Geordneter Vektorraum - Ordered vector space

Ein Punkt x in R ² und der Satz aller y , so daß x  ≤  y (in rot). Die Reihenfolge ist hier x  ≤  y , wenn und nur dann , wenn x ₁ ≤ y ₁ und x ₂ ≤ y ₂ .

In der Mathematik ist ein geordneter Vektorraum oder ein teilweise geordneter Vektorraum ein Vektorraum, der mit einer Teilordnung ausgestattet ist, die mit den Vektorraumoperationen kompatibel ist.

Definition

Bei einem Vektorraum X über die reellen Zahlen R und eine Preorder ≤ auf dem Satz X , das Paar ( X , ≤) ist ein sogenannter Vorbestelltes Vektorraum , und wir sagen , dass die Preorder ≤ mit der Vektorraumstruktur kompatibel sind von X und Call ≤ eine Vektorvorordnung auf X, falls für alle x ,  y ,  z in X und 0 ≤ λ in den folgenden zwei Axiomen erfüllt sind ${\displaystyle \mathbb{R}}$

1. x ≤ y impliziert x  +  z ≤ y  +  z
2. y ≤ x impliziert λy ≤ λx .

Wenn ≤ eine Teilordnung ist, die mit der Vektorraumstruktur von X kompatibel ist, dann heißt ( X , ≤) ein geordneter Vektorraum und ≤ heißt eine Vektorteilordnung auf X . Die beiden Axiome bedeuten , dass die Übersetzungen und positive Homothetien sind automorphisms der Auftragsstruktur und die Abbildung x ↦ - x ist ein Isomorphismus zur Dual Auftragsstruktur . Geordnete Vektorräume sind geordnete Gruppen unter ihrer Additionsoperation. Beachten Sie, dass x ≤ y genau dann gilt, wenn − y ≤ − x .

Positive Kegel und ihre Äquivalenz zu Ordnungen

Eine Teilmenge C eines Vektorraums X heißt Kegel, falls für alle reellen r  > 0 rC ⊆  C gilt . Ein Kegel heißt spitz, wenn er den Ursprung enthält. Ein Kegel C konvex ist, wenn und nur wenn C + C ⊆  C . Der Schnittpunkt einer beliebigen nichtleeren Kegelfamilie (bzw. konvexen Kegel) ist wieder ein Kegel (bzw. konvexer Kegel); das gleiche gilt für die Vereinigung einer wachsenden (unter Mengeneinschluss ) Familie von Kegeln (bzw. konvexen Kegeln). Ein Kegel C in einem Vektorraum X heißt erzeugend, wenn X = C − C . Ein positiver Kegel erzeugt genau dann, wenn er eine gerichtete Menge unter ≤ ist.

Bei einem vorgeordneten Vektorraum X ist die Teilmenge X ⁺ aller Elemente x in ( X , ≤), die x  ≥ 0 erfüllen, ein spitzer konvexer Kegel mit Knoten 0 (dh er enthält 0), der positive Kegel von X genannt und mit bezeichnet wird . Die Elemente des positiven Kegels werden positiv genannt . Wenn x und y Elemente eines vorgeordneten Vektorraums ( X , ≤) sind, dann ist x ≤ y genau dann, wenn y  −  x ∈ X ⁺ . Bei einem gegebenen spitzen konvexen Kegel C mit Knoten 0 kann man eine Vorordnung ≤ auf X definieren , die mit der Vektorraumstruktur von X kompatibel ist, indem man für alle x und y in X deklariert , dass x ≤ y genau dann, wenn y  −  x ∈ C ; der positive Kegel dieses resultierenden vorgeordneten Vektorraums ist C . Es besteht somit eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen spitzen konvexen Kegeln mit Scheitelpunkt 0 und Vektorvorordnungen auf X . Wenn X preordered wird dann können wir eine bilden ¨Aquivalenzrelation auf X durch die Definition von x ist äquivalent zu y , wenn und nur wenn x ≤ y und y ≤ x ; wenn N die Äquivalenzklasse ist, die den Ursprung enthält, dann ist N ein Vektorunterraum von X und X / N ist ein geordneter Vektorraum unter der Beziehung: A ≤ B genau dann, wenn a in A und b in B existieren, so dass a ≤ b . ${\displaystyle \operatorname {PosCone} X}$

