ${\displaystyle L^{p,q}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle L^{p}}$

Definition

Der Lorentzraum auf einem Maßraum ist der Raum komplexwertiger messbarer Funktionen auf X, so dass die folgende Quasinorm endlich ist ${\displaystyle (X,\mu)}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}(X,\mu)}=p^{\frac {1}{q}}\left\|t\mu \{|f|\ geq t\}^{\frac{1}{p}}\right\|_{L^{q}\left(\mathbf{R}^{+},{\frac{dt}{t}}\ Rechts)}}$

wo und . Wenn also , ${\displaystyle 0<p<\infty}$${\displaystyle 0<q\leq\infty}$${\displaystyle q<\infty}$

${\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}(X,\mu)}=p^{\frac {1}{q}}\left(\int _{0}^{\infty }t^{q}\mu\left\{x:|f(x)|\geq t\right\}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {dt}{t}} \right)^{\frac {1}{q}}=\left(\int _{0}^{\infty }{\bigl(}\tau \mu \left\{x:|f(x)| ^{p}\geq \tau \right\}{\bigr)}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {d\tau }{\tau }}\right)^{\frac {1}{q}}.}$

und wann , ${\displaystyle q=\infty}$

${\displaystyle \|f\|_{L^{p,\infty}(X,\mu)}^{p}=\sup_{t>0}\left(t^{p}\mu \left \{x:|f(x)|>t\rechts\}\rechts).}$

Es ist auch konventionell zu setzen . ${\displaystyle L^{\infty,\infty}(X,\mu)=L^{\infty}(X,\mu)}$

Abnehmende Umordnungen

Die Quasinorm ist im Wesentlichen per Definition invariant bei der Neuordnung der Werte der Funktion . Insbesondere, da eine komplexwertige meßbare Funktion auf einer Messung Raum definiert, ihre abnehmende Umordnung Funktion kann definiert werden als${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle (X,\mu)}$${\displaystyle f^{\ast}:[0,\infty )\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle f^{\ast}(t)=\inf\{\alpha\in\mathbf{R}^{+}:d_{f}(\alpha)\leq t\}}$

wo ist die sogenannte Verteilungsfunktion von , gegeben durch ${\displaystyle d_{f}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle d_{f}(\alpha)=\mu (\{x\in X:|f(x)|>\alpha\}).}$

Hier ist aus Gründen der Notation definiert als . ${\displaystyle \inf\varnothing}$${\displaystyle\infty}$

Die beiden Funktionen und sind gleich messbar , was bedeutet, dass ${\displaystyle |f|}$${\displaystyle f^{\ast}}$

${\displaystyle \mu {\bigl (}\{x\in X:|f(x)|>\alpha \}{\bigr)}=\lambda {\bigl (}\{t>0:f^{ \ast}(t)>\alpha \}{\bigr)},\quad\alpha >0,}$

wo ist das Lebesgue-Maß auf der reellen Linie. Die dazugehörige symmetrisch abnehmende Umlagerungsfunktion , die auch gleich messbar ist mit , wäre auf der reellen Geraden definiert durch ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \mathbf {R} \ni t\mapsto {\tfrac {1}{2}}f^{\ast }(|t|).}$

Mit diesen Definitionen für und sind die Lorentz-Quasinormen gegeben durch ${\displaystyle 0<p<\infty}$${\displaystyle 0<q\leq\infty}$

${\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}}={\begin{cases}\left(\displaystyle \int _{0}^{\infty}\left(t^{\frac { 1}{p}}f^{\ast}(t)\right)^{q}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}&q\ in (0,\infty),\\sup\limits_{t>0}\,t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)&q=\infty .\end {Fälle}}}$

Lorentz-Folgenräume

Wenn (das Zählmaß auf ) ist der resultierende Lorentzraum ein Folgenraum . In diesem Fall ist es jedoch praktisch, eine andere Notation zu verwenden. ${\displaystyle (X,\mu)=(\mathbb{N},\#)}$${\displaystyle \mathbb{N}}$

Definition.

