Orthogonale Basis - Orthogonal basis
In der Mathematik , insbesondere der linearen Algebra , ist eine orthogonale Basis für einen inneren Produktraum V eine Basis für V, deren Vektoren zueinander orthogonal sind . Wenn die Vektoren einer orthogonalen Basis normalisiert sind , ist die resultierende Basis eine orthonormale Basis .
Als Koordinaten
Jede orthogonale Basis kann verwendet werden, um ein System von orthogonalen Koordinaten V zu definieren . Orthogonale (nicht unbedingt orthonormale) Basen sind wichtig, da sie aus krummlinigen orthogonalen Koordinaten in euklidischen Räumen sowie in Riemannschen und Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten hervorgehen.
In der Funktionsanalyse
Bei der Funktionsanalyse ist eine orthogonale Basis jede Basis, die aus einer orthonormalen Basis (oder Hilbert-Basis) unter Verwendung der Multiplikation mit Skalaren ungleich Null erhalten wird .
Erweiterungen
Das Konzept eines orthogonalen (aber nicht ein orthonormal) Basis an einen anwendbaren Vektorraum V (über jedes Feld ) , ausgestattet mit einem symmetrischen Bilinearform ⟨⋅, ⋅⟩ , wobei Orthogonalität von zwei Vektoren v und w Mittel ⟨ v , w ⟩ = 0 . Für eine orthogonale Basis { e k } :
wobei q ist eine quadratische Form mit zugehörigen ⟨⋅, ⋅⟩ : q ( v ) = ⟨ v , v ⟩ (in einem inneren Produktraum q ( v ) = | v | 2 ).
Daher für eine orthogonale Basis { e k } ,
wobei v k und w k Komponenten von v und w in der Basis sind.
Verweise
- Lang, Serge (2004), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (korrigierter vierter Druck, überarbeitete dritte Ausgabe), New York: Springer-Verlag, S. 572–585, ISBN 978-0-387-95385-4
- Milnor, J . ; Husemoller, D. (1973). Symmetrische bilineare Formen . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 73 . Springer-Verlag . p. 6. ISBN 3-540-06009-X . Zbl 0292.10016 .