Eine Teilmenge von C eines Vektorraums X heißt echter Kegel, wenn es sich um einen konvexen Kegel der Ecke 0 handelt, der C ∩ (− C ) = {0} erfüllt . Explizit ist C ein echter Kegel, falls (1) C + C ⊆  C , (2) rC ⊆  C für alle r > 0 und (3) C ∩ (− C ) = {0}. Der Schnittpunkt einer nichtleeren Familie echter Kegel ist wieder ein echter Kegel. Jeder echte Kegel C in einem reellen Vektorraum induziert eine Ordnung im Vektorraum, indem er x ≤ y genau dann definiert, wenn y  −  x ∈ C , und außerdem ist der positive Kegel dieses geordneten Vektorraums C . Daher gibt es eine Eins-zu-Eins - Entsprechung zwischen dem entsprechenden konvexen Kegel von X und den Vektor Teilaufträgen auf X .

Unter einer totalen Vektorordnung auf X verstehen wir eine totale Ordnung auf X , die mit der Vektorraumstruktur von X kompatibel ist . Die Familie der totalen Vektorordnungen auf einem Vektorraum X steht in Eins-zu-Eins-Entsprechung mit der Familie aller echten Kegel, die unter Mengeneinschluss maximal sind. Insgesamt Vektor Bestellung kann nicht sein archimedische wenn seine Dimension , wenn sie als ein Vektorraum über die reellen Zahlen betrachtet, größer als 1 ist.

Wenn R und S sind zwei Anordnungen von einem Vektorraum mit positiven Kegeln P und Q jeweils dann sagen wir , dass R ist feiner als S , wenn P ⊆  Q .

Beispiele

Die reellen Zahlen mit der üblichen Ordnung bilden einen total geordneten Vektorraum. Für alle ganzen Zahlen n ≥ 0 bildet der als Vektorraum über den reellen Zahlen mit der lexikographischen Ordnung betrachtete euklidische Raum R ⁿ einen vorgeordneten Vektorraum, dessen Ordnung genau dann archimedisch ist, wenn n  = 0 oder 1.

Punktweise Reihenfolge

Ist S eine beliebige Menge und ist X ein Vektorraum (über den reellen Zahlen) von reellwertigen Funktionen auf S , dann ist die punktweise Ordnung auf X für alle f , g ∈ X , f ≤ g genau dann gegeben, wenn f ( s ) g ( s ) für alle s in S .

Zu den Spaces, denen normalerweise diese Reihenfolge zugewiesen wird, gehören:

• der Raum 𝓁 _∞ ( S , R ) von beschränkten reellwertigen Abbildungen auf S .
• der Raum c ₀ ( R ) reellwertiger Folgen , die gegen 0 konvergieren .
• der Raum C ( S , R ) stetiger reellwertiger Funktionen auf einem topologischen Raum S .
• für jede nicht negative ganze Zahl n erhält der euklidische Raum R ^n, wenn er als der Raum C ({1, …,  n }, R ) mit S = {1, …,  n } betrachtet wird, die diskrete Topologie .

Der Raum aller messbaren fast überall beschränkten reellwertigen Abbildungen auf R , wobei die Vorordnung für alle f , g ∈ durch f ≤ g genau dann definiert ist , wenn f ( s ) ≤ g ( s ) fast überall. ${\displaystyle {\mathcal{L}}^{\infty}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal{L}}^{\infty}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)}$

Intervalle und das ordnungsgebundene Dual

Ein Ordnungsintervall in einem vorgeordneten Vektorraum ist von der Form

[ a ,  b ] = { x  : a ≤ x ≤ b },

[ A ,  b [= { x  : a ≤ x < b },

] a ,  b ] = { x  : a < x ≤ b }, oder

] a ,  b [ = { x  : a < x < b }.

Aus den obigen Axiomen 1 und 2 folgt, dass x , y ∈ [ a ,  b ] und 0 < λ < 1 impliziert λ x  + (1 −  λ ) y in [ a ,  b ]; daher sind diese Ordnungsintervalle konvex. Eine Teilmenge wird gesagt, dass , um begrenzt , wenn es in irgendeiner Reihenfolge Intervall enthalten ist. In einem vorgeordneten reellen Vektorraum ist für x ≥ 0 das Intervall der Form [− x , x ] ausgeglichen . Eine Ordnungseinheit eines vorgeordneten Vektorraums ist jedes Element x, so dass die Menge [− x , x ] absorbiert .