Für (oder im komplexen Fall) bezeichnen wir die p-Norm für und die ∞-Norm. Bezeichne durch den Banachraum aller Folgen mit endlicher p-Norm. Sei der Banachraum aller Folgen, die , mit der ∞-Norm ausgestattet, erfüllen . Bezeichne durch den normierten Raum aller Folgen mit nur endlich vielen Einträgen ungleich Null. Diese Räume spielen alle eine Rolle bei der Definition der Lorentz-Folgenräume unten. ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty}\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}}$${\displaystyle \mathbb{C}^{\mathbb{N}}}$${\displaystyle \|(a_{n})_{n=1}^{\infty}\|_{p}=\left(\sum_{n=1}^{\infty}|a_{n} |^{p}\right)^{1/p}}$${\displaystyle 1\leq p<\infty}$${\displaystyle \|(a_{n})_{n=1}^{\infty}\|_{\infty}=\sup_{n\in\mathbb{N}}|a_{n}|}$${\displaystyle \ell_{p}}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=0}$${\displaystyle c_{00}}$${\displaystyle d(w,p)}$

Sei eine Folge positiver reeller Zahlen, die befriedigend ist , und definiere die Norm . Der Lorentz-Folgenraum ist definiert als der Banach-Raum aller Folgen, in denen diese Norm endlich ist. Äquivalent können wir als die Vervollständigung von unter definieren . ${\displaystyle w=(w_{n})_{n=1}^{\infty}\in c_{0}\setminus \ell _{1}}$${\displaystyle 1=w_{1}\geq w_{2}\geq w_{3}\geq \ldots}$${\displaystyle \|(a_{n})_{n=1}^{\infty}\|_{d(w,p)}=\sup_{\sigma\in\Pi}\|(a_{ \sigma(n)}w_{n}^{1/p})_{n=1}^{\infty}\|_{p}}$ ${\displaystyle d(w,p)}$${\displaystyle d(w,p)}$${\displaystyle c_{00}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{d(w,p)}}$

Eigenschaften

Die Lorentz-Räume sind echte Verallgemeinerungen der Räume in dem Sinne, dass für alle , , was aus dem Cavalieri-Prinzip folgt . Außerdem stimmt mit schwach überein . Sie sind Quasi-Banach-Räume (also quasi-normierte Räume, die auch vollständig sind) und sind normierbar für und . Wenn , mit einer Norm ausgestattet ist, es aber nicht möglich ist, eine der Quasinorm von , dem schwachen Raum äquivalente Norm zu definieren . Als konkretes Beispiel dafür, dass die Dreiecksungleichung in versagt , betrachte ${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle L^{p,p}=L^{p}}$${\displaystyle L^{p,\infty}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle 1<p<\infty}$${\displaystyle 1\leq q\leq \infty}$${\displaystyle p=1}$${\displaystyle L^{1,1}=L^{1}}$${\displaystyle L^{1,\infty}}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle L^{1,\infty}}$

${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}\chi_{(0,1)}(x)\quad {\text{und}}\quad g(x)={\tfrac {1}{1-x}}\chi_{(0,1)}(x),}$

deren Quasi-Norm gleich eins ist, während die Quasi-Norm ihrer Summe gleich vier ist. ${\displaystyle L^{1,\infty}}$${\displaystyle f+g}$

Der Raum ist in wann immer enthalten . Die Lorentzräume sind reelle Interpolationsräume zwischen und . ${\displaystyle L^{p,q}}$${\displaystyle L^{p,r}}$${\displaystyle q<r}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle L^{\infty}}$

Siehe auch

• Interpolationsraum
• Hardy-Littlewood-Ungleichung

Verweise

• Grafakos, Loukas (2008), Classical Fourier analysis , Graduate Texts in Mathematics, 249 (2. Aufl.), Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-0-387-09432-8 , ISBN 978-0-387-09431-1, MR  2445437.

Anmerkungen