Die Menge aller linearen Funktionale auf einem vorgeordneten Vektorraum X , die jedes Ordnungsintervall in eine beschränkte Menge abbilden, wird ordnungsgebundenes Dual von X genannt und mit X ^{b bezeichnet} . Wenn ein Raum geordnet ist, dann ist sein ordnungsgebundener Dual ein Vektorunterraum seines algebraischen Duals .

Eine Untergruppe A aus einer geordneten Vektorraum X genannt wird, um eine vollständige , wenn für jede nicht leere Untergruppe B ⊆ A , so dass B um in begrenzt ist A , die beide und existieren und sind Elemente A . Wir sagen , dass ein geordneter Vektorraum X ist , um eine vollständige ist X ein , um eine vollständige Teilmenge von ist X . ${\displaystyle \sup B}$${\displaystyle \inf B}$

Beispiele

Wenn ( X , ≤) ein vorgeordneter Vektorraum über den reellen Zahlen mit der Ordnungseinheit u ist , dann ist die Abbildung ein sublineares Funktional . ${\displaystyle p(x):=\inf\left\{t\in\mathbb{R} :x\leq tu\right\}}$

Eigenschaften

Wenn X ein vorgeordneter Vektorraum ist, dann gilt für alle x , y ∈ X ,

• x 0 und y ≥ 0 implizieren x  +  y ≥ 0.
• x ≤ y genau dann, wenn − y ≤ − x .
• x ≤ y und r <0 bedeuten rx ≥ ry .
• x ≤ y genau dann wenn y = sup{ x ,  y } genau dann wenn x = inf{ x ,  y }.
• sup{ x ,  y } existiert genau dann, wenn inf{− x , − y } existiert, in welchem ​​Fall inf{− x , − y } = −sup{ x ,  y }.
• sup{ x ,  y } existiert genau dann, wenn inf{ x ,  y } existiert, in welchem ​​Fall für alle z ∈ X ,
  • sup{ x  +  z , y  +  z } = z + sup{ x ,  y } und
  • inf{ x  +  z , y  +  z } = z + inf { x ,  y }
  • x  +  y = inf{ x ,  y } + sup{ x ,  y }.
• X ist ein Vektor - Gitter , wenn und nur wenn sup {0,  x } existiert für alle x in X .

Räume linearer Karten

Ein Kegel C heißt erzeugend, wenn C  −  C gleich dem ganzen Vektorraum ist. Wenn X und W zwei nicht triviale geordnete Vektorräume mit entsprechenden positiven Kegeln P und Q sind , dann erzeugt P in X genau dann, wenn die Menge ein echter Kegel in L( X ; W ) ist, der der Raum aller lineare Abbildungen von X in W . In diesem Fall heißt die durch C definierte Ordnung die kanonische Ordnung von L( X ; W ). Allgemeiner gesagt , wenn M ein beliebiger Vektorraum von L ist ( X ; W ) , so daß C ∩ M ist ein richtiger Kegel, die Reihenfolge definiert ist durch C ∩ M wird die gerufene kanonische Reihenfolge von M . ${\displaystyle C=\left\{u\in L(X;W):u(P)\subseteq Q\right\}}$

Positive Funktionale und Ordnungsdual

Eine lineare Funktion f auf einem vorgeordneten Vektorraum heißt positiv, wenn sie eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

1. x ≥ 0 impliziert f ( x ) 0.
2. wenn x ≤ y dann f ( x ) ≤ f ( y ).

Die Menge aller positiven Linearformen auf einem Vektorraum mit positivem Kegel C , Dualkegel genannt und mit bezeichnet , ist ein Kegel gleich der Polare von − C . Die durch den dualen Kegel induzierte Vorordnung auf dem Raum linearer Funktionale auf X heißt duale Vorordnung . ${\displaystyle C^{*}}$

Das Ordnungsdual eines geordneten Vektorraums X ist die Menge, bezeichnet mit , definiert durch . Es gibt jedoch geordnete Vektorräume, für die die Mengengleichheit nicht gilt. ${\displaystyle X^{+}}$${\displaystyle X^{+}:=C^{*}-C^{*}}$${\displaystyle X^{+}\subseteq X^{b}}$

Sondertypen geordneter Vektorräume

Sei X ein geordneter Vektorraum. Wir sagen , dass ein geordneter Vektorraum X ist archimedische bestellt und dass die Reihenfolge der X ist archimedische wenn immer dann , wenn x in X so ist , dass sich majorisiert (dh es existiert eine gewisse y in X , so dass nx ≤ y für alle ) , dann x ≤ 0 . Ein topologischer Vektorraum (TVS), der ein geordneter Vektorraum ist, ist notwendigerweise archimedisch, wenn sein positiver Kegel geschlossen ist. ${\displaystyle \left\{nx:n\in\mathbb{N}\right\}}$${\displaystyle n\in\mathbb{N}}$

Wir sagen , dass ein Vorbestelltes Vektorraum X wird regelmäßig bestellt und seine Bestellung ist regelmäßig , wenn es archimedische bestellt und X ⁺ unterscheidet Punkte in X . Diese Eigenschaft garantiert, dass es genügend viele positive Linearformen gibt, um die Werkzeuge der Dualität erfolgreich zum Studium geordneter Vektorräume einsetzen zu können.

Ein geordneter Vektorraum heißt Vektorgitter, wenn für alle Elemente x und y das Supremum sup( x ,  y ) und das Infimum inf( x ,  y ) existieren.

Unterräume, Quotienten und Produkte

Durchweg sei X ein vorgeordneter Vektorraum mit positivem Kegel C .

Unterräume

Wenn M ein Vektorunterraum von X ist, dann ist die kanonische Ordnung auf M, die durch den positiven Kegel C von X induziert wird, die partielle Ordnung, die durch den spitzen konvexen Kegel C M induziert wird , wobei dieser Kegel  echt ist, wenn C echt  ist.

Quotientenraum

Sei M ein Vektorunterraum eines geordneten Vektorraums X , sei die kanonische Projektion und sei . Dann ist ein Kegel in X / M , der eine kanonische Vorordnung auf dem Quotientenraum X / M induziert . Wenn ein echter Kegel in X / M ist, dann macht X / M einen geordneten Vektorraum. Wenn M ist C -gesättigten dann definiert die kanonische Reihenfolge von X / M . Beachten Sie, dass dies ein Beispiel für einen geordneten Vektorraum darstellt, in dem kein richtiger Kegel ist. ${\displaystyle \pi :X\to X/M}$${\displaystyle {\hat {C}}:=\pi (C)}$${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$${\displaystyle {\hat {C}}}$${\displaystyle {\hat {C}}}$${\displaystyle X=\mathbb{R} _{0}^{2}}$${\displaystyle \pi (C)}$

Ist X auch ein topologischer Vektorraum (TVS) und existiert für jede Umgebung V von 0 in X eine Umgebung U von 0 mit [( U + N ) ∩ C] ⊆ V + N dann ist ein Normalkegel für die Quotiententopologie . ${\displaystyle {\hat {C}}}$

Wenn X ein topologisches Vektorgitter und M ein geschlossenes festes Untergitter von X ist, dann ist X / L auch ein topologisches Vektorgitter.

Produkt

Wenn S irgendeine Menge ist, dann ist der Raum X ^S aller Funktionen von S nach X kanonisch nach dem richtigen Kegel geordnet . ${\displaystyle \left\{f\in X^{S}:f(s)\in C{\text{ für alle }}s\in S\right\}}$

Angenommen, dies ist eine Familie vorgeordneter Vektorräume und der positive Kegel von ist . Dann ist ein spitzer konvexer Kegel darin , der eine kanonische Ordnung auf bestimmt ; C ist ein echter Kegel, wenn alle richtige Kegel sind. ${\displaystyle \left\{X_{\alpha}:\alpha\in A\right\}}$${\displaystyle X_{\alpha}}$${\displaystyle C_{\alpha}}$${\textstyle C:=\prod_{\alpha}C_{\alpha}}$${\textstyle \prod_{\alpha}X_{\alpha}}$${\textstyle \prod_{\alpha}X_{\alpha}}$${\displaystyle C_{\alpha}}$

Algebraische direkte Summe

Die algebraische direkte Summe von ist ein Vektorunterraum davon , der die von geerbte kanonische Unterraumordnung erhält . Wenn X ₁ , ..., X _n geordnete Vektorunterräume eines geordneten Vektorraums X sind, dann ist X die geordnete direkte Summe dieser Unterräume, wenn der kanonische algebraische Isomorphismus von X auf (mit der kanonischen Produktordnung) ein Ordnungsisomorphismus ist . ${\textstyle \bigoplus_{\alpha}X_{\alpha}}$${\displaystyle \left\{X_{\alpha}:\alpha\in A\right\}}$${\textstyle \prod_{\alpha}X_{\alpha}}$${\textstyle \prod_{\alpha}X_{\alpha}}$${\displaystyle \prod_{\alpha}X_{\alpha}}$

Beispiele

• Die reellen Zahlen mit der üblichen Ordnung sind ein geordneter Vektorraum.
• R ² ist ein geordneter Vektorraum mit der ≤-Beziehung, die auf eine der folgenden Weisen definiert ist (in der Reihenfolge zunehmender Stärke, dh abnehmender Paare von Paaren):
  • Lexikographische Reihenfolge : ( a ,  b ) ( c ,  d ) genau dann, wenn a  <  c oder ( a  =  c und b ≤ d ). Dies ist eine Gesamtbestellung . Der positive Kegel ist gegeben durch x  > 0 oder ( x  = 0 und y ≥ 0 ), dh in Polarkoordinaten die Punktmenge mit der Winkelkoordinate, die − π /2 <  θ ≤ π /2 erfüllt , zusammen mit dem Ursprung .
  • ( A ,  b ) ≤ ( c ,  d ) wenn und nur wenn a ≤ c und b ≤ d (die Produktbestellung von zwei Kopien von R mit "≤"). Dies ist eine Teilbestellung. Der positive Kegel ist gegeben durch x 0 und y ≥ 0 , dh in Polarkoordinaten 0 ≤ θ ≤ π /2 , zusammen mit dem Ursprung.
  • ( a ,  b ) ≤ ( c ,  d ) genau dann, wenn ( a  <  c und b  <  d ) oder ( a  =  c und b  =  d ) (der reflexive Abschluss des direkten Produkts zweier Kopien von R mit "< "). Auch dies ist eine Teilbestellung. Der positive Kegel ist gegeben durch ( x  > 0 und y > 0 ) oder ( x =  y = 0 ), dh in Polarkoordinaten, 0 <  θ  <  π /2 , zusammen mit dem Ursprung.

Nur die zweite Ordnung ist als Teilmenge von R ⁴ abgeschlossen; siehe Teilordnungen in topologischen Räumen .

Für die dritte Ordnung der zweidimensionale „ Abstände “ p  <  x  <  q sind offene Mengen , die die Topologie erzeugen.

• R ⁿ ist ein geordneter Vektorraum mit ähnlich definierter ≤-Beziehung. Zum Beispiel für die oben erwähnte zweite Ordnung:
  • x ≤ y genau dann, wenn x _i ≤ y _i für i = 1, ...,  n .
• Ein Riesz-Raum ist ein geordneter Vektorraum, bei dem die Ordnung ein Gitter erzeugt .
• Der Raum der stetigen Funktionen auf [0, 1] , wo f ≤ g , wenn und nur dann , wenn f ( x ) ≤ g ( x ) für alle x in [0, 1] .

Siehe auch

• Ordnungstopologie (Funktionsanalyse)
• Geordnetes Feld
• Bestellte Gruppe
• Bestellter Ring
• Geordneter topologischer Vektorraum
• Teilweise geordneter Raum  – Teilweise geordneter topologischer Raum
• Produktbestellung
• Riesz-Raum  – teilweise geordneter Vektorraum, als Gitter geordnet
• Topologisches Vektorgitter
• Vektorgitter

Verweise

Literaturverzeichnis

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• Bourbaki, Nicolas ; Elemente der Mathematik: Topologische Vektorräume ; ISBN  0-387-13627-4 .
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